Bedingte Wahrscheinlichkeit – Einführung

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Einführung Übung

• Ermittle die bedingte Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Achte darauf, wie die Ereignisse $G$ und $K$ definiert sind.

  Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit teilen wir die Wahrscheinlichkeit der Und-Verknüpfung durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung.

  Wie viele Elemente sind grün und wie viele Elemente sind kreisförmig?

  Lösung

  Wir haben folgende Ereignisse definiert:

  $G:$ Das Element ist grün.

  $K:$ Das Element ist kreisförmig.

  Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, ein grünes Element ($\mathbf{G}$) zu wählen, unter der Bedingung, dass das Element kreisförmig ($\mathbf{K}$) ist. Für einen besseren Überblick ordnen wir die Elemente so, dass wir die Mengen von $G$ und $K$ direkt erkennen können.

  Um die Wahrscheinlichkeit für ein grünes Element aus der Menge der kreisförmigen Elemente zu erhalten, nutzen wir die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_K(G)$:

  $P_K(G) = \dfrac{P(G \cap K)}{P(K)}$.

  Dabei teilen wir die Schnittwahrscheinlichkeit $P(G \cap K)$ durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung $P(K)$.

  Zunächst bestimmen wir die einzelnen Wahrscheinlichkeiten, indem wir die zugehörigen Elemente abzählen und durch die Gesamtzahl der Elemente $20$ teilen:

  $P(G\cap K) = \dfrac{3}{20}$, da die Menge $3$ grüne Kreise enthält.

  $P(K) = \dfrac{8}{20}$, da die Menge insgesamt $8$ Kreise enthält.

  Durch Einsetzen in die Gleichung der bedingten Wahrscheinlichkeit erhalten wir:

  $P_K(G) = \dfrac{\,\dfrac{3}{20}\,}{\dfrac{8}{20}} = \dfrac{3}{20}\cdot \dfrac{20}{8} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%$.

  Somit haben wir die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass das gewählte Element grün ist unter der Bedingung, dass es kreisförmig ist.

• Beschreibe die Bedeutung der bedingten Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen wir, indem wir die Wahrscheinlichkeit einer Und-Verknüpfung von zwei Ereignissen durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung teilen.

  Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit wollen wir die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $A$ herausfinden unter der Bedingung, dass ein Ereignis $B$ schon eingetreten ist.

  Lösung

  Die bedingte Wahrscheinlichkeit unterscheidet sich von der "normalen" Wahrscheinlichkeit darin, dass dabei nicht die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (wir schreiben $P(A)$ für die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$) oder einer Verknüpfung von zwei Ereignissen (für die Ereignisse $A$ und $B$ schreiben wir $P(A \cap B)$) berechnet wird, sondern die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis bereits eingetroffen ist. Um die bedingte Wahrscheinlichkeit klar von der Wahrscheinlichkeit der Und-Verknüpfung zu trennen, schreiben wir hier für die bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ unter Bedingung von $B$: $P_B(A)$.

  $\rightarrow$ Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ handelt es sich um die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A unter der Bedingung, dass das Ereignis B schon eingetreten ist. korrekt

  Das heißt, es handelt sich nicht um eine Und-Verknüpfung, sondern um zwei Ereignisse, die gleichzeitig untersucht werden und wobei das Vorwissen über ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit eines anderen Ereignisses beeinflusst.

  $\rightarrow$ Die bedingte Wahrscheinlichkeit kommt vor, wenn wir bei einem Zufallsexperiment zwei Merkmale gleichzeitig untersuchen und das Vorwissen über ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit eines anderen Ereignisses beeinflusst. korrekt

  $\rightarrow$ Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit handelt es sich um eine Und-Verknüpfung. falsch

  Die Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit geht folgendermaßen:

  $P_B(A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

  Das beschreibt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $A$ unter der Bedingung, dass das Ereignis $B$ schon eingetreten ist. Deshalb teilen wir in der Gleichung durch $P(B)$ und nicht durch $P(A)$. Das Teilen durch $P(A)$ würde uns genau umgekehrt die Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$ geben, also die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von $A$ unter der Bedingung, dass $B$ schon eingetreten ist.

  $\rightarrow$ Die bedingte Wahrscheinlichkeit lässt sich folgendermaßen berechnen: $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$. falsch

  Das bedeutet auch, dass es nicht ausreicht, nur die Wahrscheinlichkeit $P(A\cap B)$ zu kennen. Wir benötigen auch die Wahrscheinlichkeit $P(B)$, um die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ zu berechnen.

  $\rightarrow$ Um die Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ herauszufinden, reicht es aus, die Wahrscheinlichkeit $P(A \cap B)$ zu kennen. falsch

• Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Die bedingte Wahrscheinlichkeit erhältst du, wenn du die Wahrscheinlichkeit der Und-Verknüpfung durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung teilst.

  Kürze die Brüche passend, um auf die Dezimalzahlen zu kommen.

  Wahrscheinlichkeiten berechnest du, indem du die gegebene Anzahl durch die Gesamtanzahl teilst.

  Beispiel: $8$ von $30$ Schülerinnen und Schüler besitzen ein Auto. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler oder eine Schülerin ein Auto besitzt, berechnet sich folgendermaßen:

  $P(A) = \dfrac{8}{30} = \dfrac{4}{15}$

  Lösung

  Wir definieren zuerst die Ereignisse

  $A:$ Schüler oder Schülerin besitzt ein Auto,

  $F:$ Schüler oder Schülerin hat einen Führerschein,

  $A \cap F:$ Schüler oder Schülerin besitzt ein Auto und hat einen Führerschein.

  Wir wollen wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Schüler oder eine Schülerin ein Auto besitzt unter der Bedingung, dass er oder sie einen Führerschein hat. Dafür bestimmen wir die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

  $P(F) = \dfrac{12}{30} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$ und

  $P(A\cap F) = \dfrac{6}{30} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2$.

  Es gibt $12$ Schüler und Schülerinnen, die ein Führerschein haben. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Schüler oder eine Schülerin einen Führerschein hat, müssen wir diese Zahl durch die Gesamtanzahl $30$ teilen, um $P(F)$ zu erhalten. Auf gleiche Weise teilen wir die Anzahl der Schülerinnen und Schüler, die sowohl ein Führerschein als auch ein Auto haben, durch die Gesamtanzahl, um $P(A\cap F)$ zu erhalten.

  Damit können wir nun die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen:

  $P_F(A) = \dfrac{P(A\cap F)}{P(F)} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$

• Entscheide, um welche Wahrscheinlichkeiten es sich handelt.

  Tipps

  Achte darauf, ob eine Information schon gegeben ist und jetzt nach einer neuen Information gefragt wird oder ob direkt nach der Verknüpfung der Informationen gefragt wird.

  Werden Nebensätze angegeben, die uns schon Vorwissen liefern?

  Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Form blau ist, wenn es sich um einen Kreis handelt.

  Hier wird in einem Nebensatz eine Vorinformation gegeben, die wir nutzen können, um die Wahrscheinlichkeit für "blau" zu berechnen. Es ist also nach der Wahrscheinlichkeit für "blau" gefragt unter der Bedingung, dass die Form "kreisförmig" ist.

  Lösung

  Wir haben folgende Ereignisse:

  $F:$ Die Fotografie-AG wird ausgesucht.

  $R:$ Die Robotik-AG wird ausgesucht.

  $K:$ Schüler oder Schülerin hat mehr Spaß im Fach Kunst.

  $T:$ Schüler oder Schülerin hat mehr Spaß im Fach Technik.

  Um herauszufinden, ob es sich bei einer Fragestellung um eine bedingte Wahrscheinlichkeit oder um eine Und-Verknüpfung handelt, müssen wir herausfinden, welche Information uns schon als Vorwissen gegeben wird.

  Fragestellung 1:

  Mit welcher Wahrscheinlichkeit sucht ein Schüler oder eine Schülerin die Fotografie-AG aus, wenn wir schon wissen, dass er oder sie mehr Spaß an Kunst hat?

  Hier haben wir das Ereignis $K$ schon gegeben. Wir wissen also, dass der Schüler oder die Schülerin mehr Spaß im Fach Kunst hat. Mit dieser Information wollen wir die Wahrscheinlichkeit herausfinden, dass dieser Schüler oder diese Schülerin sich für die Fotografie-AG entscheidet. Es handelt sich also um eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
  $\rightarrow P_K(F)$

  Fragestellung 2:

  Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Schüler oder eine Schülerin mehr Spaß an Technik und sucht die Fotografie-AG aus?

  In dieser Fragestellung wird direkt nach der Und-Verknüpfung gefragt. Es wird keine Information im Vorfeld gegeben, die wir benutzen können, um eine weitere Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Wir verknüpfen also die Ereignisse, dass ein Schüler oder eine Schülerin mehr Spaß im Fach Technik hat ($T$), und dass er oder sie die Fotografie-AG aussucht ($F$).
  $\rightarrow P(T \cap F)$

  Fragestellung 3:

  Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Schüler oder eine Schülerin, der/die mehr Spaß an Kunst hat, die Robotik-AG wählt?

  Hier wird in einem Nebensatz erwähnt, dass es sich um einen Schüler oder eine Schülerin handelt, der/die mehr Spaß im Fach Kunst hat ($K$). Nun ist nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, dass genau dieser Schüler oder diese Schülerin die Robotik-AG wählt ($R$). Es ist also eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
  $\rightarrow P_K(R)$.

  Fragestellung 4:

  Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Schüler oder eine Schülerin die Robotik-AG aussucht, wenn es mehr Spaß an Technik hat?

  Auch hier wird in einem Nebensatz erwähnt, dass es sich um einen Schüler oder eine Schülerin handelt, der/die mehr Spaß im Fach Technik hat ($T$). Es ist nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, dass genau dieser Schüler oder diese Schülerin die Robotik-AG wählt ($R$) unter der Bedingung, dass $T$ eingetreten ist. Es ist also eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
  $\rightarrow P_T(R)$.

  Fragestellung 5:

  Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Schüler oder eine Schülerin die Robotik-AG aussucht und mehr Spaß an Technik hat?

  In dieser Fragestellung wird nach einem Schüler oder einer Schülerin gefragt, der/die die Robotik-AG wählt und mehr Spaß im Fach Technik hat. Damit handelt es sich um eine Und-Verknüpfung.
  $\rightarrow P(R \cap T)$.

• Gib die einzelnen Wahrscheinlichkeiten an.

  Tipps

  Zähle, wie viele rote/kreisförmige Elemente es gibt.

  Zähle, wie viele Elemente rot und kreisförmig sind.

  Überlege, durch welche Zahl geteilt werden muss. Zum Beispiel sind $4$ von $10$ Elementen blau. Das ergibt eine Wahrscheinlichkeit

  $P(\text{blau}) = \dfrac{4}{10}$.

  Die Gleichung, um die bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, lautet:

  $P_B(A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

  Lösung

  Um die einzelnen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, benötigen wir die Anzahl der Elemente, welche die gewünschten Merkmale aufweisen. Außerdem brauchen wir die Anzahl der Elemente insgesamt, durch die wir dann teilen.

  Durch Abzählen sehen wir, dass $6$ von $10$ Elementen rot sind. Das heißt, wir teilen die Anzahl der roten Elemente durch die Gesamtanzahl der Elemente und erhalten:

  $P(R) = \dfrac{6}{10}$

  Auf die gleiche Weise ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit, ein kreisförmiges Element zu erhalten. Es gibt $2$ kreisförmige Elemente. Damit ergibt sich:

  $P(K) = \dfrac{2}{10}$

  Das Zeichen $\cap$ steht für eine Und-Verknüpfung. Das heißt, wir bestimmen, wie viele Elemente gleichzeitig rot und kreisförmig sind. Es gibt genau ein rotes kreisförmiges Element. Also:

  $P(R \cap K) = \dfrac{1}{10}$

  Als Letztes wollen wir die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_K(R)$ berechnen. Diese gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Element rot ist unter der Bedingung, dass es kreisförmig ist. Dafür nehmen wir die Wahrscheinlichkeit, dass ein Element rot und kreisförmig ist, $P(R\cap K)$ und teilen sie durch die Wahrscheinlichkeit, dass ein Element kreisförmig ist, $P(K)$:

  $P_K(R) = \dfrac{P(R\cap K)}{P(K)} = \dfrac{\,\dfrac{1}{10}\,}{\dfrac{2}{10}} = \dfrac{1}{2}$

• Bestimme die Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Achte auf die Satzstellung.

  Beispiel: Ein weißes Kaninchen ist eine Und-Verknüpfung. Wenn wir schon die Information haben, dass es ein Kaninchen ist und dann wissen wollen, ob es weiß oder braun ist, ist es die bedingte Wahrscheinlichkeit.

  Um die Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis zu berechnen, nehmen wir die Häufigkeit dieses Ereignisses und teilen sie durch die Gesamtanzahl.

  Beispiel: Für das Ereignis

  $A:$ Ein Hamster wird ausgewählt,

  berechnen wir die Wahrscheinlichkeit

  $P(A) = \dfrac{30}{50} = \dfrac{3}{5}$,

  da es insgesamt $50$ Tiere gibt (Gesamtanzahl) und $30$ davon Hamster sind (Häufigkeit der Hamster).

  Lösung

  Zu den gegebenen Ereignissen

  $H:$ Das Tier ist ein Hamster,

  $B:$ Das Tier ist braun,

  definieren wir die Gegenereignisse:

  $\bar{H}:$ Das Tier ist kein Hamster. Also: Das Tier ist ein Kaninchen.

  $\bar{B}:$ Das Tier ist nicht braun. Also: Das Tier ist weiß.

  Beispiel 1:

  Es gibt $20$ Kaninchen unter den insgesamt $50$ Tieren. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kaninchen ausgesucht wird, ist

  $P(\bar{H}) = \dfrac{20}{50} = \dfrac{2}{5}$.

  Hier haben wir im letzten Schritt den Faktor $10$ gekürzt.

  Beispiel 2:

  Die Wahrscheinlichkeit, einen weißen Hamster auszuwählen, bekommen wir durch die Und-Verknüpfung der Ereignisse $H$ (Das Tier ist ein Hamster) und $\bar{B}$ (Das Tier ist weiß). Es gibt $12$ weiße Hamster. Diese Anzahl teilen wir durch die Gesamtanzahl der Tiere, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten:

  $P(H \cap \bar{B}) = \dfrac{12}{50} = \dfrac{6}{25}$,

  wobei wir im letzten Schritt den Faktor $2$ gekürzt haben.

  Beispiel 3:

  Wir wollen die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass das Tier ein Hamster ist unter der Bedingung, dass es braun ist. Dafür brauchen wir die Wahrscheinlichkeit, dass das Tier ein brauner Hamster ist und die Wahrscheinlichkeit, dass es braun ist.

  Die Wahrscheinlichkeit für einen braunen Hamster beträgt:

  $P(H\cap B) = \dfrac{18}{50}$,

  denn in den insgesamt $50$ Tieren gibt es $30$ Hamster, von denen $12$ weiß sind. Damit erhalten wir $30 - 12 = 18$ braune Hamster.

  Für die Wahrscheinlichkeit, dass das Tier braun ist, müssen wir zuerst die Anzahl der braunen Tiere zusammenrechnen: $18 + 6 = 24$. Auf gleiche Weise erhalten wir hier die Wahrscheinlichkeit:

  $P(B) = \dfrac{24}{50}$

  Wir stellen die bedingte Wahrscheinlichkeit auf:

  $P_B(H) = \dfrac{P(H\cap B)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{18}{50}}{\dfrac{24}{50}} = \dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$

  Im letzten Schritt haben wir den Bruch $\dfrac{18}{24}$ um den Faktor $6$ gekürzt.

  Beispiel 4:

  Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass Peter ein weißes Tier auswählt unter der Bedingung, dass es ein Kaninchen ist, ermitteln wir zuerst die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um ein weißes Kaninchen handelt:

  $P(\bar{H} \cap \bar{B}) = \dfrac{14}{50}$,

  denn von den $20$ Kaninchen sind $6$ braun und der Rest $20 - 6 = 14$ ist weiß.

  Für die Wahrscheinlichkeit, dass das Tier ein Kaninchen ist, brauchen wir nur die Anzahl der Kaninchen durch die Gesamtanzahl der Tiere zu teilen:

  $P(\bar{H}) = \dfrac{20}{50}$

  Wir stellen den Quotienten für die bedingte Wahrscheinlichkeit auf:

  $P_{\bar{H}}(\bar{B}) = \dfrac{P(\bar{H} \cap \bar{B})}{P(\bar{H})} = \dfrac{\dfrac{14}{50}}{\dfrac{20}{50}} = \dfrac{14}{20} = \dfrac{7}{10}$

  Auch hier haben wir im letzten Schritt den Bruch gekürzt.