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Mindestwahrscheinlichkeiten

Mindestwahrscheinlichkeiten sorgen dafür, dass ein Ereignis mit einer bestimmten Mindestwahrscheinlichkeit eintritt. In unserem Video erfährst du, wie man die Anzahl von Versuchen berechnet, die notwendig sind, um diese Mindestwahrscheinlichkeit zu erreichen. Interessiert? All das und noch mehr kannst du im folgenden Text finden.

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Lerntext zum Thema Mindestwahrscheinlichkeiten

Mindestwahrscheinlichkeiten – Einführung

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung begegnen dir viele Fragestellungen aus dem Alltag, zum Beispiel wenn ein Würfel geworfen oder ein Glücksrad gedreht wird. Gerade in Bezug auf Glücksspiele (zum Beispiel auf einem Jahrmarkt) ist es häufig ratsam, sich die Frage zu stellen, ob eine Teilnahme sinnvoll ist.

Ein Werkzeug, das dir bei der Entscheidung helfen kann, ist die Mindestwahrscheinlichkeit.

Bei der Mindestwahrscheinlichkeit handelt es sich um eine Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis mindestens eintreten soll.

Im Kontext der Mindestwahrscheinlichkeit soll häufig berechnet werden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer ist oder wie oft ein Zufallsexperiment durchgeführt werden muss, damit eine gewisse Mindestwahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer erreicht wird.

Um das zu verdeutlichen, werden wir uns nachfolgend einige Beispiele anschauen und auch eine Formel erarbeiten, mit der du die Mindestanzahl für mindestens einen Treffer einfach berechnen kannst.

Mindestwahrscheinlichkeit – Formel

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Vorschaubild einer Übung

Gegeben sei zunächst das folgende Beispiel:

Fragestellung
Wie oft muss ein Würfel geworfen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%95\,\% mindestens eine 66 geworfen wird?

Verdeutlichen wir uns erst einmal, was wir alles gegeben haben:

  • Die Mindestwahrscheinlichkeit beträgt 95%95\,\%. Wir bezeichnen diese Wahrscheinlichkeit mit aa, also a=0,95a=0{,}95.
  • Die Wahrscheinlichkeit, eine 66 zu würfeln, beträgt 16\frac{1}{6}, also P(6)=16P(6)= \frac{1}{6}.
  • Die Wahrscheinlichkeit, keine 66 zu würfeln, beträgt 56\frac{5}{6}, also P(6)=56P(\overline{6})= \frac{5}{6}.

Gesucht ist die Mindestanzahl an Würfen, die es braucht, um mit der Mindestwahrscheinlichkeit aa eine 66 zu würfeln – diese nennen wir nn.

Für die Lösung hilft nun folgende Überlegung: Die Wahrscheinlichkeit bei nn Würfen mindestens eine 66 zu würfeln, ist die Gegenwahrscheinlichkeit zum Fall, dass bei nn Würfen keine 66 gewürfelt wird. Das können wir wie folgt ausdrücken:

P(mind. eine 6)=1P(keine 6)=1(56)nP(\text{mind. eine 6})= 1- P(\text{keine 6}) = 1- \left(\frac{5}{6}\right)^{n}

Mit dieser Gleichung können wir nun die folgende Ungleichung aufstellen, in die wir die gegebene Mindestwahrscheinlichkeit aa integrieren:

1(56)n0,951- \left(\frac{5}{6}\right)^{n} \geq 0{,}95

Anschließend wird die Gleichung nach nn umgestellt und wir erhalten die gesuchte Anzahl an Würfen:

1(56)n0,951(56)n0,05:(1)(56)n0,05loglog(56)nlog(0,05)log(ab)=blog(a)nlog(56)log(0,05):log(56)nlog(0,05)log(56)16,43n17\begin{array}{rcll} 1- \left(\frac{5}{6}\right)^{n} & \geq & 0{,}95 & \vert -1 \\ \\ - \left(\frac{5}{6}\right)^{n} & \geq & -0{,}05 & \vert :(-1) \\ \\ \left(\frac{5}{6}\right)^{n} & \leq & 0{,}05 & \vert \log \\ \\ \log\left(\frac{5}{6}\right)^{n} & \leq & \log(0{,}05) & \vert \log(a^b)=b \cdot log(a) \\ \\ n \cdot \log\left(\frac{5}{6}\right) & \leq & \log(0{,}05) & \vert :\log\left(\frac{5}{6}\right) \\ \\ n & \geq & \dfrac{ \log(0{,}05)}{\log\left(\frac{5}{6}\right)} & \approx 16{,}43 \\ \\ n & \geq & 17 & \end{array}

Wie dir sicher aufgefallen ist, wird in der dritten und sechsten Zeile das Relationszeichen umgedreht.

Zur Erinnerung: Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl geteilt, kehrt sich das Relationszeichen um.

Da der Logarithmus einer Zahl, die kleiner als 11 ist, negativ ist, dreht sich auch in der sechsten Zeile das Relationszeichen um. Am Ende runden wir das Ergebnis auf, da man ja nicht 0,430{,}43 Würfe durchführen kann. Es braucht also mindestens 1717 Würfe, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 95%95 \,\% eine 66 zu würfeln.

Daraus kann man verallgemeinern:

Die Mindestanzahl an Durchführungen nn, um bei einem Zufallsversuch mindestens einen Treffer zu erzielen, beträgt:

nlog(1a)log(1p)n \geq \dfrac{\log(1-a)}{\log(1-p)}

  • aa ist die Mindestwahrscheinlichkeit, die erreicht werden soll.
  • pp ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer.

Mindestwahrscheinlichkeit – Beispiel Fußball

Anschließend sollen dir einige Übungsaufgaben helfen, das Thema anzuwenden.

Aufgabenstellung
Jan ist ein sehr guter Torwart und hält in 80 Prozent der Fälle einen Elfmeter. Wie oft muss sein Freund mindestens auf das Tor schießen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent mindestens einmal zu treffen?

Als Erstes verdeutlichen wir uns wieder, was wir in der Aufgabe gegeben haben:

  • Die Wahrscheinlichkeit für Jans Freund, einen Treffer zu landen, liegt bei 20%20\,\%. Dies ist die Gegenwahrscheinlichkeit dazu, dass Jan den Elfmeter hält. Also ist p=0,2p=0{,}2.
  • Die Mindestwahrscheinlichkeit, die bei nn Durchführungen erreicht werden soll, ist a=0,9a=0{,}9.

Damit können wir die Größen in die Formel einsetzen und die Anzahl an Schüssen berechnen:

nlog(1a)log(1p)nlog(10,9)log(10,2)nlog(0,1)log(0,8)10,32n11\begin{array}{rcl} n & \geq & \dfrac{\log(1-a)}{\log(1-p)} \\ \\ n & \geq & \dfrac{\log(1-0{,}9)}{\log(1-0{,}2)} \\ \\ n & \geq & \dfrac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}8)} \approx 10{,}32 \\ \\ n & \geq & 11 \end{array}

Jans Freund muss also mindestens 1111-mal schießen.

Mindestwahrscheinlichkeit – Beispiel Tulpen

Versuche, das nachfolgende Beispiel nun selbst zu lösen:

Aufgabenstellung
Tina möchte rote und gelbe Tulpenzwiebeln pflanzen. Leider hat sie beide Sorten in einem Karton gelagert und die Zwiebeln sehen gleich aus! Tina weiß nur noch, dass sie dreimal so viele rote Tulpen hat wie gelbe. Wie viele Tulpenzwiebeln muss Tina nun mindestens aussähen, damit sie mit mindestens 80 Prozent Wahrscheinlichkeit mindestens eine gelbe Tulpe pflanzt?

Mindestwahrscheinlichkeiten Übung

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