Tageszinsen und Zinseszinsen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Zinsrechnung
• Jahreszinsen und Zinseszins
• Monatszinsen
• Tageszinsen

Zinsrechnung

In der Zinsrechnung geht es darum, die Zinsen von Geldbeträgen, welche du zum Beispiel auf ein Sparbuch legst oder du dir von der Bank leihst, zu berechnen. Dabei rechnest du so wie bei der Prozentrechnung.

• Der Grundwert aus der Prozentrechnung ist das Kapital $K$ oder das Guthaben oder ein Kredit.
• Der Prozentwert wird in der Zinsrechnung als Zinsen bezeichnet.
• Der Prozentsatz entspricht dem Zinssatz $p$.

Der Zinssatz wird meist „pro Jahr“ angegeben. Hierfür schreibt man „$p~\%$ p.a.“, wobei die Abkürzung „p.a.“ für die lateinische Bezeichnung „per annum“ steht, also „pro Jahr“.

Im Folgenden lernst du über das, was du in der Zinsrechnung bereits kennengelernt hast, hinaus:

• Die Zinsen, welche gemeinsam mit den bereits erhaltenen Zinsen berechnet werden. Man spricht hier von Zinseszins.
• Wenn du ein Sparbuch mitten in einem Jahr auflösen möchtest, erhältst du auch Zinsen. Diese können dann nicht mehr auf das Jahr berechnet werden, sondern auf Monate und sogar auf Tage.

Im Folgenden betrachten wir ausschließlich den Fall, dass du Geld sparst.

Du gehst zu einer Bank.

Dort fragst du nach, wie viel Zinsen du bekommst, wenn du dein gespartes Geld $K=200$ € anlegst.

Jahreszinsen und Zinseszins

Die Bank teilt dir mit, dass sie dir einen Zinssatz in Höhe von $5~\%$ p.a. geben kann. Damit kannst du schon einmal die Jahreszinsen berechnen.

Verwende hierfür die Zinsformel:

$Z=K\cdot\frac{p}{100}$

Dabei steht $Z$ für die Zinsen, $K$ für das angelegte Kapital und $p$ für den Zinssatz. Setze nun die bekannten Größen ein:

$Z=200~\text{€}\cdot\frac{5}{100}=10~\text{€}$

Dies sind die Jahreszinsen, welche zu deinem anfänglichen Kapital hinzukommen. Du hast also nach einem Jahr $200~\text{€}+10~\text{€}=210~\text{€}$ auf deinem Sparbuch.

Da du dir ein neues Fahrrad kaufen möchtest, lässt du das Geld auf deinem Sparbuch. Du erhältst nun auf dein anfängliches Kapital zuzüglich der bereits erhaltenen Zinsen nochmals Zinsen. Hier spricht man von Zinseszinsen. Verwende nochmal die obige Zinsformel:

$Z=220~\text{€}\cdot\frac{5}{100}=11~\text{€}$

Nun addierst du die Zinsen zu dem bereits vorhandenen Kapital und erhältst somit $210~\text{€}+11~\text{€}=221~\text{€}$. So viel Geld ist nach zwei Jahren auf deinem Konto.

Wenn du wissen möchtest, wie viel Geld sich nach fünf oder zehn oder mehr Jahren auf deinem Sparbuch befindet, verwendest du diese Formel:

$K_{n}=K_{0}\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}$

Dabei ist $K_{n}$ das Kapital nach $n$ Jahren, $K_{0}$ das anfängliche Kapital und $p$ der Zinssatz.

Rechne nun einmal aus, wie viel Geld nach zehn Jahren auf deinem Sparbuch ist:

$K_{10}=200~\text{€}\cdot \left(1+\frac{5}{100}\right)^{10}\approx 325,78~\text{€}$

Monatszinsen

Nach drei Jahren hast du bereits so viel Geld auf deinem Sparbuch:

$K_{3}=200~\text{€}\cdot \left(1+\frac{5}{100}\right)^{3}\approx 231,53~\text{€}$

Im Sommer möchtest du verreisen und möchtest wissen, wie viel Geld du dann zur Verfügung hast. Nehmen wir einmal an, dass bis zum Sommer sieben Monate vergehen. Dann erhältst du natürlich bis dahin nicht die gesamten Jahreszinsen. Du musst nun die Monatszinsen berechnen. Hierfür gilt:

$\text{Monatszinsen}=\frac{\text{Jahreszinsen}}{12}$

Durch $12$ teilst du, weil das Jahr zwölf Monate hat. Berechne zunächst die Jahreszinsen:

$Z=231,53~\text{€}\cdot\frac{5}{100}\approx 11,58~\text{€}$

• Nun kannst du die Monatszinsen berechnen: $11,58~\text{€}:12\approx0,97~\text{€}$.
• Multipliziere diese mit $7$, dann erhältst du die Zinsen für sieben Monate: $6,79~\text{€}$.

Du hast also im Sommer $231,53~\text{€}+6,79~\text{€}=238,32~\text{€}$ zur Verfügung. Damit kannst du sicher schon die ein oder andere spannende Unternehmung starten.

Tageszinsen

Mithilfe der Jahres- oder Monatszinsen kannst du auch die Tageszinsen berechnen. Banken nehmen für ein Jahr $360$ Tage an. Das bedeutet, dass jeder Monat $30$ Tage hat, denn es gilt $12\cdot 30~\text{Tage}=360~\text{Tage}$. Tatsächlich hat ein Jahr $365$, Schaltjahre sogar $366$ Tage, aber Banken rechnen nun einmal mit $360$ Tagen. Somit kannst du Tageszinsen wie folgt bestimmen:

$\text{Tageszinsen}=\frac{\text{Jahreszinsen}}{360}$

$\text{Tageszinsen}=\frac{\text{Monatszinsen}}{30}$

Paul möchte sich ein Auto für $5000$ € kaufen. Die Bank verlangt dafür einen Zinssatz von $6,5~\%$ p.a. Nach $300$ Tagen kann Paul das gesamte Geld zurückzahlen. Wie viel muss er dann bezahlen?

$Z=5000~\text{€}\cdot \frac{6,5}{100\cdot 360}\cdot 300\approx 270,83~\text{€}$

Das bedeutet, dass Paul nach den $300$ Tagen $5000~\text{€}+270,83~\text{€}=5270,83~\text{€}$ an die Bank bezahlen muss.