Mindestwahrscheinlichkeiten
Mindestwahrscheinlichkeiten sorgen dafür, dass ein Ereignis mit einer bestimmten Mindestwahrscheinlichkeit eintritt. In unserem Video erfährst du, wie man die Anzahl von Versuchen berechnet, die notwendig sind, um diese Mindestwahrscheinlichkeit zu erreichen. Interessiert? All das und noch mehr kannst du im folgenden Text finden.
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Lerntext zum Thema Mindestwahrscheinlichkeiten
Mindestwahrscheinlichkeiten – Einführung
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung begegnen dir viele Fragestellungen aus dem Alltag, zum Beispiel wenn ein Würfel geworfen oder ein Glücksrad gedreht wird. Gerade in Bezug auf Glücksspiele (zum Beispiel auf einem Jahrmarkt) ist es häufig ratsam, sich die Frage zu stellen, ob eine Teilnahme sinnvoll ist.
Ein Werkzeug, das dir bei der Entscheidung helfen kann, ist die Mindestwahrscheinlichkeit.
Bei der Mindestwahrscheinlichkeit handelt es sich um eine Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis mindestens eintreten soll.
Im Kontext der Mindestwahrscheinlichkeit soll häufig berechnet werden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer ist oder wie oft ein Zufallsexperiment durchgeführt werden muss, damit eine gewisse Mindestwahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer erreicht wird.
Um das zu verdeutlichen, werden wir uns nachfolgend einige Beispiele anschauen und auch eine Formel erarbeiten, mit der du die Mindestanzahl für mindestens einen Treffer einfach berechnen kannst.
Mindestwahrscheinlichkeit – Formel
Gegeben sei zunächst das folgende Beispiel:
Fragestellung |
---|
Wie oft muss ein Würfel geworfen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens eine geworfen wird? |
Verdeutlichen wir uns erst einmal, was wir alles gegeben haben:
- Die Mindestwahrscheinlichkeit beträgt . Wir bezeichnen diese Wahrscheinlichkeit mit , also .
- Die Wahrscheinlichkeit, eine zu würfeln, beträgt , also .
- Die Wahrscheinlichkeit, keine zu würfeln, beträgt , also .
Gesucht ist die Mindestanzahl an Würfen, die es braucht, um mit der Mindestwahrscheinlichkeit eine zu würfeln – diese nennen wir .
Für die Lösung hilft nun folgende Überlegung: Die Wahrscheinlichkeit bei Würfen mindestens eine zu würfeln, ist die Gegenwahrscheinlichkeit zum Fall, dass bei Würfen keine gewürfelt wird. Das können wir wie folgt ausdrücken:
Mit dieser Gleichung können wir nun die folgende Ungleichung aufstellen, in die wir die gegebene Mindestwahrscheinlichkeit integrieren:
Anschließend wird die Gleichung nach umgestellt und wir erhalten die gesuchte Anzahl an Würfen:
Wie dir sicher aufgefallen ist, wird in der dritten und sechsten Zeile das Relationszeichen umgedreht.
Zur Erinnerung: Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl geteilt, kehrt sich das Relationszeichen um.
Da der Logarithmus einer Zahl, die kleiner als ist, negativ ist, dreht sich auch in der sechsten Zeile das Relationszeichen um. Am Ende runden wir das Ergebnis auf, da man ja nicht Würfe durchführen kann. Es braucht also mindestens Würfe, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von eine zu würfeln.
Daraus kann man verallgemeinern:
Die Mindestanzahl an Durchführungen , um bei einem Zufallsversuch mindestens einen Treffer zu erzielen, beträgt:
- ist die Mindestwahrscheinlichkeit, die erreicht werden soll.
- ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer.
Mindestwahrscheinlichkeit – Beispiel Fußball
Anschließend sollen dir einige Übungsaufgaben helfen, das Thema anzuwenden.
Aufgabenstellung |
---|
Jan ist ein sehr guter Torwart und hält in 80 Prozent der Fälle einen Elfmeter. Wie oft muss sein Freund mindestens auf das Tor schießen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent mindestens einmal zu treffen? |
Als Erstes verdeutlichen wir uns wieder, was wir in der Aufgabe gegeben haben:
- Die Wahrscheinlichkeit für Jans Freund, einen Treffer zu landen, liegt bei . Dies ist die Gegenwahrscheinlichkeit dazu, dass Jan den Elfmeter hält. Also ist .
- Die Mindestwahrscheinlichkeit, die bei Durchführungen erreicht werden soll, ist .
Damit können wir die Größen in die Formel einsetzen und die Anzahl an Schüssen berechnen:
Jans Freund muss also mindestens -mal schießen.
Mindestwahrscheinlichkeit – Beispiel Tulpen
Versuche, das nachfolgende Beispiel nun selbst zu lösen:
Aufgabenstellung |
---|
Tina möchte rote und gelbe Tulpenzwiebeln pflanzen. Leider hat sie beide Sorten in einem Karton gelagert und die Zwiebeln sehen gleich aus! Tina weiß nur noch, dass sie dreimal so viele rote Tulpen hat wie gelbe. Wie viele Tulpenzwiebeln muss Tina nun mindestens aussähen, damit sie mit mindestens 80 Prozent Wahrscheinlichkeit mindestens eine gelbe Tulpe pflanzt? |
Mindestwahrscheinlichkeiten Übung
-
Gib an, was bei der Aufgabenstellung gegeben und was gesucht ist.
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Bestimme die Anzahl, wie oft Maria das Glücksrad mindestens drehen muss.
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Leite her, wie viele Krapfen Paul mindestens kaufen muss.
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Ermittle die Anzahl der befragten Personen.
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Benenne die Größen in der Formel zur Bestimmung der Mindestanzahl.
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Berechne die Mindestanzahl der schwarzen Kugeln in der Urne.
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