Binomialverteilung – kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Binomialverteilung – kumulierte Wahrscheinlichkeiten Übung

• Bestimme die Angaben zum Berechnen der kumulierten Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Lies den Text genau und setze ein:

  • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Befragten.
  • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
  • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

  Wenn wir bestimmen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass höchstens zwei Personen am Thema interessiert sind, dann würden wir folgende Rechnung nutzen:

  $P(X \leq 2) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2)$

  Überlege, welche Wahrscheinlichkeiten wir bei höchstens zwanzig interessierten Personen addieren müssen.

  Lösung

  In dieser Aufgabe vervollständigen wir die Berechnung einer kumulierten Wahrscheinlichkeit. Hierfür ist es wichtig, im Voraus $n$, $p$ und $k$ zu bestimmen:

  • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Befragten.
  • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
  • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

  
  

  Wir befragen $100$ Personen:

  $\color{#99CC00}{n = 100}$

  Die Trefferwahrscheinlichkeit liegt bei $0,\!2$:

  $\color{#99CC00}{p = 0,\!2}$

  Es ist gefragt, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass höchstens $20$ Personen an unserem Thema interessiert sind. Die Anzahl der Treffer soll also kleiner gleich $20$ sein:

  $k \leq 20$

  Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu ermitteln, dass wir höchstens $20$ Treffer landen, müssen wir alle Wahrscheinlichkeiten, die $k \leq 20$ beinhalten, addieren. Hieraus ergibt sich folgende Rechnung:

  $P(X \leq 20) = P (X=0) + ... + P (X=20)$

  Da es sehr aufwändig ist, alle Wahrscheinlichkeiten für die Trefferanzahlen $0$ bis $20$ zu addieren, nutzen wir die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für kumulierte Wahrscheinlichkeiten:

  $F_{n;~p} (k) = P(X \leq k) = P (X=0) + ... + P (X=k)$

  Sie summiert alle Einzelwahrscheinlichkeiten für die Trefferanzahlen $0$ bis $k$ und ist auf unserem Taschenrechner durch folgenden Befehl abrufbar:

  binomCdf($n,p,k$)

  Für unsere Aufgabe setzen wir $n$, $p$ und $k$ an der richtigen Stelle ein und erhalten hierdurch:

  $\color{#99CC00}{F_{100;~0,2} (20) = P(X \leq 20) = P (X=0) + ... + P (X=20) \approx 0,\!56}$

  (Taschenrechner: binomCdf($100,0.2,20$) $\approx 0,\!56$)

  Unsere Verteilungsfunktion ist immer so definiert, dass sie bei $0$ beginnt und bis zu einem gegebenen Wert $k$ summiert. Wollen wir andere kumulierte Wahrscheinlichkeiten berechnen, ist es deshalb nötig, die Rechnung so umzuformen, dass wir die Verteilungsfunktion in dieser Form nutzen.

• Gib den Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an.

  Tipps

  „Kumulieren“ bedeutet „etwas anhäufen“ oder „etwas ansammeln“.

  Schaue dir die Formeln genau an: Schließe die Formel aus, die keine Wahrscheinlichkeiten summiert.

  Setze für $k$ einen bestimmten Wert ein, um dir die Bedeutung besser vorstellen zu können.

  $P(X \leq 3)$ umfasst zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $3$ Treffer erzielt werden.

  Hierfür müsste berechnet werden:

  $P(X \leq 3) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2) + P (X=3)$

  Wie müsste die Rechnung verändert werden, wenn wir die Wahrscheinlichkeit für weniger als $3$ Treffer $P(X < 3)$ ermitteln wollen?

  Lösung

  In dieser Aufgabe definieren wir die Rechnungen verschiedener kumulierter Wahrscheinlichkeiten:

  Um die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Trefferanzahl zu ermitteln, nutzen wir die Bernoulli-Formel:

  $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

  Sie gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer ist.

  
  
  

  Um zu berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für höchstes $k$ Treffer $P(X \leq k)$ ist, addieren wir alle Einzelwahrscheinlichkeiten, die hiermit gemeint sind:

  $P(X \leq k) = P (X=0) + P (X=1) + ... + P (X=k)$

  Wollen wir beispielsweise ermitteln, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für höchstens $3$ Treffer ist, entsteht folgende Rechnung:

  $P(X \leq 3) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2) + P (X=3)$

  Abgebildet wird dies durch die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für kumulierte Wahrscheinlichkeiten:

  $F_{n;~p} (k) = P(X \leq k) = P (X=0) + ... + P (X=k)$

  Sie summiert alle Einzelwahrscheinlichkeiten für die Trefferanzahlen $0$ bis $k$ und ist auf unserem Taschenrechner durch folgenden Befehl abrufbar:

  binomCdf($n,p,k$)

  Aufgrund dieser enormen Erleichterung der Berechnung von kumulierten Wahrscheinlichkeiten wird auch in allen anderen Formeln die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq k)$ verwendet.

  
  
  

  Wird in der Aufgabe nach der Wahrscheinlichkeit für weniger als $k$ Treffer $P(X < k)$ gefragt, sind alle Wahrscheinlichkeiten von der Trefferanzahl $0$ bis hin zu einer Trefferanzahl vor $k -1$ gemeint. Deshalb rechnen wir:

  $P(X < k) = P(X \leq k-1)$

  Wollen wir zum Beispiel herausfinden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für weniger als $3$ Treffer ist, ergibt sich diese Rechnung:

  $P(X \leq 3) = P(X \leq 2) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2)$

  
  
  

  Soll die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ Treffer $P(X \geq k)$ ermittelt werden, betrachten wir nicht die kumulierte Wahrscheinlichkeit von $0$ bis $k$, sondern die kumulierte Wahrscheinlichkeit von $k$ bis zur Anzahl aller Befragten ($n$). Hierfür nutzen wir das Gegenereignis, indem wir alle Wahrscheinlichkeiten, die eine kleinere Trefferanzahl haben, von $1$ abziehen. Das funktioniert, weil die Summe aller Wahrscheinlichkeiten immer $1$ ergibt:

  $P(X \geq k) = 1- P(X \leq k-1)$

  Wollen wir feststellen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für mindestens $3$ Treffer bei insgesamt $5$ Befragten ist, entsteht folgende Rechnung:

  $\begin{array}{lll} P(X \geq 3) & = & 1- P(X \leq 2) \\ & = & 1- (P (X=0) + P (X=1) + P (X=2)) \\ & = & P (X=3) + P (X=4) + P (X=5) \\ \end{array}$

  
  
  

  Zum Herausfinden der Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$, aber höchstens $m$ Treffer $P(k \leq X \leq m)$ betrachten wir ein Intervall inmitten der Bernoulli-Verteilung. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für höchstens $m$ Treffer und ziehen hiervon alle Wahrscheinlichkeiten mit weniger als $k$ Treffern ab:

  $P(k \leq X \leq m) = P(X \leq m) - P (X \leq k - 1)$

  Bestimmen wir beispielsweise, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für mindestens $3$ Treffer, aber höchstens $4$ Treffer bei insgesamt $5$ Befragten ist, ergibt sich diese Rechnung:

  $\begin{array}{lll} P(3 \leq X \leq 4) & = & P(X \leq 4) - P (X \leq 2) \\ & = & P (X=0) + P (X=1) + P (X=2) + P (X=3) + P (X=4) \\ &&~- P (X=0) - P (X=1) - P (X=2) \\ & = & P (X=3) + P (X=4) \\ \end{array}$

• Interpretiere die Histogramme.

  Tipps

  Schaue dir die Histogramme genau an: Welche Wahrscheinlichkeiten sind farbig markiert?

  Diese sind alle in der passenden Rechnung enthalten.

  Auf dem Bild siehst du das Histogramm einer Binomialverteilung. Die markierten Säulen werden zur Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit herangezogen. Diese kann folgendermaßen bezeichnet werden:

  $P(X \leq 2)$ oder: $P(X < 3)$

  Lösung

  Hier ordnen wir Histogrammen die richtige Aufgabe zu, um die Bedeutung der verschiedenen Aufgabenstellungen zu veranschaulichen:

  Histogramme sind grafische Darstellungen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie sind besonders nützlich, um die Wahrscheinlichkeiten zu einer bestimmten Trefferanzahl $k$ zu verbildlichen. Da kumulierte Wahrscheinlichkeiten eine Ansammlung mehrerer Wahrscheinlichkeiten ausdrücken, sind in unseren Histogrammen mehrere Säulen farbig markiert. Die Gesamtwahrscheinlichkeit des farbigen Intervalls soll berechnet werden.

  Erstes Histogramm

  In Bild 1 sind die Säulen von $8$ bis $12$ farbig. Es soll demnach ermittelt werden, wie wahrscheinlich es ist, mindestens $8$, aber höchstens $12$ Treffer zu erzielen. Das entspricht dieser Aufgabe:

  $P(8 \leq X \leq 12)= P (X=8) + ... + P (X=12)$

  Zweites Histogramm

  In Bild 2 sind die Säulen von der Trefferanzahl $7$ bis zur Anzahl der Gesamtbefragten farbig. Es soll daher bestimmt werden, wie wahrscheinlich es ist, mehr als $6$ oder mindestens $7$ Treffer zu erzielen. Das entspricht dieser Aufgabe:

  $P(X > 6) = P(X \geq 6+1) = P(X \geq 7) = 1- P(X \leq 6)$

  Um die Aufgabe auf die Verteilungsfunktion zurückzuführen, nutzen wir das Gegenereignis, indem wir die Wahrscheinlichkeiten für höchstens $6$ Treffer von $1$ abziehen. Das funktioniert, weil die Summe aller Wahrscheinlichkeiten immer $1$ ergibt.

  Drittes Histogramm

  In Bild 3 sind die Säulen von $0$ bis $6$ farbig. Es soll darum berechnet werden, wie wahrscheinlich es ist, höchstens $6$ Treffer zu erzielen. Das entspricht dieser Aufgabe:

  $P(X \leq 6)= P (X=0) + ... + P (X=6)$

  Sie kann direkt mit der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für kumulierte Wahrscheinlichkeiten berechnet werden:

  $F_{n;~p} (k) = P(X \leq k) = P (X=0) + ... + P (X=k) $

  $\longrightarrow $ Taschenrechnerbefehl: binomCdf($n,p,k$)

  Viertes Histogramm

  In Bild 4 sind die Säulen von $5$ bis $10$ farbig. Es soll demnach ermittelt werden, wie wahrscheinlich es ist, mindestens $5$, aber höchstens $10$ Treffer zu erzielen. Das entspricht dieser Aufgabe:

  $P(5 \leq X \leq 10)= P (X=5) + ... + P (X=10)$

  Fünftes Histogramm

  In Bild 5 sind die Säulen von der Trefferanzahl $10$ bis zur Anzahl der Gesamtbefragten farbig. Es soll daher bestimmt werden, wie wahrscheinlich es ist, mindestens $10$ Treffer zu erzielen. Das entspricht dieser Aufgabe:

  $P(X \geq 10) = 1- P(X \leq 9)$

  Um die Aufgabe auf die Verteilungsfunktion zurückzuführen, nutzen wir das Gegenereignis, indem wir die Wahrscheinlichkeiten für höchstens $9$ Treffer von $1$ abziehen. Das funktioniert, weil die Summe aller Wahrscheinlichkeiten immer $1$ ergibt.

  Sechstes Histogramm

  In Bild 6 sind die Säulen von $0$ bis $4$ farbig. Es soll darum berechnet werden, wie wahrscheinlich es ist, weniger als $5$ bzw. höchstens $4$ Treffer zu erzielen. Das entspricht dieser Aufgabe:

  $P(X < 5)=P(X \leq 5-1)=P(X \leq 4)= P (X=0) + ... + P (X=4)$

• Überprüfe die Rechnungen.

  Tipps

  Vier Berechnungen sind richtig.

  Lies den Text genau und setze ein:

  • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Würfe.
  • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.

  Um die Trefferwahrscheinlichkeit beim Würfeln zu bestimmen, musst du erst alle Möglichkeiten zählen und diese den Trefferanzahlen gegenüberstellen. Wären beispielsweise nur $5$ und $6$ ein Treffer, würde die Trefferwahrscheinlichkeit folgendermaßen errechnet werden:

  $p= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

  Nutze die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für kumulierte Wahrscheinlichkeiten:

  $F_{n;~p} (k) = P(X \leq k) = P (X=0) + ... + P (X=k)$

  $\longrightarrow$ Taschenrechnerbefehl: binomCdf($n,p,k$)

  Forme die Rechnungen entsprechend um.

  Lösung

  In dieser Aufgabe überprüfen wir die Berechnung verschiedener kumulierter Wahrscheinlichkeiten. Hierfür ist es wichtig, im Voraus $n$ und $p$ zu bestimmen:

  • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Würfe.
  • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
  • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

  
  

  Wir würfeln $50$-mal:

  $n = 50$

  Alle geraden Augenzahlen gelten als Treffer:

  $p= \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,\!5$

  Um die gefragten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, nutzen wir die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für kumulierte Wahrscheinlichkeiten:

  $F_{n;~p} (k) = P(X \leq k) = P (X=0) + ... + P (X=k)$

  Sie summiert alle Einzelwahrscheinlichkeiten für die Trefferanzahlen $0$ bis $k$ und ist auf unserem Taschenrechner durch folgenden Befehl abrufbar:

  binomCdf($n,p,k$)

  $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird. Dieser Parameter ändert sich in jeder unserer Teilaufgaben.

  
  

  Erste Aufgabe

  $P(X \leq 20)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass höchstens $20$ Treffer erzielt werden. Um diese zu ermitteln, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für $0, 1, 2, ... , 20$ Treffer berechnen und sie addieren. Es ergibt sich hieraus folgende Rechnung:

  $k\leq 20$

  $\begin{array}{llll} P(X \leq 20)& = & P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 20)& \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,20) \\ & \approx & 0,\!1013 \\ &\approx & 0,\!101 \\ \end{array}$

  $P(X \leq 20) \approx 0,\!101$ ist richtig.

  Zweite Aufgabe

  $P(X \leq 17)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass höchstens $17$ Treffer erzielt werden. Um diese zu bestimmen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für $0, 1, 2, ... , 17$ Treffer berechnen und sie addieren. Es ergibt sich hieraus diese Rechnung:

  $k\leq 17$

  $\begin{array}{llll} P(X \leq 17)& = & P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 17)& \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,17) \\ & \approx & 0,\!0164 \\ &\approx & 0,\!016 \\ \end{array}$

  $P(X \leq 17) \approx 0,\!412$ ist falsch.

  
  

  Dritte Aufgabe

  $P(X < 25)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass weniger als $25$ Treffer erzielt werden. Hierfür berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten für $0, 1, 2, ... , 24$ Treffer und addieren sie:

  $k< 25$

  $\begin{array}{llll} P(X < 25) & = & P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 24)& \\ & = & P(X \leq 24) & \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,24) \\ & \approx & 0,\!4439 \\ &\approx & 0,\!444 \\ \end{array}$

  $P(X < 25) \approx 0,\!785$ ist falsch.
  

  Vierte Aufgabe

  $P(X < 19)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass weniger als $19$ Treffer erzielt werden. Hierfür berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten für $0, 1, 2, ... , 18$ Treffer und addieren sie:

  $k< 19$

  $\begin{array}{llll} P(X < 19) & = & P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 18)& \\ & = & P(X \leq 18) & \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,18) \\ & \approx & 0,\!0325\\ &\approx & 0,\!033\\ \end{array}$

  $P(X < 19) \approx 0,\!033$ ist richtig.

  
  

  Fünfte Aufgabe

  $P(X \geq 27)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass mindestens $27$ Treffer erzielt werden. Addiert werden die Wahrscheinlichkeiten für $27, 28, ... , 50$ Treffer:

  $k \geq 27$

  $\begin{array}{llll} P(X \geq 27) & = & P(X = 27) + P(X = 28) + ... + P(X = 50) & \\ & = & 1- P(X \leq 27-1) & \\ & = & 1- P(X \leq 26) & \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,26) \\ & \approx & 1-0,\!6641 \\ & \approx & 0,\!3359 \\ &\approx & 0,\!336 \\ \end{array}$

  $P(X \geq 27) \approx 0,\!436$ ist falsch.
  

  Sechste Aufgabe

  $P(X \geq 22)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass mindestens $22$ Treffer erzielt werden. Addiert werden die Wahrscheinlichkeiten für $ 22, 23, ... , 50$ Treffer:

  $k \geq 22$

  $\begin{array}{llll} P(X \geq 22) & = & P(X = 22) + P(X = 23) + ... + P(X = 50) & \\ & = & 1- P(X \leq 22-1) & \\ & = & 1- P(X \leq 21) & \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,21) \\ & \approx & 1-0,\!1611 \\ & \approx & 0,\!8389 \\ &\approx & 0,\!839 \\ \end{array}$

  $P(X \geq 22) \approx 0,\!839$ ist richtig.

  
  

  Siebte Aufgabe

  $P(17 \leq X \leq 30)$ definiert die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $17$, aber höchstens $30$ Treffer erzielt werden. Wir müssen die Wahrscheinlichkeiten für $17, 18, ... , 30$ Treffer berechnen und addieren:

  $17 \leq k \leq 30$

  $\begin{array}{llll} P(17 \leq X \leq 30) & = & P(X = 17) + P(X = 18) + ... + P(X = 30) & \\ & = & P(X \leq 30) - P (X \leq 16) & \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,30) \\ & \approx & 0,\!9405 - P(X \leq 16) & \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,16) \\ & \approx & 0,\!9405 - 0,\!0077 \\ & \approx & 0,\!9328 \\ &\approx & 0,\!933 \\ \end{array}$

  $P(17 \leq X \leq 30) \approx 0,\!933$ ist richtig.
  

  Achte Aufgabe

  $P(15 \leq X \leq 25)$ definiert die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $15$, aber höchstens $25$ Treffer erzielt werden. Wir müssen die Wahrscheinlichkeiten für $15, 16, ... , 25$ Treffer berechnen und addieren:

  ${15 \leq k \leq 25}$

  $\begin{array}{llll} P(15 \leq X \leq 25) & = & P(X = 15) + P(X = 16) + ... + P(X = 25) & \\ & = & P(X \leq 25) - P (X \leq 14) & \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,25) \\ & \approx & 0,\!5561 - P(X \leq 14) & \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,14) \\ & \approx & 0,\!5561 - 0,\!0013 \\ & \approx & 0,\!5548\\ &\approx & 0,\!555 \\ \end{array}$

  $P(15 \leq X \leq 25) \approx 0,\!728$ ist falsch.

• Vervollständige die Berechnung der Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Lies den Text genau und setze ein:

  • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Befragten.
  • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
  • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

  Nutze den Taschenrechner, um zu ermitteln, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass höchstens zwei Personen interessiert sind:

  binomCdf($n,p,k$)

  Setze richtig ein.

  Lösung

  In dieser Aufgabe vervollständigen wir die Berechnung einer kumulierten Wahrscheinlichkeit. Hierfür ist es wichtig, im Voraus $n$, $p$ und $k$ zu bestimmen:

  • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Befragten.
  • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
  • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

  
  

  Wir befragen zehn Personen:

  $n = 10$

  Die Trefferwahrscheinlichkeit liegt bei $0,\!2$:

  $p = 0,\!2$

  Es ist gefragt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass höchstens zwei Personen an unserem Thema interessiert sind. Die Anzahl der Treffer soll also kleiner gleich $2$ sein:

  $k \leq 2$

  Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu erhalten, dass wir höchstens $2$ Treffer landen, müssen wir alle Wahrscheinlichkeiten, die $k \leq 2$ beinhalten, addieren. Hieraus ergibt sich folgende Rechnung:

  $P(X \leq 2) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2)$

  Am einfachsten ist es, den Wert mithilfe der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für kumulierte Wahrscheinlichkeiten auf unserem Taschenrechner abzurufen:

  $F_{n;~p} (k) = P(X \leq k) = P (X=0) + ... + P (X=k)$

  Hierfür brauchen wir folgenden Befehl:

  binomCdf($n,p,k$)

  Er summiert alle Einzelwahrscheinlichkeiten für die Trefferanzahlen $0$ bis $k$.

  Für unsere Aufgabe setzen wir $n$, $p$ und $k$ an der richtigen Stelle ein und erhalten hierdurch:

  binomCdf$(10,0.2,2) \approx 0,\!68$

  Umständlicher ist es, die Einzelwahrscheinlichkeiten zu ermitteln und zu summieren. Hierbei entstehen folgende Rechnungen:

  $P(X \leq 2) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2)$

  $B_{10;~0,2} (0) = P (X = 0) = \displaystyle \binom{10}{0} \cdot 0,\!2^{0} \cdot (1-0,\!2)^{10-0} \approx 0,\!11$

  $B_{10;~0,2} (1) = P (X = 1) = \displaystyle \binom{10}{1} \cdot 0,\!2^{1} \cdot (1-0,\!2)^{10-1} \approx 0,\!27$

  $B_{10;~0,2} (2) = P (X = 2) = \displaystyle \binom{10}{2} \cdot 0,\!2^{2} \cdot (1-0,\!2)^{10-2} \approx 0,\!30$

  $P(X \leq 2) \approx 0,\!11+ 0,\!27 + 0,\!30 \approx 0,\!68$

• Berechne die kumulierten Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Lies den Text genau und setze ein:

  • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Befragten.
  • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
  • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

  Runde das Ergebnis. Es wird aufgerundet, wenn die vierte Stelle mindestens $5$ ist:

  $0,\!2365 \approx 0,\!237$

  Ist die Zahl kleiner als $5$, wird abgerundet. Die Ziffer an der dritten Stelle bleibt gleich:

  $0,\!2364 \approx 0,\!236 $

  Lösung

  In dieser Aufgabe berechnen wir verschiedene kumulierte Wahrscheinlichkeiten. Hierfür ist es wichtig, im Voraus $n$ und $p$ zu bestimmen:

  • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Befragten.
  • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
  • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

  
  

  Wir befragen $20$ Personen:

  $n = 20$

  Die Trefferwahrscheinlichkeit liegt bei $40$ Prozent:

  $p = 0,\!4$

  Um die gefragten Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln, nutzen wir die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für kumulierte Wahrscheinlichkeiten:

  $F_{n;~p} (k) = P(X \leq k) = P (X=0) + ... + P (X=k)$

  Sie summiert alle Einzelwahrscheinlichkeiten für die Trefferanzahlen $0$ bis $k$ und ist auf unserem Taschenrechner durch folgenden Befehl abrufbar:

  binomCdf($n,p,k$)

  $k$ beschreibt, welche Trefferanzahl untersucht wird. Dieser Parameter ändert sich in jeder unserer Teilaufgaben.

  
  

  Erste Aufgabe

  Um die Wahrscheinlichkeit $P($„höchstens $8$ Personen kennen den Begriff“$)$ zu bestimmen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für $0, 1, 2, ... , 8$ Personen addieren. Es ergibt sich hieraus folgende Rechnung:

  $k\leq 8$

  $ \begin{array}{llll} P(X \leq 8)& = & P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 8)& \vert ~\text{binomCdf}(20,0.4,8) \\ & \approx & 0,\!5955 \\ &\approx & 0,\!596 \\ \end{array}$

  
  

  Zweite Aufgabe

  Um die Wahrscheinlichkeit $P($„weniger als $5$ Personen kennen den Begriff“$)$ zu berechnen, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten für $0, 1, 2, 3, 4$ Personen:

  $k< 5$

  $\begin{array}{llll} P(X < 5) & = & P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 4)& \\ & = & P(X \leq 4) & \vert ~\text{binomCdf}(20,0.4,4) \\ & \approx & 0,\!0509 \\ &\approx & 0,\!051 \\ \end{array}$

  
  

  Dritte Aufgabe

  Um die Wahrscheinlichkeit $P($„mindestens $8$ Personen kennen den Begriff“$)$ zu ermitteln, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für $8, 9, ..., 20$ Personen addieren:

  $k \geq 8$

  $\begin{array}{llll} P(X \geq 8) & = & P(X = 8) + P(X = 9) + ... + P(X = 20) & \\ & = & 1- P(X \leq 8-1) & \\ & = & 1- P(X \leq 7) & \vert ~\text{binomCdf}(20,0.4,7) \\ & \approx & 1-0,\!4159 \\ & \approx & 0,\!5841 \\ &\approx & 0,\!584 \\ \end{array}$

  
  

  Vierte Aufgabe

  Um die Wahrscheinlichkeit $P($„mindestens $7$, aber höchstens $9$ Personen kennen den Begriff“$)$ zu bestimmen, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten für $7, 8, 9$ Personen:

  $7 \leq k \leq 9$

  $\begin{array}{llll} P(7 \leq X \leq 9) & = & P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) & \\ & = & P(X \leq 9) - P (X \leq 6) & \vert ~\text{binomCdf}(20,0.4,9) \\ & \approx & 0,\!7553 - P(X \leq 6) & \vert ~\text{binomCdf}(20,0.4,6) \\ & \approx & 0,\!7553 - 0,\!2500 \\ & \approx & 0,\!5053 \\ &\approx & 0,\!505 \\ \end{array}$