Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik

Der Begriff „Stochastik“ kann übersetzt werden mit „Kunst des Vermutens“. Die Stochastik ist ein Teilgebiet der Mathematik und fasst die Bereiche Wahrscheinlichkeitsrechnung sowie Statistik zusammen.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung geht es darum, Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen oder Ereignissen bei Zufallsexperimenten zu berechnen. Eine Wahrscheinlichkeit ist dabei eine theoretische Größe, die es ermöglicht, mit dem „Zufall zu rechnen“.

In der Statistik geht es um das Erheben von Daten sowie deren Darstellung und Auswertung.

Zum Beispiel kannst du eine Erhebung darüber machen, wie viele Personen unter $25$ einen Führerschein haben. Es ist unmöglich alle Personen zu befragen, die jünger als $25$ sind. Deshalb wird bei einer solchen Befragung eine sogenannte Stichprobe ausgewählt. Nach der Befragung kannst du dann die relative Häufigkeit ermitteln. Diese relative Häufigkeit ist eine Dezimalzahl, die größer oder gleich $0$ und kleiner oder gleich $1$ ist. Sie berechnet sich durch die Anzahl der Personen mit Führerschein geteilt durch die Anzahl an befragten Personen. Solche durch statistische Erhebungen gefundene relative Häufigkeiten werden oft als Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit entsprechenden Aufgaben verwendet.

Was ist eine Wahrscheinlichkeit?

Eine Wahrscheinlichkeitszuordnung ordnet Ergebnissen sowie Ereignissen von ein- oder mehrstufigen Zufallsexperimenten Werte zu. Diese Werte nennt man Wahrscheinlichkeiten. Diese liegen, ebenso wie die relativen Häufigkeiten, zwischen $0$ und $1$.

Laplace-Formel

Eine häufig verwendete Formel ist die Laplace-Formel. Diese Formel kannst du dann anwenden, wenn jedes Ergebnis des Zufallsexperiments gleich wahrscheinlich ist. Für die Wahrscheinlichkeit $P$ eines Ereignisses $E$ gilt:

$P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}=\dfrac{\text{Anzahl aller f}\ddot{\text{u}}\text{r }E \text{ g}\ddot{\text{u}}\text{nstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller m}\ddot{\text{o}}\text{glichen Ergebnisse}}$

Die Menge $E$ enthält alle günstigen Ergebnisse. Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird mit $\Omega$ (Omega) bezeichnet. Man nennt diese Menge auch Ergebnismenge.

Du musst also die entsprechenden Anzahlen bestimmen. Dies kannst du zum Beispiel mit Mitteln der Kombinatorik tun.

Für einen herkömmlichen Würfel mit den Augenzahlen von $1$ bis $6$ beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl jeweils $\frac 16$. Es gibt jede Augenzahl nämlich nur einmal und insgesamt gibt es $6$ mögliche Ergebnisse.

Baumdiagramme

Baumdiagramme dienen dazu, mehrstufige Zufallsexperimente graphisch darzustellen. Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten kannst du Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Baumdiagrammen und den entsprechenden Pfadregeln berechnen.

• Die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen eines mehrstufigen Zufallsexperimentes berechnest du mit der 1. Pfadregel (auch Produktregel genannt): Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
• Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhältst du mit der 2. Pfadregel (auch Summenregel genannt): Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die sich in diesem Ereignis befinden.

Dieses Baumdiagramm zeigt für das zweimalige Würfeln die Wahrscheinlichkeiten dafür, zweimal eine Sechs oder zweimal keine Sechs oder einmal eine Sechs und einmal keine Sechs zu würfeln. Das letzte Ergebnis kommt im Baumdiagramm zweimal vor und kann mit der Summenregel zu folgender Wahrscheinlichkeit zusammengefasst werden:

$\dfrac {5}{36}+\dfrac {5}{36}=\dfrac{10}{36}=\dfrac {5}{18}$

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Vierfeldertafel

Ein besonderer Fall sind bedingte Wahrscheinlichkeiten. Auch hier sind Baumdiagramme und Vierfeldertafeln ein hilfreiches Werkzeug. Bei dem zweistufigen Zufallsexperiment kann der Ausgang in der zweiten Stufe von dem in der ersten abhängen. Man spricht dann von stochastischer Abhängigkeit.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments einen Zahlenwert zu.

Eine Zuordnung, die jeder möglichen Ausprägung dieser Zufallsvariable eine Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung. Es wird dabei zwischen diskreten und stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterschieden.

Ein Beispiel für eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Binomialverteilung und eine für eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung die Normalverteilung.

Hypothesentests

Mithilfe von Hypothesentests kannst du entscheiden, ob eine Vermutung (Hypothese) zutrifft oder nicht. Dabei stellst du grundsätzlich zwei Hypothesen auf und untersuchst anhand einer Stichprobe, welche der beiden Hypothesen wahrscheinlicher ist.

Man unterscheidet bei Hypthesentests zwischen Alternativtests und Signifikanztests.