Zinsrechnung (Übung)

Zinsrechnung (Übung) Übung

• Gib die Formeln zur Berechnung der Zinsen für eine bestimmte Anzahl an Monaten oder Tagen an.

  Tipps

  Ein Jahr hat $12$ Monate und ca. $360$ Tage.

  $6$ Monate sind $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ eines Jahres.

  Daher erhält man für $6$ Monate genau halb so viele Zinsen wie für ein Jahr.

  $72$ Tage sind $\frac{72}{360} = \frac{1}{5}$ eines Jahres.

  Daher erhält man für $72$ Tage ein Fünftel der Jahreszinsen.

  Lösung

  Wir kennen die Grundformeln für Zinsen, Zinssatz und Kapital. Diese gehen stets davon aus, dass das Kapital ein Jahr lang verzinst wird. Wir können aber auch ausrechnen, wie viele Zinsen wir erhalten, wenn wir Geld für einen Zeitraum, der geringer als ein Jahr ist, anlegen.

  Betrachten wir zunächst die Grundformel für die Zinsen:
  $Z = K \cdot p\,\%$

  Diese gibt an, wie viele Zinsen $Z$ wir erhalten, wenn wir ein Kapital $K$ für ein Jahr mit einer jährlichen Verzinsung von $p\,\%$ anlegen.
  Ist der Anlagezeitraum nun kürzer als ein Jahr, so entspricht der Anteil an den jährlichen Zinsen, den wir bekommen, dem Anteil an einem Jahr, für den das Geld angelegt wurde. Um diesen Anteil zu bestimmen, teilen wir die Anzahl der Monate $m$ oder Tage $t$ durch die Gesamtzahl der Monate bzw. Tage eines Jahres.

  Da ein Jahr $12$ Monate hat, beträgt der Anteil von $m$ Monaten $\dfrac{m}{12}$. Ein Jahr hat außerdem ungefähr $360$ Tage, daher entsprechen $t$ Tage $\dfrac{t}{360}$ eines Jahres.

  Die gesuchten Formeln erhalten wir, indem wir die Grundformel mit dem passenden Faktor multiplizieren:

  • Zinsen nach $m$ Monaten: $\quad Z = K \cdot p\,\% \cdot \dfrac{m}{12}$
  • Zinsen nach $t$ Tagen: $\quad Z = K \cdot p\,\% \cdot \dfrac{t}{360}$

  
  

  Beispiele:
  Nach $6$ Monaten erhält man so genau $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, also die Hälfte der Jahreszinsen.
  Nach $72$ Tagen erhält man genau $\frac{72}{360} = \frac{1}{5}$ der Jahreszinsen.

• Stelle die Zinsen für verschiedene Zeiträume in einer Tabelle dar.

  Tipps

  Formeln zur Berechnung der Jahres-, Monats- und Tageszinsen:

  Setze die passenden Werte für den Zinssatz $p\,\%$ und das Kapital $K$ ein und ergänze, wenn nötig, den Faktor für die Monate $m$ oder die Tage $t$, um die Zinsen $Z$ zu berechnen.

  Lösung

  Die Zinsen $Z$, die wir mit einem Zinssatz $p\,\%$ auf ein Kapital $K$ erhalten, können wir mit der Grundformel
  $Z = K \cdot p\,\%$ bestimmen.
  Ist der Anlangezeitraum kürzer als ein Jahr, dann müssen wir die Formel noch um einen Zeitfaktor erweitern. Dieser lautet $\frac{m}{12}$ für $m$ Monate und $\frac{t}{360}$ für $t$ Tage.

  Damit erhalten wir bei einem Zinssatz von $p\,\% = 3\,\% = 0{,}03$ p.a. folgende Formeln für die in der Tabelle aufgeführten Zeiträume:

  • $10$ Tage: $\quad Z = K \cdot p\,\% \cdot \frac{10}{360}$
  • $4$ Monate: $\ \ Z = K \cdot p\,\% \cdot \frac{4}{12}$
  • $6$ Monate: $\ \ Z = K \cdot p\,\% \cdot \frac{6}{12}$
  • ein Jahr: $\quad Z = K \cdot p\,\%$

  
  

  Beispiel: $K = 1500\,€$

  • $10$ Tage: $\quad Z = 1500\,€ \cdot 0{,}03 \cdot \frac{10}{360} = 1{,}25\,€$
  • $4$ Monate: $\ \ Z = 1\,500\,€ \cdot 0{,}03 \cdot \frac{4}{12} = 15\,€$
  • $6$ Monate: $\ \ Z = 1\,500\,€ \cdot 0{,}03 \cdot \frac{6}{12} = 22{,}50\,€$
  • ein Jahr: $\quad Z = 1\,500\,€ \cdot 0{,}03 = 45\,€$

  
  

  Vollständige Tabelle:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c} \mathbf{Kapital} & \mathbf{10}~\mathbf{Tage} & \mathbf{4}~\mathbf{Monate} & \mathbf{6}~\mathbf{Monate} & \mathbf{ein}\ \mathbf{Jahr}\\ \hline 1\,500\,€ & 1{,}25\,€ & 15\,€ & 22{,}50\,€ & 45\,€ \\ \hline 2\,000\,€ & 1{,}67\,€ & 20\,€ & 30\,€ & 60\,€ \\ \hline 5\,000\,€ & 4{,}17\,€ & 50\,€ & 75\,€ & 150\,€ \end{array}$

• Bestimme den Zinssatz.

  Tipps

  Du erhältst den Zinssatz, indem du die Zinsen durch das Kapital teilst.

  Denke daran, das Ergebnis der Formel in eine Prozentzahl umzuwandeln.

  Beispiel:
  $0{,}047 = 4{,}7\,\%$

  Beispiel: $6\,€$ Zinsen für $100\,€$

  $K = 100\,€, Z = 6\,€$
  $p\,\% = \frac{6\,€}{100\,€} = 0{,}06 = 6\,\%$

  Lösung

  Den Zinssatz $p\,\%$ können wir bei bekanntem Kapital $K$ und Zinsen $Z$ mit der Grundformel $p\,\% = \frac{Z}{K}$ berechnen.

  Wir setzen die gegebenen Werte ein und erhalten:

  Konto 1: $K = 15\,000\,€,\ Z = 750\,€$
  $p\,\% = \dfrac{750\,€}{15\,000\,€} = 0{,}05 = 5\,\%$

  Konto 2: $K = 220\,000\,€, Z = 1100\,€$
  $p\,\% = \dfrac{1100\,€}{220\,000\,€} = 0{,}005 = 0{,}5\,\%$

  Konto 3: $K = 5700\,€, Z = 199{,}50\,€$
  $p\,\% = \dfrac{199{,}50\,€}{5700\,€} = 0{,}035 = 3{,}5\,\%$

  Konto 4: $K = 350\,€, Z = 5{,}60\,€$
  $p\,\% = \dfrac{5{,}60\,€}{350\,€} = 0{,}016 = 1{,}6\,\%$

• Entscheide, wer den höchsten Geldbetrag angelegt hat.

  Tipps

  Wenn wir für $3$ Monate $15\,€$ Zinsen erhalten, dann wären es für ein Jahr $4 \cdot 15\,€ = 60\,€$ Zinsen.

  Die Grundformel für das Kapital lautet:

  $K = \dfrac{Z}{p\,\%}$

  Vergiss nicht für die Berechnung, den Zinssatz als Dezimalzahl zu schreiben.

  Beispiele:

  • $23\,\%\ = 0{,}23$
  • $5\,\%\ \ \ = 0{,}05$
  • $3{,}6\,\% = 0{,}036$

  Lösung

  Endlich sind die Freunde zusammen auf dem Konzert von Mr. Robert, für das sie so fleißig gespart haben. Wir können aus den Zinsen $Z$ und dem Zinssatz $p\,\%$ das angelegte Kapital $K$ der vier Pinguine mit der Formel

  $K = \dfrac{Z}{p\,\%}$

  berechnen.

  Plitsch: $p\,\% = 3\,\%$ und $Z = 51\,€$
  $K = \dfrac{51\,€}{3\,\%} = \dfrac{51\,€}{0{,}03} = 1700\,€$

  Platsch: $p\,\% = 7\,\%$ und $Z = 35\,€$
  $K = \dfrac{35\,€}{7\,\%} = \dfrac{35\,€}{0{,}07} = 500\,€$

  Pingu: $p\,\% = 1{,}7\,\%$ und $Z = 34\,€$
  $K = \dfrac{34\,€}{1,7\,\%} = \dfrac{34\,€}{0{,}017} = 2000\,€$

  Paul: $p\,\% = 4\,\%$ und $20\,€$ Zinsen für $6$ Monate $\Rightarrow$ pro Jahr: $Z = 2 \cdot 20\,€ = 40\,€$
  $K = \dfrac{40\,€}{4\,\%} = \dfrac{40\,€}{0{,}04} = 1000\,€$

  Damit ergibt sich die Reihenfolge:

  • Platsch mit $500\,€$
  • Paul mit $1000\,€$
  • Plitsch mit $1700\,€$
  • Pingu mit $2000\,€$

• Vervollständige das Dreieck zu den Grundformeln der Zinsrechnung.

  Tipps

  Es gilt:

  $Z = p\,\% \cdot K$

  Beispiel:
  Das Dreieck steht für die Formeln:

  • $a = b \cdot c$
  • $b = \frac{a}{c}$
  • $c = \frac{a}{b}$

  Lösung

  Für die Zinsrechnung kennen wir drei Grundformeln, mit denen wir bei einer Aufgabe die gesuchte Größe mithilfe von zwei gegebenen Größen berechnen können. Die drei Formeln für den Zusammenhang von Kapital $K$, Zinsen $Z$ und Zinssatz $p\,\%$ können wir auch, wie oben, als Dreieck darstellen. Sie lauten:

  • $Z = p\,\% \cdot K$
  • $p\,\% = \dfrac{Z}{K}$
  • $K = \dfrac{Z}{p\,\%}$

  
  

  Hinweis: Da die Multiplikation kommutativ ist, gilt $Z = p\,\% \cdot K = K \cdot p\,\%$. Daher können auch die Zeichen $K$ für das Kapital und $p\,\%$ für den Zinssatz unten im Dreieck vertauscht werden.

• Ermittle, ob die Zinsen für das Abendessen reichen.

  Tipps

  Bestimme zunächst den Zeitraum, für den Herr Knausrig Zinsen erhält.

  Die Formel, um die Zinsen für eine bestimmte Anzahl an Stunden zu berechnen, ist genauso aufgebaut, wie die Formel für die Monats- oder Tageszinsen.

  Lösung

  Bis zum Abendessen in der goldenen Muschel sind es noch genau $7$ Stunden. Um zu bestimmen, wie viele Zinsen Herr Knausrig in diesem Zeitraum erhält, können wir so vorgehen, wie wenn wir die Zinsen für eine bestimmte Anzahl an Monaten oder Tagen berechnen.

  Ein Jahr hat ca. $360$ Tage, davon hat jeder genau $24$ Stunden. Das macht für ein Jahr: $360 \cdot 24 = 8640$ Stunden.
  Damit können wir die Formel $Z = K \cdot p\,\% \cdot \frac{h}{8640}$ aufstellen, um die Zinsen nach $h$ Stunden zu berechnen.

  Wir setzen alle Angaben ein: $K = 15\,450\,219\,€$, $p\,\% = 1{,}8\,\% = 0{,}018$, $h = 7$

  $Z = 15\,450\,219\,€ \cdot 0{,}018 \cdot \dfrac{7}{8640} \approx 225{,}32\,€$

  Herr Knausrig kann also, wenn er nur die Zinsen seit dem Mittag ausgeben möchte, für $225\,€$ in der goldenen Muschel zu Abend essen.