Bedingte Wahrscheinlichkeit – Einführung
Bedingte Wahrscheinlichkeit erklärt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses , unter der Bedingung, dass das Ereignis eintritt. Die Formel zeigt diesen Zusammenhang. Interessiert? Das und mehr erfährst du im folgenden Text!
- Bedingte Wahrscheinlichkeit – Definition
- Bedingte Wahrscheinlichkeit – Formel
- Bedingte Wahrscheinlichkeit – Beispiel
- Bedingte Wahrscheinlichkeit – Anwendung
- Ausblick – das lernst du nach Bedingte Wahrscheinlichkeit – Einführung
- Zusammenfassung – Bedingte Wahrscheinlichkeit
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Bedingte Wahrscheinlichkeit
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Grundlagen zum Thema Bedingte Wahrscheinlichkeit – Einführung
Bedingte Wahrscheinlichkeit – Definition
Du kennst schon die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen bei einem Zufallsexperiments. Was aber ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit? Um das zu verstehen, betrachten wir die Ereignisse und eines Zufallsexperiments. bezeichnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis eintritt, und ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses . Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses unter der Bedingung, dass das Ereignis bereits eingetreten ist.
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis eintritt.
Schreibweise:
- – Sprich „P von A unter der Bedingung B“.
Hinweis: Eine alternative Schreibweise für die bedingte Wahrscheinlichkeit ist , also beispielsweise .
Bedingte Wahrscheinlichkeit – Formel
Die bedingte Wahrscheinlichkeit hängt von der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von und von der Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens von und ab. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist durch folgende Formel definiert:
In Worten besagt die Formel: Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von unter der Bedingung des Eintretens von ist der Anteil der Wahrscheinlichkeit von an der Wahrscheinlichkeit von .
Wusstest du schon?
Diese Formel wird auch Satz von Bayes genannt. Der Mathematiker Thomas Bayes, nach dem der Satz von Bayes benannt ist, beschäftigte sich in seiner Freizeit mit Mathematik und legte damit den Grundstein für die bedingte Wahrscheinlichkeit. Dank seiner Arbeit können wir heute die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen besser einschätzen.
Bedingte Wahrscheinlichkeit – Beispiel
Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn jedes Ergebnis dieselbe Wahrscheinlichkeit hat. Wir betrachten hier ein Experiment, bei dem einer von möglichen Bauklötzen zufällig gewählt bzw. gezogen wird. Als Ereignisse und definieren wir die Mengen von Klötzen in den beiden farbig markierten Feldern.
Die Wahrscheinlichkeit, einen Klotz aus zu ziehen, ist
Die bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein aus gezogener Klotz auch zu gehört. Diese Wahrscheinlichkeit können wir mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen:
Da wir hier von einem Laplace-Experiment ausgegangen sind, können wir auch direkt den Anteil von an ausrechnen und erhalten dasselbe Ergebnis.
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal ein Kartenspiel wie Poker gespielt und überlegt, wie wahrscheinlich es ist, eine bestimmte Karte zu ziehen, nachdem schon einige Karten aufgedeckt wurden. Hierbei nutzt du bedingte Wahrscheinlichkeit. Du berechnest deine Chancen auf Basis der bereits gespielten Karten. So wird dir klar, dass bedingte Wahrscheinlichkeit nicht nur in der Mathematik wichtig ist, sondern auch in alltäglichen Situationen wie beim Spielen!
Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt aber für alle Zufallsexperimente, nicht nur für Laplace-Experimente. Das erläutern wir an einem ähnlichen Beispiel mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse:
In dem Bild bezeichnen die Zahlen auf den Klötzen jeweils die Wahrscheinlichkeit in für das Ergebnis, dass ein Klotz gewählt wird. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse:
Analog erhalten wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von :
Das Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit:
Daher ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für unter der Bedingung :
Wir können auch die Wahrscheinlichkeit für unter der Bedingung ausrechnen:
Fehleralarm
Ein häufiger Fehler ist die Annahme, dass bedingte Wahrscheinlichkeit immer kleiner oder gleich der einzelnen Wahrscheinlichkeiten ist. Das ist nicht immer der Fall.
Bedingte Wahrscheinlichkeit – Anwendung
Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind in der Stochastik überall dort relevant, wo sich Ereignisse gegenseitig beeinflussen. Betrachten wir beispielsweise ein mehrstufiges Zufallsexperiment, bei dem ohne Zurücklegen gezogen wird. In diesem Fall verändert sich durch jeden Zug die Zusammensetzung der Grundmenge. Daher bedingt das Ergebnis jeder Stufe die Wahrscheinlichkeiten für die nächste Stufe. Bei der Wahrscheinlichkeit für die nächste Stufe handelt es sich also um bedingte Wahrscheinlichkeiten, die vom Ergebnis der vorherigen Stufen abhängen.
Wenn sich das Eintreten eines Ereignisses auf die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines anderen Ereignisses auswirkt, kann dies durch eine bedingte Wahrscheinlichkeit beschrieben werden. Zur Veranschaulichung von bedingten Wahrscheinlichkeiten eignen sich Baumdiagramme, da hier die bedingten Wahrscheinlichkeiten direkt an den Ästen notiert werden.
Ausblick – das lernst du nach Bedingte Wahrscheinlichkeit – Einführung
Mache dich bereit, bedingte Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm und in den Vierfeldertafeln zu entdecken! Danach kannst du dich noch an einer Beispielaufgabe probieren.
Zusammenfassung – Bedingte Wahrscheinlichkeit
- Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist eine Wahrscheinlichkeit, die das Eintreten eines Ereignisses unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis eintritt. Wir schreiben dafür .
- Die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet sich aus dem Quotienten der Wahrscheinlichkeit , dass Ereignis und eintreten, und der Wahrscheinlichkeit , dass das Ereignis eintritt.
-
Für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt die Formel:
Häufig gestellte Fragen zum Thema Bedingte Wahrscheinlichkeit
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