Pfadregel und Summenregel
In dem Text geht es darum, wie man Baumdiagramme und Wahrscheinlichkeiten versteht. Es wird erklärt, wie man die Pfadregel und Summenregel auf Baumdiagramme anwendet, um Wahrscheinlichkeiten bei komplexen Zufallsexperimenten zu berechnen. Dabei lernt man wichtige Konzepte wie Elementarereignisse und Ereignisse kennen. Klingt spannend? Mehr dazu erfährst du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Pfadregel und Summenregel
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Pfadregel und die Summenregel bei Baumdiagrammen anzuwenden.
Zunächst lernst du, wie ein Baumdiagramm aufgebaut ist. Anschließend lernst du, wie du mithilfe der Pfadregel die Wahrscheinlichkeit für ein Elementarereignis berechnen kannst. Abschließend lernst du, wie du mithilfe der Summenregel die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnen kannst, die sich aus mehreren Elementarereignissen zusammensetzen.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Baumdiagramm, Wahrscheinlichkeit, Ereignis, Elementarereignis, Pfad, Pfadregel und Summenregel.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was ein Baumdiagramm ist.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen, wie du Aufgaben zu mehrstufigen Zufallsexperimenten möglichst geschickt mit Baumdiagrammen lösen kannst.
Pfadregel und Summenregel – Mathematik
Die Pfadregel und die Summenregel nutzen wir, um Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse bei mehrstufigen Zufallsexperimenten zu berechnen. Wir modellieren zunächst die Situation mit einem Baumdiagramm. Dort können wir mit der Pfadregel die Wahrscheinlichkeit der Pfade bestimmen. Mit der Summenregel erhalten wir die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die aus mehreren Pfaden zusammengesetzt sind.
Was ist die Pfadregel? – Definition
Die Pfadregel (auch 1. Pfadregel oder Produktregel) für Baumdiagramme hat folgende Definition:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses eines mehrstufigen Zufallsexperiments wird berechnet, indem man die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfads multipliziert.
Demnach können wir mit der Pfadregel die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, also einen bestimmten Ausgang eines mehrstufigen Zufallsexperiments, berechnen.
Anders formuliert besagt die Pfadregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfads ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfads.
Pfadregel – Beispiel
Du siehst hier ein Baumdiagramm für das Zufallsexperiment: dreimal ziehen ohne zurücklegen (mit Beachtung der Reihenfolge) aus einer Urne mit fünf roten und vier grünen Kugeln.
Wir können mit der Pfadregel hier die Wahrscheinlichkeiten von verschiedenen möglichen Ergebnissen des Experiments berechnen, indem wir alle Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfads multiplizieren.
Beispiel 1: Wir ziehen drei rote Kugeln.
$P(\text{rrr}) = \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{5}{42} \approx 11,9\,\%$
Beispiel 2: Wir ziehen zwei grüne, dann eine rote Kugel.
$P(\text{ggr}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{42} \approx 11,9\,\%$
Beispiel 3: Wir ziehen zwei rote und dann eine grüne Kugel.
$P(\text{rrg}) = \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{10}{63} \approx 15,9\,\%$
Was ist die Summenregel? – Definition
Die Summenregel (auch 2. Pfadregel oder Additionsregel) für Baumdiagramme hat folgende Definition:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet sich durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse.
Demnach können wir mit der Summenregel für Wahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen, das sich aus mehreren Ergebnissen eines Zufallsexperiments zusammensetzt. Jedes Ergebnis, das zu einem Ereignis gehört, ist eine Möglichkeit, um einen für das Ereignis günstigen Ausgang des Experiments zu erhalten. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten aller dieser Möglichkeiten addieren, erhalten wir die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis.
Anders formuliert besagt die Summenregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehreren Pfaden ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade.
Summenregel – Beispiel
Du siehst hier erneut ein Baumdiagramm für das Zufallsexperiment: dreimal ziehen ohne zurücklegen aus einer Urne mit fünf roten und vier grünen Kugeln.
Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $\text{A}$: Wir ziehen genau zwei rote Kugeln bestimmen. Nach der Summenregel müssen wir dazu die Wahrscheinlichkeiten der für Ereignis $\text{A}$ günstigen Ergebnisse addieren. Es gibt hier drei Möglichkeiten, um genau zwei rote Kugeln zu ziehen: $\text{rrg}$, $\text{rgr}$ und $\text{grr}$. Die Wahrscheinlichkeit für diese Ergebnisse können wir mit der Pfadregel berechnen. Die entsprechenden Pfade und Wahrscheinlichkeiten entnehmen wir dem Baumdiagramm. Wir erhalten:
$P(\text{A}) = P(\text{rrg}) + P(\text{rgr}) + P(\text{grr})$
$= \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} \cdot \frac{4}{7} + \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} \cdot \frac{4}{7} + \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7}$
$= \frac{10}{63} + \frac{10}{63} + \frac{10}{63}$
$= \frac{10}{21} \approx 47,6\,\%$
In diesem Video zu Pfadregel und Summenregel …
… lernst du die Pfadregel und die Summenregel für Baumdiagramme kennen. Wir zeigen dir anhand von Beispielen, wie du mit diesen beiden Regeln verschiedene Wahrscheinlichkeiten von mehrstufigen Zufallsexperimenten berechnest.
Hier auf der Seite findest du zusätzlich noch Übungen und Aufgaben zum Thema Pfadregel und Summenregel.
Transkript Pfadregel und Summenregel
Die Morgenstunden gehören echt nicht zur Blütezeit von Lisa Langschlaf. Doch trotz ihrer Müdigkeit schafft sie es jeden Morgen, Tee für sich und ihren kleinen Bruder zu kochen. Welche Teesorte sie dafür schlaftrunken aus der Teebox fischt ist allerdings Völlig zufällig! Was sie wohl heute zieht? Fruchtigen Mangotee oder doch klassischen Kräutertee? Um die Wahrscheinlichkeiten für die morgendliche Tee-Konstellation bei Familie Langschlaf berechnen zu können, müssen wir die „Pfad- und Summenregel“ kennen. Doch erstmal langsam. Wann kommen diese Regeln überhaupt zum Einsatz? Wir nutzen sie bei mehrstufigen, also mehrfach durchgeführten Zufallsexperimenten. Diese können wir durch Baumdiagramme darstellen. Baumdiagramme geben uns einen sehr guten Überblick über mögliche Ausgänge, und damit über zusammenhängende Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperimentes. Das machen wir uns am Besten nochmal an einem klassischen Beispiel klar: dem Münzwurf. Sobald wir diesen mehr als einmal durchführen, handelt es sich um ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Beim einmaligen Werfen einer Münze gibt es bekanntlich zwei mögliche Ausgänge: Kopf oder Zahl. Werfen wir die Münze jetzt nochmal, sind erneut diese beiden Ausgänge möglich. Unabhängig davon, ob wir beim ersten Mal Kopf oder Zahl geworfen haben. Wir haben somit das Baumdiagramm für den zweifachen Münzwurf, es fehlen nur noch die Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl liegt jeweils bei ein Halb. Beim Beschriften des Baumdiagramms mit Wahrscheinlichkeiten müssen wir darauf achten, dass die Wahrscheinlichkeiten gegenüberliegender Äste in der Summe immer eins ergeben. Das ist bei diesem einfachen Beispiel jeweils der Fall. Jetzt können wir die möglichen Ergebnisse unseres zweifachen Münzwurfes betrachten. Wir können entweder zweimal Kopf, Kopf und Zahl, Zahl und Kopf oder zweimal Zahl werfen. Diese Ergebnisse nennen wir auch Elementarereignisse. Um die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten auszurechnen, können wir nun die Pfadregel anwenden. Diese besagt, dass wir die Wahrscheinlichkeit von einem Elementarereignis– sprich von einem Pfad – berechnen können, indem wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit Kopf zu werfen, liegt bei ein Halb. Anschließend nochmal Kopf zu werfen, hat erneut die Wahrscheinlichkeit ein Halb. Bei einem zweifachen Münzwurf zweimal Kopf zu werfen hat also die Wahrscheinlichkeit von ein Halb mal ein Halb, sprich ein Viertel. Mit Hilfe der Pfadregel erhalten wir auch für die drei anderen Pfade jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit. Auch hier müssen die vier resultierenden Wahrscheinlichkeiten in der Summe wieder eins ergeben. Die Pfadregel nutzen wir also, wenn wir die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Pfad des Baumdiagramms berechnen wollen. Doch wie können wir vorgehen, wenn wir mehrere Elementarereignisse gleichzeitig betrachten wollen? Zum Beispiel, wenn wir bei einem zweifachen Münzwurf die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen wollen, mindestens einmal Kopf zu werfen. Dieses Ereignis umfasst die Ausgänge „Kopf-Kopf“, „Kopf-Zahl und „Zahl-Kopf“. Hier hilft uns die Summenregel. Diese besagt, dass wir für die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses einfach die Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Pfade addieren müssen. In unserem Fall rechnen wir einfach ein Viertel plus ein Viertel plus ein Viertel. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „mindestens einmal Kopf zu werfen“ liegt beim zweifachen Münzwurf also bei drei Viertel. Alles klar, dann können wir uns jetzt ja Lisa und dem Tee widmen. In der Teebox befinden sich noch zwei Mango-Teebeutel und drei Kräuter-Teebeutel. Da sie blind zieht, ist die Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden für jeden einzelnen Teebeutel gleich, sie liegt bei einem Fünftel. Somit ist die Wahrscheinlichkeit beim ersten Zug Mango zu erwischen gleich zwei Fünftel und die für den Kräutertee gleich drei Fünftel. Jetzt müssen wir allerdings darauf achten, dass sich die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Zug ändern. Hat Lisa bereits beim ersten Mal einen Mangotee gezogen, sind danach noch insgesamt vier Teebeutel in der Box. Und zwar ein Mango- und drei Kräuter-Teebeutel. Hat sie hingegen zuerst einen Kräutertee gezogen, gibt es jetzt jeweils noch zwei Mango- und zwei Kräuter-Teebeutel. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten liegen dann also bei ein Halb. Wir sprechen in diesem Fall von einem Zufallsexperiment „ohne Zurücklegen“. Um zu berechnen, wie wahrscheinlich die verschiedenen Teekombinationen sind, wenden wir jetzt wieder die Pfadregel an. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie zwei Mangotees ziehen wird, liegt also beispielsweise bei zwei Fünftel mal ein Viertel. Das ergibt zwei zwanzigstel, gekürzt ein Zehntel. Wenn wir hingegen wissen wollen, wie wahrscheinlich es ist, dass Lisa und ihr Bruder in den Genuss unterschiedlicher Teesorten kommen, müssen wir darüber hinaus wieder die Summenregel anwenden. Wir berechnen dafür die Wahrscheinlichkeiten der beiden entsprechenden Pfade mit der Pfadregel, und addieren die beiden Wahrscheinlichkeiten anschließend unter Anwendung der Summenregel. Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei sechs Zehntel, sprich drei Fünftel. Alles klar, welcher Tee es wohl heute wird? Fassen wir zunächst die wichtigsten Informationen nochmal kurz zusammen. Mehrstufige Zufallsexperimente können wir mit Hilfe von Baumdiagrammen darstellen. Um Wahrscheinlichkeiten von bestimmten Ereignissen auszurechnen, wenden wir Pfad- und Summenregel an. Die Pfadregel sagt zunächst aus, dass wir alle Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren, um die Wahrscheinlichkeit des entsprechenden Elementarereignisses zu berechnen. Wollen wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen, das mehrere Elementarereignisse beinhaltet, addieren wir die entsprechenden Pfadwahrscheinlichkeiten nach der Summenregel. Und wie schmeckt der Tee? Oh, da war Lisa heute wohl doch etwas zu müde.
Pfadregel und Summenregel Übung
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Nenne die Pfadregel und die Summenregel.
TippsHier siehst du als Beispiel das Baumdiagramm eines zweifachen Münzwurfs.
Der Begriff „Summenregel“ verrät dir, welche Rechenoperation hier angewendet wird.
LösungWird ein Zufallsversuch mehrfach hintereinander ausgeführt, so nennen wir ihn mehrstufig.
Mehrstufige Zufallsversuche können wir durch Baumdiagramme darstellen. Um die Wahrscheinlichkeiten von bestimmten Ereignissen zu ermitteln, können wir die Pfadregel und die Summenregel anwenden.Jeder Pfad in einem Baumdiagramm entspricht einem Ausgang des mehrstufigen Experiments. Die Wahrscheinlichkeit eines solchen Elementarereignisses erhalten wir nach der Pfadregel, indem wir alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren.
Zu einem Ereignis können mehrere Ergebnisse gehören.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das mehrere Elementarereignisse umfasst, können wir mit der Summenregel bestimmen. Dazu addieren wir die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade. -
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Lisa zwei unterschiedliche Teesorten zieht.
TippsWähle zuerst alle Pfade aus, die zu dem Ergebnis „zwei verschiedene Teesorten“ führen.
Wende dann die Pfadregel an:
Die Pfadregel sagt aus, dass wir alle Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren, um die Wahrscheinlichkeit des entsprechenden Elementarereignisses zu berechnen.LösungEs gibt zwei verschiedene mögliche Ergebnisse, bei denen Lisa zwei verschiedene Teesorten zieht:
- Sie zieht zuerst Mango- und dann Kräutertee $(MK)$.
- Sie zieht zuerst Kräuter- und dann Mangotee $(KM)$.
Wir können die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Ergebnisse berechnen, indem wir die Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade entsprechend der Pfadregel multiplizieren:
$P(MK) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}$
$P(KM) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}$
Diese beiden Terme geben also Teilwahrscheinlichkeiten an, nicht aber die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „zwei verschiedene Teesorten“.
Wir müssen die beiden Terme entsprechend der Summenregel addieren, um die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „zwei verschiedene Teesorten“ zu berechnen:
$P(\text{unterschiedliche Teesorten}) = {\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}}$
Dieser Term ist also richtig. Wir können die beiden Produkte noch berechnen und erhalten dann:
$P(\text{unterschiedliche Teesorten}) = {\frac{3}{10} + \frac{3}{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Der Term $1 - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} $ entspricht der Wahrscheinlichkeit, höchstens einen Mangotee zu ziehen, und passt hier also nicht.
Der Term $\frac{2}{5} + \frac{3}{4}$ entspringt weder der Pfadregel noch der Summenregel und ist daher falsch.
-
Stelle Terme für die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten auf.
TippsSuche dir für jedes Ereignis zunächst den oder die passenden Pfade.
Wenn zu einem Ereignis mehrere Pfade gehören, dann musst du zum Schluss die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade entsprechend der Summenregel addieren.
LösungZuerst suchen wir zu jedem Ereignis zuerst den oder die entsprechenden Pfade. Danach stellen wir den Term zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten entsprechend der Pfadregel und der Summenregel auf.
Wir verwenden die folgenden Abkürzungen:
- rot: $r$
- blau: $b$
Lea zieht erst eine rote und dann eine blaue Socke.
Pfad: $rb$
Anwendung der Pfadregel:
$P(rb) = \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{4}{15}$Lea zieht zwei blaue Socken.
Pfad: $bb$
Anwendung der Pfadregel:
$P(bb) = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{1}{3}$Lea zieht zwei gleichfarbige Socken.
Pfade: $rr$ und $bb$
Zuerst Anwendung der Pfadregel, dann der Summenregel:
$P(rr, bb) =\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{7}{15}$Lea zieht mindestens eine rote Socke.
Pfade: $rr$, $rb$ und $br$
Zuerst Anwendung der Pfadregel, dann der Summenregel:
$P(rr, rb, br) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9}+ \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2}{3}$ -
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Merdan an genau einer Ampel warten muss.
TippsÜberlege dir, welche Möglichkeiten es gibt, dass Merdan an genau einer Ampel warten muss: Es gehören zwei Ergebnisse dazu!
Du kannst die Wahrscheinlichkeiten der beiden zugehörigen Pfade mit der Pfadregel berechnen und diese anschließend entsprechend der Summenregel addieren.
LösungZur Berechnung der Wahrscheinlichkeit überlegen wir zuerst, welche Ergebnisse zu dem Ereignis „genau an einer Ampel warten“ gehören:
- Merdan könnte an der ersten Ampel rot und an der zweiten grün haben: $(\text{R, G})$
- Merdan könnte an der ersten Ampel grün haben und an der zweiten rot: $(\text{G, R})$
Wir berechnen nun die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade entsprechend der Pfadregel:
$P(\text{R, G}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}$
$P(\text{G, R}) =\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}$Diese beiden Wahrscheinlichkeiten addieren wir jetzt entsprechend der Summenregel:
$P(\text{genau einmal warten})= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
-
Vervollständige das Baumdiagramm.
TippsBeispiel:
Sind in einer Urne drei rote und zwei blaue Kugeln, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine rote Kugel zu ziehen, $\frac{3}{5}$. Denn es gibt insgesamt $5$ Kugeln, wovon $3$ rot sind.
Achte darauf, dass in der zweiten Stufe nur noch vier Teebeutel in der Teebox sind, da Lisa dann einen schon herausgenommen hat.
LösungWir betrachten das Baumdiagramm von links nach rechts:
Es beginnt mit zwei Zweigen. Diese stehen für den ersten Zug von Lisa. Sie hat die beiden Möglichkeiten, entweder einen Beutel Mangotee oder einen Beutel Kräutertee zu ziehen:
In der Box sind insgesamt $5$ Teebeutel. Davon sind $2$ Teebeutel Mangotee. Die Wahrscheinlichkeit für den Mangotee beträgt daher $\frac{2}{5}$.
$3$ der $5$ Teebeutel sind Kräutertee. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt also $\frac{3}{5}$.
Nun hat Lisa bereits einen Beutel aus der Box genommen. Es sind deshalb nur noch $4$ Teebeutel in der Box.
Für den Fall, dass Lisa im ersten Zug einen Beutel Mangotee gezogen hat, sind jetzt noch $1$ Beutel Mangotee und $3$ Beutel Kräutertee in der Box. Die Wahrscheinlichkeit für Mangotee beträgt dann also $\frac{1}{4}$ und für Kräutertee $\frac{3}{4}$.
Für den Fall, dass Lisa im ersten Zug einen Beutel Kräutertee gezogen hat, sind nun noch $2$ Beutel Mangotee und $2$ Beutel Kräutertee in der Box. Die Wahrscheinlichkeit für Mangotee beträgt dann also $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, ebenso für Kräutertee.
-
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Karl mindestens eine blaue Kugel zieht.
TippsEs handelt sich hierbei um einen dreistufigen Zufallsversuch.
Überlege dir zuerst, wie das Baumdiagramm zu diesem Versuch aussieht.
Wähle alle Pfade aus, bei denen mindestens eine blaue Kugel vorkommt.
LösungEs handelt sich um einen dreistufigen Zufallsversuch. Wir erstellen das zugehörige Baumdiagramm und tragen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ein. Da es sich um das Ziehen ohne Zurücklegen handelt, müssen wir dabei beachten, dass nach dem ersten Zug nur noch $5$ und nach dem zweiten Zug nur noch $4$ Kugeln in der Schale sind.
Zu dem Ereignis „mindestens eine blaue Kugel“ gehören die folgenden Ergebnisse: $bbb$, $bbr$, $brb$, $brr$, $rbb$, $rbr$ und $rrb$. Wollen wir die Pfadwahrscheinlichkeiten aller sieben Pfade berechnen und anschließend addieren, so ist dies sehr aufwändig. Wir können aber einen Trick anwenden:
Es fällt auf, dass alle Ergebnisse enthalten sind außer das Ergebnis $rrr$, da drei rote Kugeln zu ziehen die einzige Möglichkeit ist, nicht mindestens eine blau Kugel zu erwischen.
Weil die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten immer $1$ beträgt, können wir die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „mindestens eine blaue Kugel“ mit dem sogenannten Gegenereignis berechnen:$P(\text{mindestens einmal blau}) = 1 - P(rrr) = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{20} =\frac{19}{20} = 0,95 = 95~ \%$
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Das ist ein total cooles und lehrreiches Video! Vielen Dank!🤍