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Bedingte Wahrscheinlichkeit – Einführung

Bedingte Wahrscheinlichkeit erklärt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses AA, unter der Bedingung, dass das Ereignis BB eintritt. Die Formel PB(A)=P(AB)P(B)P_{B}(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} zeigt diesen Zusammenhang. Interessiert? Das und mehr erfährst du im folgenden Text!

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Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?

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Bedingte Wahrscheinlichkeit – Einführung
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Grundlagen zum Thema Bedingte Wahrscheinlichkeit – Einführung

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Definition

Du kennst schon die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen bei einem Zufallsexperiments. Was aber ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit? Um das zu verstehen, betrachten wir die Ereignisse AA und BB eines Zufallsexperiments. P(A)P(A) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis AA eintritt, und P(B)P(B) ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses BB. Die bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A)P_{B}(A) ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses AA unter der Bedingung, dass das Ereignis BB bereits eingetreten ist.

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses AA unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis BB eintritt.

Schreibweise:

  • PB(A) P_{B}(A)~ – Sprich „P von A unter der Bedingung B“.

Hinweis: Eine alternative Schreibweise für die bedingte Wahrscheinlichkeit ist P(EreignisBedingung)P(\text{Ereignis} \vert \text{Bedingung}), also beispielsweise P(AB) =^ PB(A)P(A \vert B) ~\hat{=}~ P_{B}(A).

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Formel

Die bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A)P_{B}(A) hängt von der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von BB und von der Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens von AA und BB ab. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist durch folgende Formel definiert:

PB(A)=P(AB)P(B)P_{B}(A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

In Worten besagt die Formel: Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von AA unter der Bedingung des Eintretens von BB ist der Anteil der Wahrscheinlichkeit von ABA \cap B an der Wahrscheinlichkeit von BB.

Wusstest du schon?
Diese Formel wird auch Satz von Bayes genannt. Der Mathematiker Thomas Bayes, nach dem der Satz von Bayes benannt ist, beschäftigte sich in seiner Freizeit mit Mathematik und legte damit den Grundstein für die bedingte Wahrscheinlichkeit. Dank seiner Arbeit können wir heute die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen besser einschätzen.

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Bedingte Wahrscheinlichkeit – Beispiel

Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn jedes Ergebnis dieselbe Wahrscheinlichkeit hat. Wir betrachten hier ein Experiment, bei dem einer von 2020 möglichen Bauklötzen zufällig gewählt bzw. gezogen wird. Als Ereignisse AA und BB definieren wir die Mengen von Klötzen in den beiden farbig markierten Feldern.

Bedingte Wahrscheinlichkeit Laplace

Die Wahrscheinlichkeit, einen Klotz aus AA zu ziehen, ist P(A)=620=0,3P(A) = \frac{6}{20} = 0{,}3. Die Wahrscheinlichkeit für einen Klotz aus BB ist P(B)=820=0,4P(B) = \frac{8}{20} = 0{,}4. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gezogener Klotz sowohl zu AA als auch zu BB gehört, ist P(AB)=420=0,2P(A \cap B) = \frac{4}{20} = 0{,}2.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A)P_{B}(A) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein aus BB gezogener Klotz auch zu AA gehört. Diese Wahrscheinlichkeit können wir mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen:

PB(A)=P(AB)P(B)=0,20,4=0,5P_{B}(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5

Da wir hier von einem Laplace-Experiment ausgegangen sind, können wir auch direkt den Anteil von ABA \cap B an BB ausrechnen und erhalten dasselbe Ergebnis.

Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal ein Kartenspiel wie Poker gespielt und überlegt, wie wahrscheinlich es ist, eine bestimmte Karte zu ziehen, nachdem schon einige Karten aufgedeckt wurden. Hierbei nutzt du bedingte Wahrscheinlichkeit. Du berechnest deine Chancen auf Basis der bereits gespielten Karten. So wird dir klar, dass bedingte Wahrscheinlichkeit nicht nur in der Mathematik wichtig ist, sondern auch in alltäglichen Situationen wie beim Spielen!

Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt aber für alle Zufallsexperimente, nicht nur für Laplace-Experimente. Das erläutern wir an einem ähnlichen Beispiel mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse:

Bedingte Wahrscheinlichkeit

In dem Bild bezeichnen die Zahlen auf den Klötzen jeweils die Wahrscheinlichkeit in %\% für das Ergebnis, dass ein Klotz gewählt wird. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses AA ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse:

P(A)=6%+10%+4%+10%+10%+8%=48%=0,48P(A) = 6\,\% + 10\,\% + 4\,\% + 10\,\% + 10\,\% + 8\,\% = 48\,\% = 0{,}48

Analog erhalten wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von BB:

P(B)=34%+28%+210%+16%=64%=0,64P(B) = 3 \cdot 4\,\% + 2 \cdot 8\,\% + 2 \cdot 10\,\% + 16\,\% = 64\,\% = 0{,}64

Das Ereignis ABA \cap B hat die Wahrscheinlichkeit:

P(AB)=4%+8%+210%=32%=0,32P(A \cap B) = 4\,\% + 8\,\% + 2 \cdot 10\,\% = 32\,\% = 0{,}32

Daher ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für AA unter der Bedingung BB:

PB(A)=P(AB)P(B)=0,320,64=12=0,5P_{B}(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}32}{0{,}64} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5

Wir können auch die Wahrscheinlichkeit für BB unter der Bedingung AA ausrechnen:

PA(B)=P(AB)P(A)=0,320,48=23=0,6P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}32}{0{,}48} = \dfrac{2}{3} = 0{,}\overline{6}

Fehleralarm
Ein häufiger Fehler ist die Annahme, dass bedingte Wahrscheinlichkeit immer kleiner oder gleich der einzelnen Wahrscheinlichkeiten ist. Das ist nicht immer der Fall.

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Anwendung

Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind in der Stochastik überall dort relevant, wo sich Ereignisse gegenseitig beeinflussen. Betrachten wir beispielsweise ein mehrstufiges Zufallsexperiment, bei dem ohne Zurücklegen gezogen wird. In diesem Fall verändert sich durch jeden Zug die Zusammensetzung der Grundmenge. Daher bedingt das Ergebnis jeder Stufe die Wahrscheinlichkeiten für die nächste Stufe. Bei der Wahrscheinlichkeit für die nächste Stufe handelt es sich also um bedingte Wahrscheinlichkeiten, die vom Ergebnis der vorherigen Stufen abhängen.

Wenn sich das Eintreten eines Ereignisses auf die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines anderen Ereignisses auswirkt, kann dies durch eine bedingte Wahrscheinlichkeit beschrieben werden. Zur Veranschaulichung von bedingten Wahrscheinlichkeiten eignen sich Baumdiagramme, da hier die bedingten Wahrscheinlichkeiten direkt an den Ästen notiert werden.

Ausblick – das lernst du nach Bedingte Wahrscheinlichkeit – Einführung

Mache dich bereit, bedingte Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm und in den Vierfeldertafeln zu entdecken! Danach kannst du dich noch an einer Beispielaufgabe probieren.

Zusammenfassung – Bedingte Wahrscheinlichkeit

  • Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist eine Wahrscheinlichkeit, die das Eintreten eines Ereignisses AA unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis BB eintritt. Wir schreiben dafür PB(A)P_B(A).
  • Die bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A)P_B(A) berechnet sich aus dem Quotienten der Wahrscheinlichkeit P(AB)P(A \cap B), dass Ereignis AA und BB eintreten, und der Wahrscheinlichkeit P(B)P(B), dass das Ereignis BB eintritt.
  • Für die bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A)P_B(A) gilt die Formel:

    PA(B)=P(AB)P(A)P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}

Häufig gestellte Fragen zum Thema Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Einführung Übung

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