Tetraeder – Volumen und Oberfläche

Tetraeder – Einführung

Du hast bestimmt schon mal von Tetraedern gehört. Doch was sind Tetraeder eigentlich?

Nachfolgend soll es um die Berechnung von Oberflächeninhalt und Volumen von Tetraedern gehen. Dabei ist es wichtig, dass du dich mit folgenden Themen bereits auskennst:

• Flächeninhalt von Dreiecken
• Satz des Pythagoras

Tetraeder – Oberflächenberechnung

Wie schon erwähnt wird der Tetraeder von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Das kannst du auch in dieser Abbildung erkennen:

Der Oberflächeninhalt ergibt sich aus der Summe aller Seitenflächen. Da alle Seitenflächen gleichseitige, kongruente Dreiecke sind, kann man für den Oberflächeninhalt des Tetraeders folgende Gleichung formulieren:

$O=4 \cdot A_\text{Seitenfläche}$

Für $A_\text{Seitenfläche}$ muss nun der Flächeninhalt der gleichseitigen Dreiecke bestimmt werden, die das Tetraeder nach außen begrenzen. Dabei modifiziert man die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks und setzt entsprechende Größen ein. Die Höhe berechnet sich dabei mithilfe des Satz des Pythagoras:

$\begin{array}{rcl} a^2&=&h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \\ \\ h^2&=& a^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2\\ \\ &=& a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3}{4} a^2 \\ \\ h&=& \dfrac{\sqrt{3}}{2}a \end{array}$

Es ergibt sich also für die Seitenflächen:

$\begin{array}{rcl} A_\text{Seitenfläche}&=&\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}a\\ \\ &=& \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 \end{array}$

Eingesetzt in die Formel für den Oberflächeninhalt vom Tetraeder ergibt sich:

$\begin{array}{rcl} O&=&4 \cdot A_\text{Seitenfläche} \\ \\ &=&4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 \\ \\ &=& \sqrt{3} \cdot a^2 \end{array}$

Anhand eines Beispiels soll diese Formel zum Einsatz kommen.

Für die Lösung der Aufgabe benötigst du die Formel für den Oberflächeninhalt des Tetraeders und die Kantenlänge $a$.

$\begin{array}{rcl} O&=& \sqrt{3}a^2 \\ \\ &=& \sqrt{3} \cdot (22\,\text{cm})^2 \\ \\ & \approx & 838{,}31\,\text{cm}^2 \end{array}$

Das Tetraeder hat einen Oberflächeninhalt von $838{,}31\, \text{cm}^2$

Tetraeder – Volumenberechnung

Da es sich bei einem Tetraeder um einen Spezialfall der Pyramide handelt, ist es nicht weiter verwunderlich, dass die Formel für das Volumen des Tetraeders von der Formel für das Volumen einer Pyramide hergeleitet wird.

Dabei ergibt sich die Grundfläche des Tetraeders wie im vorherigen Abschnitt gezeigt. Die Höhe des Tetraeders zu bestimmen, ist etwas komplizierter. Deshalb verzichten wir an dieser Stelle auf die rechnerische Herleitung. Du kannst dir für die Formel des Flächeninhalts eines Tetraeders merken:

$\begin{array}{rcl} V&=&\frac{1}{3} \cdot A_g \cdot h \\ \\ &=& \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} a^2 \cdot h \\ \\ &=& \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} a^2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} a \\ \\ &=& \dfrac{\sqrt{2}}{12} a^3 \end{array}$

Auch hier soll ein Beispiel die konkrete Berechnung im Anwendungsbeispiel verdeutlichen:

Für die Lösung brauchst du wieder die Formel für das Volumen und die Kantenlänge. Dann kannst du alles einsetzen und ausrechnen.

$\begin{array}{rcl} V&=& \dfrac{\sqrt{2}}{12} a^3 \\ \\ &=& \dfrac{\sqrt{2}}{12} \cdot (7{,}5\,\text{cm})^3 \\ \\ & \approx & 49{,}72\,\text{cm}^3 \end{array}$

Das Tetraeder hat ein Volumen von $49{,}72\, \text{cm}^3$

Tetraeder – Übungsaufgaben

Versuche nun, Oberflächeninhalt und Volumen in der folgenden Aufgabe selbstständig zu berechnen.

Zum Abschluss noch zwei etwas kompliziertere Übungen. Versuche, auch diese selbstständig zu lösen.

Oberflächeninhalt und Volumen eines Tetraeders – Zusammenfassung