Textaufgaben verstehen und lösen
Textaufgaben sind in Mathe und Naturwissenschaften häufig. Sie beginnen einfach, werden aber schnell schwierig. Lerne hier, wie du sie in sechs Schritten meisterst. Neugierig? Erfahre mehr im Text!
- Textaufgaben verstehen und lösen
- Textaufgabe in sechs Schritten
- 1. Schritt – durchlesen und Frage verstehen
- 2. Schritt – Angaben sammeln und Skizze zeichnen
- 3. Schritt – Variablen zuordnen
- 4. Schritt – Formeln aufstellen und Lösungsweg erarbeiten
- 5. Schritt – Lösung berechnen und kontrollieren
- 6. Schritt – Antwortsatz formulieren
- Textaufgaben in sechs Schritten bearbeiten – Beispiele
- Textaufgabe in Mathe – Dreisatz anwenden
- Textaufgabe in Physik – elektrischen Widerstand berechnen
- Textaufgabe in Chemie – Stoffmenge berechnen
- Zusammenfassung
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Textaufgaben verstehen und lösen
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Lerntext zum Thema Textaufgaben verstehen und lösen
Textaufgaben verstehen und lösen
In der Mathematik und später auch in den Naturwissenschaften triffst du öfter mal auf Textaufgaben. In den unteren Klassen werden diese auch Sachaufgaben genannt. Zuerst kommen sie noch recht einfach daher, aber dann wird’s plötzlich ganz schnell kompliziert – vor allem, sobald es darum geht, Variablen zuzuordnen und Formeln aufzustellen.
Wie du eine komplexe Textaufgabe Schritt für Schritt bearbeiten und lösen kannst, sehen wir uns hier einmal an. Wenn du noch nicht so weit bist, kannst du stattdessen die Vorgehensweisen bei einfachen Sachaufgaben und Textaufgaben aus der Grundschule wiederholen.
Bei Textaufgaben ist es wichtig, strukturiert heranzugehen. Deshalb stellen wir hier ein Vorgehen in sechs Schritten vor:
Eine Textaufgabe in sechs Schritten lösen:
- Durchlesen und Frage verstehen
- Angaben sammeln und Skizze zeichnen
- Gegebene und gesuchte Variablen zuordnen
- Formeln aufstellen und Lösungsweg erarbeiten
- Lösung berechnen und kontrollieren
- Antwortsatz formulieren
Sicher kennst du das: Wenn man die Lösung einer Textaufgabe sieht, kommt einem der Lösungsweg ganz logisch und klar vor. Aber schon bei der nächsten Aufgabe, die man allein lösen soll, ist plötzlich gar nichts mehr klar – alles wirkt ganz neu, unverständlich und verwirrend!
Um da den Überblick zu behalten, befolgst du am besten immer die Systematik der sechs Schritte. So kannst du auch komplexere Aufgabenstellungen verstehen und Schritt für Schritt lösen. Das genaue Vorgehen spielen wir am besten anhand eines Beispiels durch.
Textaufgabe in sechs Schritten
Im Folgenden sehen wir uns an, wie man eine Textaufgabe in sechs Schritten lösen kann und was dabei hilft, die Aufgabenstellung zu verstehen.
1. Schritt – durchlesen und Frage verstehen
Klar, bevor du eine Textaufgabe lösen kannst, musst du sie erst einmal durchlesen. Dabei ist es wichtig, sich Zeit zu nehmen und jeden Satz einzeln zu verarbeiten. Stellen, die dir besonders wichtig erscheinen, kannst du dir auch schon markieren. Aber im Wesentlichen geht es erst einmal darum, die Aufgabe einzuordnen: Um welches Thema geht es? Welcher Vorgang wird in der Aufgabenstellung beschrieben? Was ist überhaupt gefragt?
Auf welchen Sachverhalt bzw. welche Größen zielt die Frage genau ab? Um das herauszufinden, solltest du die Aufgabe noch einmal Satz für Satz in eigenen Worten formulieren. So gehst du sicher, dass du das beschriebene Geschehen nachvollziehen und dich in die Problematik hineinversetzen kannst.
2. Schritt – Angaben sammeln und Skizze zeichnen
Als Nächstes sammelst du alles, was gegeben ist. Dazu schreibst du alle Angaben heraus, die im Aufgabentext gemacht werden. Aber beschränke dich dabei auf Angaben, bei denen konkrete Zahlen genannt werden.
Manchmal sind auch Verhältnisse angegeben, also so etwas wie doppelt so schnell oder auf halber Strecke. Auch solche Angaben sind nützlich, weil sie mathematische Zusammenhänge beschreiben, die in Zahlen ausgedrückt werden können.
Bei manchen Angaben fällt dir aber vielleicht auf, dass sie für die Lösung der Aufgabe gar keine Rolle spielen. Diese kannst du getrost ignorieren.
Um zu verstehen, wie die verschiedenen Angaben zusammenhängen, ist es besonders hilfreich, eine Skizze des beschriebenen Vorgangs zu zeichnen. Das solltest du immer machen, selbst wenn es in der Aufgabenstellung gar nicht verlangt wird. Es wird dir auf jeden Fall helfen, die Aufgabe besser zu verstehen! Wenn du deine Skizze dann noch mit den gegebenen Größen beschriftest, kannst du klar zuordnen, welche Angabe zu welchem Sachverhalt gehört.
3. Schritt – Variablen zuordnen
Jetzt haben wir uns den Vorgang veranschaulicht und verstanden, was gefragt ist. Als Nächstes geht es darum, die gesuchten Größen mit Variablen zu benennen. Damit können wir dann einen Rechenweg aufstellen, der uns zur mathematischen Lösung des Problems führt.
Im Prinzip kannst du die Variablen benennen, wie du willst. Es ist aber hilfreich, die Buchstaben so zu wählen, dass sie mit den üblichen Formelzeichen der zugehörigen Größen zusammenhängen (zum Beispiel $v$ für eine Geschwindigkeit, $s$ für eine Strecke und $t$ für eine Zeit).
4. Schritt – Formeln aufstellen und Lösungsweg erarbeiten
Nun haben wir alles beisammen, um einen Lösungsweg aufzustellen. Dazu brauchen wir zuallererst eine Formel, mit der wir die erste gesuchte Größe, $t_\text{Lily}$, berechnen können. Gegeben haben wir die Geschwindigkeit von Lily, $v_\text{Lily}$. Da es sich um eine Durchschnittsgeschwindigkeit handelt, können wir eine einfache Formel anwenden:
$v = \dfrac{s}{t}$
Diese Formel gehört zum Grundwissen, wenn es um (unbeschleunigte) Bewegungen geht. Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeit, das musst du wissen.
Das lässt sich übrigens auch an der Einheit der Geschwindigkeit ablesen: Sie lautet $\pu{km//h}$. Es muss also eine Strecke in $\pu{km}$ durch eine Zeit in $\pu{h}$ geteilt werden, damit am Ende eine Geschwindigkeit in $\pu{km//h}$ herauskommt.
Wie findet man einen Lösungsweg?
- Zuerst stellst du eine Formel auf, in der die gesuchte Größe vorkommt. Oft werden einfache Formeln wie $v = \frac{s}{t}$ als Grundwissen vorausgesetzt.
- Wenn es in deiner Formel noch eine weitere unbekannte Größe gibt, brauchst du eine weitere Formel. Dann kannst du diese Formel nach der einen Größe auflösen und das Ergebnis in die andere Formel einsetzen.
- So kannst du nacheinander alle unbekannten Größen eliminieren und am Ende deine erste Formel nach der gesuchten Größe auflösen.
5. Schritt – Lösung berechnen und kontrollieren
Wir haben einen Lösungsweg aufgestellt und eine Lösung berechnet $\left( t_\text{Lily} = \pu{0,53 h} \right)$, allerdings ist dies noch nicht die Antwort auf die in der Aufgabe gestellte Frage. Es war nämlich gefragt, um wie viel Uhr sich Lily und ihr Opa treffen. Wir müssen also das Ergebnis noch in eine Uhrzeit umrechnen.
Ausgehend von der Startzeit um 14 Uhr addieren wir also $\pu{0,53 h}$. Damit das klappt, müssen wir das Ergebnis in Minuten umrechnen:
$\pu{0,53 h} = 0{,}53 \cdot \pu{60 min} = \pu{31,8 min} \approx \pu{32 min}$
Lily wird also um 14:32 Uhr auf dem Radweg auf ihren Opa treffen.
Wenn du ein Ergebnis berechnet hast, solltest du dir am Ende immer die Frage stellen, ob das Ergebnis auch sinnvoll ist, also ob es plausibel ist. Denn du könntest dich ja irgendwo verrechnet haben. Das siehst du dann oft schnell daran, dass am Ende eine falsche Einheit herauskommt oder der Wert des Ergebnisses unrealistisch groß oder klein ist.
Als Letztes solltest du noch überprüfen, ob es noch weitere Teilaufgaben in der Aufgabenstellung gibt, die du noch nicht beantwortet hast. In unserem Beispiel fehlt tatsächlich noch etwas!
Tipp:
Bei Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben solltest du dich in der Regel daran halten, die Aufgaben in der Reihenfolge zu bearbeiten, in der sie gestellt wurden.
Markiere dir außerdem mit Kreuzchen, welche Aufgaben du schon erledigt hast, damit du keine Teilaufgabe übersiehst!
6. Schritt – Antwortsatz formulieren
Nachdem wir nun alle gesuchten Größen berechnet haben, sollten wir auch zwei saubere Antwortsätze formulieren, um die Fragen der Aufgabenstellung zu beantworten. Dazu bilden wir aus den Fragesätzen der Aufgabe einfach zwei Aussagesätze und setzen die zuvor berechneten Werte (mit Einheiten!) ein.
Textaufgaben in sechs Schritten bearbeiten – Beispiele
Hier haben wir noch weitere Beispiele für Textaufgaben, an denen du die sechs Schritte üben kannst. Versuche es zuerst selbst und sieh dir dann die Lösungen an!
Textaufgabe in Mathe – Dreisatz anwenden
Mit dieser Beispielaufgabe kannst du einen Lösungsweg üben, der für viele Arten von Aufgaben nützlich ist – es geht um den Dreisatz.
Textaufgabe in Physik – elektrischen Widerstand berechnen
Für diese Beispielaufgabe brauchst du Grundwissen aus der Physik – es geht um den elektrischen Widerstand in einem Stromkreis.
Textaufgabe in Chemie – Stoffmenge berechnen
Hier brauchst du Grundwissen aus der Chemie – es geht um Stoffmenge und molare Masse.
Zusammenfassung
- Textaufgaben löst du am besten, indem du systematisch vorgehst.
- Um die Aufgabenstellung zu verstehen und einen Lösungsweg zu finden, kannst du in sechs Schritten vorgehen:
(1) Durchlesen und Frage verstehen
(2) Angaben sammeln und Skizze zeichnen
(3) Gegebene und gesuchte Variablen zuordnen
(4) Formeln aufstellen und Lösungsweg erarbeiten
(5) Lösung berechnen und kontrollieren
(6) Antwortsatz formulieren - Um mit Formeln rechnen zu können, solltest du wissen, welche Formeln des jeweiligen Themas zum Grundwissen gehören. Außerdem solltest du Formeln umstellen und von einer Formel in eine andere einsetzen können.
- Beim Einsetzen und Ausrechnen von Werten müssen die Einheiten mitgenommen (und gegebenenfalls umgerechnet) werden.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Textaufgaben verstehen und lösen
Textaufgaben verstehen und lösen Übung
-
Nenne die Größe, nach der hier gefragt wird.
TippsDas Wort pünktlich in der Frage am Ende des Aufgabentextes bezieht sich auf die Angabe im ersten Satz, Lily solle in einer halben Stunde zu Hause sein.
Das Wort trotzdem in der Frage am Ende des Aufgabentextes deutet an, dass es aufgrund der Zeit, die Lily für das Zusammenpacken ihrer Sachen braucht, nicht sicher ist, dass sie es rechtzeitig nach Hause schafft, obwohl sie so schnell fährt.
Nur eine der Antworten ist korrekt, denn es gibt nur eine gesuchte Größe, mit der die Frage am Ende des Aufgabentextes beantwortet werden kann.
LösungDie Frage im Aufgabentext lautet:
Schafft sie es trotzdem pünktlich nach Hause?Das Wort pünktlich bezieht sich auf einen bestimmten Zeitpunkt, nämlich auf in einer halben Stunde, wie im ersten Satz des Aufgabentextes zu lesen ist.
Es wird also danach gefragt, ob Lily es in einer halben Stunde nach Hause schafft oder nicht.
Um diese Frage beantworten zu können, muss die Zeit berechnet werden, die Lily insgesamt braucht, bis sie zu Hause ist. Diese Zeit darf nicht größer sein als eine halbe Stunde.Im Aufgabentext wird außerdem erwähnt, dass Lily nicht sofort nach dem Anruf ihrer Mutter losfährt, sondern erst noch $6$ Minuten braucht, um ihre Sachen zu packen. Die Zeit, die Lily insgesamt braucht, muss sich also am Ende aus diesen $\pu{6 min}$ und der Zeit, die Lily auf dem Fahrrad fährt, zusammensetzen.
-
Zeige alle gegebenen Größen auf, die im Aufgabentext zu finden sind.
TippsZahlenwerte mit Einheiten sind fast immer relevante Angaben.
Auch in Worten können konkrete Angaben gemacht werden, die später mathematisch ausgedrückt werden können.
LösungLily soll in einer halben Stunde zu Hause sein. Das bedeutet, es bleibt ihr eine Zeit von höchstens $\pu{0,5 h}$, bevor sie zu Hause sein muss.
Die Strecke, die Lily insgesamt nach Hause zurücklegen muss, beträgt $\pu{6,4 km}$.
Lily fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von $\pu{16 km//h}$.
Sie benötigt eine Zeit von $\pu{6 min}$, um ihre Sachen zusammenzupacken, bevor sie losfährt.
-
Verorte gegebene und gesuchte Größen in der Skizze.
TippsAb dem Zeitpunkt des Anrufs ihrer Mutter hat Lily insgesamt noch eine halbe Stunde Zeit, dann sollte sie zu Hause sein.
Lily fährt erst los, nachdem sie ihre Sachen gepackt hat. Dafür benötigt sie $\pu{6 min}$ – also genau eine Zehntelstunde.
Geschwindigkeiten werden in der Regel mit einem Pfeil in Bewegungsrichtung dargestellt und mit dem Buchstaben $v$ abgekürzt.
LösungGanz unten ist der Weg markiert, den Lily nach Hause zurücklegen muss. Weglängen bzw. Strecken werden üblicherweise mit dem Buchstaben $s$ abgekürzt. In diesem Fall gilt: $s = \pu{6,4 km}$.
Mit dem orangen Pfeil wird Lilys Geschwindigkeit angedeutet. Geschwindigkeiten werden üblicherweise mit dem Buchstaben $v$ abgekürzt. In diesem Fall gilt: $v = \pu{16 km//h}$.
Die Fahrzeit, die Lily für ihre Fahrradfahrt benötigt, ist über der zugehörigen Strecke markiert. Wir kennen sie (noch) nicht, aber wir nennen sie $t\left(\text{fahr}\right)$.
Die kleine Ergänzung $_\text{fahr}$ ist notwendig, weil wir noch weitere Zeiten benennen müssen.
Da ist zum einen die Zeit $t\left(\text{pack}\right)$, die vergeht, während Lily ihre Sachen zusammenpackt, bevor sie losfährt. Zum anderen gibt es noch die Gesamtzeit $t\left(\text{gesamt}\right)$, die sich aus den beiden zuerst genannten Zeiten zusammensetzt. Sie beginnt mit dem Anruf von Lilys Mutter und endet, wenn Lily zu Hause ist. Sie darf nicht größer sein als eine halbe Stunde, denn Lily soll ja laut ihrer Mutter spätestens in einer halben Stunde zu Hause sein.
Für diese drei Zeiten wählen wir den üblichen Buchstaben $t$ mit unterschiedlichen Textergänzungen, um sie zu unterscheiden.
-
Erarbeite einen Lösungsweg, um die gesuchte Zeit mithilfe von Formeln zu berechnen.
TippsZuerst wird immer eine Formel aufgestellt, mit der die gesuchte Größe berechnet werden kann.
Wenn weitere unbekannte Größen auftauchen, müssen weitere Formeln gefunden (und gegebenenfalls umgestellt) werden.
So können letztendlich alle unbekannten Größen durch gegebene Größen mathematisch ausgedrückt bzw. diese eingesetzt werden.Das Ergebnis der Rechnung wird am Ende so formuliert, dass damit die Frage in der Aufgabenstellung mit einem Antwortsatz beantwortet werden kann.
LösungZuerst stellen wir eine Formel auf, mit der die gesuchte Größe berechnet werden kann.
Gesucht ist die Gesamtzeit $t\left(\text{gesamt}\right)$, die Lily braucht, bis sie zu Hause ist. Diese setzt sich zusammen aus der Zeit $t\left(\text{pack}\right) = \pu{6 min}$, die sie fürs Zusammenpacken braucht, und der unbekannten Zeit $t\left(\text{fahr}\right)$, die sie auf dem Fahrrad unterwegs ist.
Es gilt also: $t\left(\text{gesamt}\right) = t\left(\text{pack}\right) + t\left(\text{fahr}\right)$Hier taucht eine weitere unbekannte Größen auf, nämlich $t\left(\text{fahr}\right)$, für die wir eine weitere Formel finden müssen.
Lilys Fahrzeit $t\left(\text{fahr}\right)$ lässt sich mithilfe ihrer Geschwindigkeit $v = \pu{16 km//h}$ und der zu fahrenden Strecke $s = \pu{6,4 km}$ berechnen.
Eine passende Formel dafür lautet: $s = v \cdot t\left(\text{fahr}\right)$.Diese Formel müssen wir nach $t\left(\text{fahr}\right)$ auflösen, um das Ergebnis in unsere erste Formel einsetzen zu können.
Die Formel muss also nach $t\left(\text{fahr}\right)$ umgestellt werden:
$s = v \cdot t\left(\text{fahr}\right)\quad \big\vert ~: v$
$t\left(\text{fahr}\right) = \dfrac{s}{v}$Jetzt haben wir $t\left(\text{fahr}\right)$ durch die gegebenen Größen $s$ und $v$ ausgedrückt. Den entsprechenden Term $\left( \dfrac{s}{v} \right)$ können wir nun in unsere ursprüngliche Formel einsetzen.
So kann $t\left(\text{gesamt}\right)$ durch Einsetzen aller bekannten Größen berechnet werden:
$t\left(\text{gesamt}\right) = t\left(\text{pack}\right) + t\left(\text{fahr}\right)$
$t\left(\text{gesamt}\right) = \pu{6 min} + \dfrac{s}{v}$
$t\left(\text{gesamt}\right) = \pu{0,1 h} + \dfrac{\pu{6,4 km}}{\pu{16 km//h}}$
$t\left(\text{gesamt}\right) = \pu{0,5 h}$
(Anmerkung: Wir haben $t\left(\text{pack}\right) = \pu{6 min}$ in $\pu{0,1 h}$ umgerechnet, damit wir die beiden Zeiten $t\left(\text{pack}\right)$ und $t\left(\text{fahr}\right)$ $\left(= \pu{0,4 h} \right)$ problemlos addieren können.)
Das Ergebnis der Rechnung formulieren wir nun in Form eines Antwortsatzes, der die Frage in der Aufgabenstellung eindeutig beantwortet:
Lily braucht insgesamt genau $t\left(\text{gesamt}\right) = \pu{0,5 h}$, bis sie zu Hause ist. Sie schafft es also gerade rechtzeitig, so wie es von ihrer Mutter verlangt wurde.
-
Formuliere die sechs Schritte zur systematischen Lösung einer Textaufgabe.
TippsDie sechs Schritte lauten:
- Durchlesen und Frage verstehen
- Angaben sammeln und Skizze zeichnen
- Gegebene und gesuchte Variablen zuordnen
- Formeln aufstellen und Lösungsweg erarbeiten
- Lösung berechnen und kontrollieren
- Antwortsatz formulieren
Lösung- Zuerst solltest du den Aufgabentext einmal in Ruhe durchlesen. Wenn du den Text dann noch einmal in eigenen Worten formulierst, fällt es dir leichter, die Frage zu verstehen.
- Markiere dir alle Angaben im Text, die zur Beantwortung der Frage wichtig sein könnten. Wenn du eine Skizze zeichnest, kannst du dir außerdem den Vorgang noch besser vorstellen und die Bedeutung der Angaben verstehen.
- Um den Vorgang mathematisch beschreiben zu können, musst du alle gegebenen und gesuchten Größen in Form von Variablen ausdrücken.
- Mit den Variablen kannst du nun Formeln aufstellen und einen mathematischen Lösungsweg erarbeiten.
- Manchmal müssen Formeln umgestellt oder von einer Formel in eine andere Formel eingesetzt werden, um alle unbekannten Größen aufzulösen. Am Ende kannst du dann eine Lösung berechnen. Diese solltest du unbedingt noch einmal kontrollieren.
- Mit der Lösung kannst du dann einen Antwortsatz formulieren. Achte darauf, dass dieser auch tatsächlich die in der Aufgabe gestellte Frage beantwortet. Dann ist alles geschafft!
-
Ordne die konkreten Bearbeitungsvorschläge den sechs Schritten der allgemeinen Herangehensweise zu.
TippsDas Formulieren des Aufgabentextes in eigenen Worten haben wir hier teilweise im ersten, teilweise im zweiten Schritt ausgeführt. Dafür haben wir im zweiten Schritt auf eine Skizze verzichtet.
Auf eine Kontrolle des Ergebnisses haben wir hier verzichtet. Wir vertrauen unserer Lösung aufgrund der passenden Einheiten.
LösungDurchlesen und Frage verstehen:
Es soll berechnet werden, ob Lily es schafft, in einer Zeit $\leq \pu{0,5 h}$ nach Hause zu fahren. Dabei ist einerseits ihre Fahrzeit zu berücksichtigen, andererseits die Zeit, die sie fürs Zusammenpacken braucht.
Angaben Sammeln und Skizze zeichnen:
Lily muss insgesamt eine Strecke von $\pu{6,4 km}$ fahren. Sie braucht $\pu{6 min}$ Zeit, bevor sie losfährt, und fährt dann mit einer Geschwindigkeit von $\pu{16 km//h}$.
Anmerkung: Auf das Zeichnen einer Skizze haben wir hier verzichtet.
Gegebene und gesuchte Variablen zuordnen:
Gesucht: $t\left(\text{gesamt}\right) =\,?$
Gegeben:
$t\left(\text{pack}\right) = \pu{6 min} = \pu{0,1 h}$
$s = \pu{6,4 km}$
$v = \pu{16 km//h}$Formeln aufstellen und Lösungsweg erarbeiten:
$t\left(\text{gesamt}\right) = t\left(\text{pack}\right) + t\left(\text{fahr}\right)$
$t\left(\text{fahr}\right) = \dfrac{s}{v}$
$t\left(\text{gesamt}\right) = t\left(\text{pack}\right) + \dfrac{s}{v}$
Anmerkung: Die Formel $t = \dfrac{s}{v}$ folgt aus $s = v \cdot t$. Diese Formel gehört zum Grundwissen bei Bewegungen mit gleichbleibender (Durchschnitts-)Geschwindigkeit.
Lösung berechnen und kontrollieren:
$t\left(\text{gesamt}\right) = \pu{0,1 h} + \dfrac{\pu{6,4 km}}{\pu{16 km//h}}$
$t\left(\text{gesamt}\right) = \pu{0,5 h}$
Anmerkung: Eine Kontrolle der Lösung haben wir uns hier gespart. Wichtig ist aber, wenigstens sicherzustellen, dass die Einheiten der Rechnung passen. Das ist hier der Fall.
Antwortsatz formulieren:
Lily schafft es gerade noch pünktlich nach Hause, denn sie braucht insgesamt genau $t\left(\text{gesamt}\right) = \pu{0,5 h}$.
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