Stochastische Unabhängigkeit – Einführung

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Grundlagen zum Thema Stochastische Unabhängigkeit – Einführung
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, zwei Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit zu überprüfen.
Zunächst lernst du, wie du stochastische Unabhängigkeit mit bedingter Wahrscheinlichkeit nachweisen kannst. Anschließend lernst du eine weitere Formel für stochastische Unabhängigkeit. kennen.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit.
Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zur bedingten Wahrscheinlichkeit haben.
Transkript Stochastische Unabhängigkeit – Einführung
Was darf auf keinen Fall fehlen, wenn es um das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung geht? Na klar, unsere guten alten Bekannten, die Münzen, Würfel und Urnen! Auf die können und WOLLEN wir natürlich nicht verzichten, wenn es darum geht, "stochastische Unabhängigkeit" zu verstehen. Die Grundidee von stochastischer Unabhängigkeit ist nicht schwer nachzuvollziehen: Zwei Ereignisse sind unabhängig voneinander, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses NICHT beeinflusst. Ganz einfaches Beispiel: Der zweifache Münzwurf! Ob wir beim ersten Wurf Kopf oder Zahl erhalten haben, hat keinen Einfluss darauf, wie wahrscheinlich es ist, beim nächsten Mal, Kopf zu werfen. Die Wahrscheinlichkeit, beim nächsten mal Kopf zu werfen, bleibt immer ein Halb. Ganz egal, was das Ergebnis des vorherigen Wurfes war. Die Ereignisse "A – Kopf beim ersten Wurf" und "B – Kopf beim zweiten Wurf", sind also STOCHASTISCH UNABHÄNGIG. Wir können die Bedingung für stochastische Unabhängigkeit auch in einer allgemeinen Formel wiedergeben. Ist schließlich Mathe! Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig voneinander, wenn "P von B unter der Bedingung A" gleich "P von B" gilt. In anderen Worten: Ist die Wahrscheinlichkeit von "B unter der Bedingung A" genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit von "B OHNE weitere Bedingung", sprechen wir von stochastischer Unabhängigkeit der beiden Ereignisse. In diesem Fall ist dann übrigens auch die Wahrscheinlichkeit von "A unter der Bedingung B" gleich der Wahrscheinlichkeit von A. DAS schauen wir uns jetzt auch noch mal an einem Beispiel an. Schön klassisch, mit Urne! In dieser Urne haben wir drei grüne und zwei rote Kugeln. Wir ziehen zweimal hintereinander zufällig eine Kugel. Dieses Zufallsexperiment können wir entweder OHNE oder MIT Zurücklegen durchführen. Hier sehen wir die entsprechenden Baumdiagramme! Wir betrachten Ereignis A – "grün beim ersten Zug" und Ereignis B – "grün beim zweiten Zug". In welchem Kontext – mit oder ohne Zurücklegen – sind diese Ereignisse wohl stochastisch UNABHÄNGIG voneinander? Genau, bei der Variante "mit Zurücklegen"! Denn hier liegt die Wahrscheinlichkeit für "grün im zweiten Zug" jeweils bei drei Fünfteln, und zwar egal, ob zuerst grün oder rot gezogen wurde. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der vier Pfade berechnen und dann die Wahrscheinlichkeiten der Pfade addieren, die zu dem Ereignis B führen, sehen wir, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit des Ereignisses "grün beim zweiten Zug" genau gleich drei Fünftel ist. Und bei drei Fünfteln liegt ja auch die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A, was dann übrigens auch für die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung "nicht-A" gilt. Es macht also für die Wahrscheinlichkeit von B keinen Unterschied, ob vorher A eingetreten ist oder nicht. Die Voraussetzung für stochastische Unabhängigkeit ist somit erfüllt. Anders sieht das bei dem gleichen Zufallsexperiment OHNE Zurücklegen aus. Wenn wir auch hier die Wahrscheinlichkeiten der Pfade berechnen, können wir zwar schnell bestimmen, dass die Wahrscheinlichkeit von B hier ebenfalls drei Fünftel beträgt, die bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weichen aber von diesem Wert ab. Wir BEEINFLUSSEN die Wahrscheinlichkeiten des zweiten Zuges dadurch, dass wir eine Kugel ziehen und NICHT wieder zurücklegen. Wenn das der Fall ist, kann keine stochastische Unabhängigkeit vorliegen. Stochastische Unabhängigkeit können wir bei Baumdiagrammen also daran erkennen, dass die beiden Teilbäume der zweiten Stufe die gleichen Wahrscheinlichkeiten aufweisen. In diesem Fall beeinflusst das Ergebnis der oberen Äste die Wahrscheinlichkeiten der unteren Äste NICHT. Sind die beiden Teilbäume der zweiten Stufe hingegen unterschiedlich, BEEINFLUSST das Ergebnis der ersten Stufe die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Grün im zweiten Zug" ist ABHÄNGIG vom Ereignis "Grün im ersten Zug". Alles klar, wir gehen nochmal zurück zu der formalen Definition von stochastischer Unabhängigkeit. Zusätzlich schreiben wir uns nochmal die Gleichung auf, die wir für die "bedingte Wahrscheinlichkeit" bereits kennen. Wir können dann den Bruch auf der rechten Gleichungsseite in unsere Formel der stochastischen Unabhängigkeit für die bedingte Wahrscheinlichkeit einsetzen. Wenn wir jetzt noch mit "P von A" multiplizieren, erhalten wir eine weitere Variante der Formel, die für stochastische Unabhängigkeit erfüllt sein muss. Die Wahrscheinlichkeit von "A und B" muss gleich der Wahrscheinlichkeit von A multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit von B sein. Ist das nicht der Fall, sind A und B stochastisch ABHÄNGIG. Aber wie können wir diese Formeln denn jetzt ganz konkret anwenden? Wir klären das mit einem WÜRFELbeispiel! Wir gehen dabei natürlich von einem ungezinkten LAPLACE-Würfel aus – sprich die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zahl gewürfelt wird, ist für alle Augenzahlen gleich. Nun können wir zum Beispiel das Ereignis "fünf oder sechs würfeln" betrachten. Wir nennen es A. Ereignis B soll hingegen alle UNGERADEN Augenzahlen abdecken. Wichtiger Hinweis: Jetzt wird nur EINMAL gewürfelt! Die Ereignisse A und B überschneiden sich, denn wenn eine Fünf gewürfelt wird, treten beide gleichzeitig ein. Die Frage ist nun: Sind sie stochastisch unabhängig oder nicht? Um das herauszufinden, überprüfen wir, ob die Formel erfüllt ist, die wir gerade aufgestellt haben. Zuerst können wir ja mal die Wahrscheinlichkeiten von A und B bestimmen: Das sind einmal zwei Sechstel, also ein Drittel, und einmal DREI Sechstel, also ein Halb. Die Wahrscheinlichkeit für A UND B, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine Fünf fällt, sprich ein Sechstel. Jetzt müssen wir nur noch "P von A" mit "P von B" multiplizieren und sehen: Das ergibt ebenfalls ein Sechstel! Und schon haben wir herausgefunden, was wir wissen wollten. Weil "P von A" mal "P von B" gleich "P von A UND B" ist, ist unsere Bedingung erfüllt und die beiden Ereignisse sind stochastisch unabhängig. Wie würde es denn aussehen, wenn wir die Ereignisse C: "Die Augenzahl ist kleiner als Vier." und D: "Die Augenzahl ist gerade." auf stochastische Unabhängigkeit überprüfen? Versuch es gerne erstmal selber! Die Schnittmenge von C und D ist durch das Ergebnis zwei gegeben. Wir brauchen wieder die Wahrscheinlichkeiten für C, D sowie "C und D". Die sind gleich ein Halb, ein Halb und ein Sechstel. Ein Halb mal ein Halb ist allerdings gleich ein Viertel und somit UNGLEICH ein Sechstel. Somit haben wir in diesem Fall stochastische ABHÄNGIGKEIT nachgewiesen. Das soll für den Anfang reichen! Wir fassen nochmal zusammen, was du dir zu "stochastischer Unabhängigkeit" merken musst. Ob zwei Ereignisse A und B stochastisch abhängig oder unabhängig voneinander sind, können wir auf zwei verschiedene Arten prüfen. Wir können entweder mit DIESER oder mit DIESER Formel arbeiten. Da sie äquivalent, sprich gleichwertig sind, reicht es, wenn wir gezeigt haben, dass eine der beiden Formeln erfüllt ist, um die stochastische Unabhängigkeit von A und B nachzuweisen. Kommen wir hingegen zu dem Ergebnis, dass eine der beiden Gleichungen NICHT erfüllt ist, müssen A und B voneinander abhängig sein. Grundlegend können wir durch das Überprüfen von stochastischer Unabhängigkeit erkennen, ob ein Ereignis Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit eines anderen Ereignisses hat oder eben nicht. Und das hilft uns dann nicht nur im Matheunterricht, sondern kann zum Beispiel auch beim nächsten Spieleabend den Unterschied machen!
Stochastische Unabhängigkeit – Einführung Übung
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Beschreibe stochastische Unabhängigkeit am Beispiel „Ziehen aus einer Urne“.
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Belege die stochastische Unabhängigkeit der beiden Ereignisse und .
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Entscheide, bei welchen Baumdiagrammen stochastische Unabhängigkeit vorliegt.
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Untersuche, welche Ereignisse stochastisch unabhängig und welche stochastisch abhängig sind.
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Gib die Ergebnismengen der Ereignisse an.
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Bestimme die fehlenden Wahrscheinlichkeiten.
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