Binomialverteilung – Erwartungswert und Standardabweichung

Binomialverteilung – Erwartungswert und Standardabweichung Übung

• Definiere die Begriffe.

  Tipps

  Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße liegt immer in der Nähe des größten Wahrscheinlichkeitswertes der Verteilung. In diesem Bild ist er rot markiert.

  Die Varianz ist ein Maß dafür, wie stark die einzelnen Werte von dem Erwartungswert abweichen beziehungsweise wie breit das zugehörige Histogramm ist.

  Lösung

  In dieser Aufgabe definieren wir die Kenngrößen $n$ und $p$, den Erwartungswert ($\mu$), die Varianz ($V(X) $) und die Standardbaweichung ($\sigma $).

  Wir betrachten hierfür eine binomialverteilte Zufallsgröße. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten liefert uns die Binomialverteilung mithilfe folgender Funktionsgleichung:

  $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

  Innerhalb der Funktionsgleichung sehen wir $n$ und $p$ als konstante Parameter der Funktionsgleichung.

  Der Erwartungswert wird mithilfe der beiden Parameter berechnet und gibt an, wie viele Treffer wir bei einer binomialverteilten Zufallsgröße auf lange Sicht im Mittel erwarten können. Er wird durch diese Formel berechnet:

  $\mu = E(X) = n \cdot p$

  Wirft man beispielsweise $20$-mal ($n=20$) mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von $0,\!75$ ($p=0,\!75$) auf einen Papierkorb, beträgt der Erwartungswert:

  $\mu = E(X) = 20 \cdot 0,\!75 = 15$

  Die Varianz ist das Maß für die Streuung der Trefferzahl. Die Abweichungen werden quadriert, da sich sonst die positiven und die negativen Abweichungen gegenseitig aufheben würden. (Die Summe aller Abweichungen vom arithmetischen Mittel beträgt immer $0$.) Die Varianz ist also ein Maß dafür, wie stark die einzelnen Werte von dem Erwartungswert abweichen beziehungsweise wie breit das zugehörige Histogramm ist und wird folgendermaßen berechnet:

  $V(X)= n \cdot p \cdot (1-p)$

  Für unser Beispiel bedeutet das:

  $V(X)= 20 \cdot 0,\!75 \cdot 0,\!25 = 3,\!75$

  Da bei der Varianz immer quadrierte Einheiten herauskommen, nutzt man häufiger die Standardabweichung, um die Abweichung von dem Erwartungswert zu berechnen. Sie ist die Wurzel der Varianz in der Binomialverteilung:

  $\sigma= \sqrt{V(X)}= \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

  $\sigma= \sqrt{V(X)}= \sqrt{20 \cdot 0,\!75 \cdot 0,\!25} \approx 1,\!94$

  Die sogenannte Sigma-Umgebung (Intervall von zweimal Standardabweichung um den Erwartungswert herum: $\mu - \sigma$ bis $\mu + \sigma$) ist sehr nützlich für Prognosen und wird nicht nur bei der Binomialverteilung, sondern unter anderem auch bei der Normalverteilung herangezogen.

  Sigma-Umgebung in unserem Beispiel:

  $15 - 1,\!94 = 13,\!06 \approx 13 $ bis $15 + 1,\!94 = 16,\!94 \approx 17$

  In diesem Intervall liegen dann deutlich mehr als $50$ Prozent der Gesamtwahrscheinlichkeit und damit die am wahrscheinlichsten vorkommenden Ergebnisse. In gewissen Kontexten, etwa bei Glücksspielen, ist sie also außerdem ein Risiko-Maß.

• Vervollständige die Rechnungen.

  Tipps

  Bestimme die Gesamtanzahl der Versuche ($n$) und die Trefferwahrscheinlichkeit ($p$).

  Die Variablen stehen für folgende Größen:

  • Erwartungswert: $\mu = E(X)$
  • Varianz: $V(X)$
  • Standardabweichung: $\sigma$

  Lösung

  In dieser Aufgabe vervollständigen wir Rechnungen zu den Größen Erwartungswert ($\mu$), Varianz ($V(X) $) und Standardbaweichung ($\sigma $).

  Sie werden bei einer Binomialverteilung durch folgende Formeln definiert:

  $\mu = E(X) = n \cdot p $

  $V(X)= n \cdot p \cdot (1-p)$

  $\sigma= \sqrt{V(X)}= \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

  In unserer Aufgabe wirfst du $15$ Papierkugeln mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von $0,\!75$. Daraus ergibt sich:

  • $n = 15$
  • $p= 0,\!75$

  
  Richtig eingesetzt ergeben sich folgende Rechnungen, wobei die Faktoren vertauscht werden können:

  $\mu = E(X) = 15 \cdot 0,\!75 = 11,\!25 \approx 11$

  Du kannst also ungefähr $11$ Treffer erwarten.

  $V(X)= 15 \cdot 0,\!75 \cdot 0,\!25 = 2,\!81$

  $\sigma= \sqrt{V(X)}= \sqrt{15 \cdot 0,\!75 \cdot 0,\!25} = 1,\!68$

  Mithilfe der Standardabweichung können wir die Streuung unserer Trefferzahl beurteilen. Sie beträgt in unserem Fall $1,\!68$. Das ist ein relativ niedriger Wert, welcher verdeutlicht, dass eine Trefferzahl zwischen zehn und dreizehn recht wahrscheinlich ist:

  $\mu - \sigma = 11,\!25 - 1,\!68 = 9,\!57 \approx 10 ~ \text{Treffer}$

  $\mu + \sigma = 11,\!25 + 1,\!68 = 12,\!93 \approx 13 ~ \text{Treffer}$

• Berechne die Kenngrößen.

  Tipps

  Bestimme die Gesamtanzahl der Versuche ($n$) und die Trefferwahrscheinlichkeit ($p$) und setze in die Formeln ein.

  In der Regel gilt: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Trefferzahl um weniger als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, liegt bei über $50$ Prozent.

  Lösung

  In dieser Aufgabe berechnen wir den Erwartungswert ($\mu$) und die Standardabweichung ($\sigma$) für Toms Treffer aus $30$ Freiwürfen. Seine Trefferwahrscheinlichkeit beträgt $60$ Prozent.

  Aus diesen Angaben ergibt sich:

  • $n=30$
  • $p=0,\!6$

  
  Mithilfe der Formeln zum Berechnen der Kenngrößen können wir durch das Einsetzen von $n$ und $p$ die gefragten Werte errechnen:

  $\mu = E(X) = n \cdot p = 30 \cdot 0,\!6 = 18$

  $\sigma= \sqrt{V(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}= \sqrt{30 \cdot 0,\!6 \cdot 0,\!4} = \sqrt{7,\!2} = 2,\!683 \approx 2,\!68$

  Die Sigma-Umgebung ($\sigma$-Umgebung) definiert anschließend die Trefferzahlen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von über $50$ Prozent zu erwarten ist. Ihre Grenzen berechnest du folgendermaßen:

  $\text{Kleinster Wert der}~ \sigma\text{-Umgebung} = \mu - \sigma = 18 - 2,\!68 = 15,\!32 \approx 15 ~\text{Treffer}$

  $\text{Größter Wert der}~ \sigma\text{-Umgebung} = \mu + \sigma = 18 + 2,\!68 = 20,\!68 \approx 21 ~\text{Treffer}$

  Es ist also sehr wahrscheinlich, dass Tom $15$ bis $21$ Treffer aus $30$ Freiwürfen erzielt.

• Setze Erwartungswert und Standardabweichung in Beziehung zueinander.

  Tipps

  Berechne mithilfe des Erwartungswertes und der Parameter $n$ oder $p$ den jeweils fehlenden Parameter.

  Wenn du $p$ gegeben hast, dann kannst du folgendermaßen vorgehen:

  $\mu = E(X) = 14 \quad\vert\quad p=0,\!7$

  $\begin{array}{llllllll} \mu &= &E(X)& =& n& \cdot& p &\vert ~ \mu = 14; p=0,\!7 \\ &&14& =& n& \cdot& 0,\!7 & \vert : 0,\!7\\ &&20& =& n& & & \end{array}$

  Setze die Werte in die Formel zum Berechnen der Standardabweichung ein und rechne aus:

  $\sigma= \sqrt{V(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

  Lösung

  In dieser Aufgabe ordnen wir den Erwartungswerten und Parametern $n$ oder $p$ die passende Standardabweichung zu. Hierfür müssen wir die Formeln zum Berechnen des Erwartungswertes und der Standardabweichung kennen und nutzen.

  Aus der Formel des Erwartungswertes, also$\mu = E(X) = n \cdot p$, und der Angabe eines Parameters können wir den fehlenden Parameter ermitteln und mit $n$ und $p$ die Standardabweichung errechnen:

  $\sigma= \sqrt{V(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

  Es ergeben sich hierdurch folgende Rechnungen:

  $~$

  1. $\mu = E(X) = 6 \quad\vert\quad p=0,\!3$

  $\begin{array}{llllllll} \mu &= &E(X)& =& n& \cdot& p &\vert ~\mu = 6;~ p=0,\!3 \\ &&6& =& n& \cdot& 0,\!3 & \vert : 0,\!3\\ &&20& =& n& & & \end{array}$

  $\to n= 20 \quad\vert\quad p=0,\!3$

  $\sigma= \sqrt{V(X)} = \sqrt{20 \cdot 0,\!3 \cdot 0,\!7} = \sqrt{4,\!2} \approx 2,\!05$

  $~$

  2. $\mu = E(X) = 21 \quad\vert\quad n=30$

  $\begin{array}{llllllll} \mu &= &E(X)& =& n& \cdot& p &\vert ~\mu = 21;~ n=30 \\ &&21& =& 30 & \cdot& p & \vert : 30\\ &&0,\!7& =& p& & & \end{array}$

  $\to n= 30 \quad\vert\quad p=0,\!7$

  $\sigma= \sqrt{V(X)} = \sqrt{30 \cdot 0,\!7 \cdot 0,\!3} = \sqrt{6,\!3} \approx 2,\!51$

  $~$

  3. $\mu = E(X) = 25 \quad\vert\quad n=50$

  $\begin{array}{llllllll} \mu &= &E(X)& =& n& \cdot& p &\vert ~\mu = 25;~ n=50 \\ &&25& =& 50 & \cdot& p & \vert : 50\\ &&0,\!5& =& p& & & \end{array}$

  $\to n= 50 \quad\vert\quad p=0,\!5$

  $\sigma= \sqrt{V(X)} = \sqrt{50 \cdot 0,\!5 \cdot 0,\!5} = \sqrt{12,\!5} \approx 3,\!54$

  $~$

  4. $\mu = E(X) = 25 \quad\vert\quad p=0,\!1 $

  $\begin{array}{llllllll} \mu &= &E(X)& =& n& \cdot& p &\vert ~\mu = 25;~ p=0,\!1 \\ &&25& =& n& \cdot& 0,\!1 & \vert : 0,\!1\\ &&250& =& n& & & \end{array}$

  $\to n= 250 \quad\vert\quad p=0,\!1$

  $\sigma= \sqrt{V(X)} = \sqrt{250 \cdot 0,\!1 \cdot 0,\!9} = \sqrt{22,\!5} \approx 4,\!74$

• Bestimme die Bestandteile der Formeln.

  Tipps

  Wenn du $50$ Papierkügelchen in einen Papierkorb wirfst, dann würde für unsere Formel gelten:

  $n=50$

  Die Trefferwahrscheinlichkeit und die Wahrscheinlichkeit keines Treffers ergeben zusammen $1$: Wo wird das deutlich?

  Lösung

  In dieser Aufgabe definieren wir die Bestandteile unserer Formeln. Diese kennst du auch schon aus dem Aufbau der Bernoulli-Formel.

  Für eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern $n$ und $p$ können wir den Erwartungswert ($\mu$) berechnen, indem wir die $\color{greenyellow}{\text{Anzahl der Versuchsdurchführungen}}$ $n$ mit der $\color{violet}{\text{Trefferwahrscheinlichkeit}}$ $p$ multiplizieren:

  $\mu = E(X) = \color{greenyellow}{n} ~\color{black}{\cdot}~ \color{violet}{p}$

  Die Formel für die Varianz einer binomialverteilten Zufallsgröße lautet:

  $V(X)= \color{greenyellow}{n} ~\color{black}{\cdot}~ \color{violet}{p} ~\color{black}{\cdot} ~\color{gold}{(1-p)}$

  Es wird also die Anzahl der Versuchsdurchführungen mit der Trefferwahrscheinlichkeit und der $\color{gold}{\text{Gegenwahrscheinlichkeit}}$ mutlipliziert. Die Varianz ist ein Maß für die Streuung einer Zufallsgröße, also dafür, wie stark die einzelnen Werte von dem Erwartungswert abweichen beziehungsweise wie breit das zugehörige Histogramm ist.

  Und wenn wir die Varianz schon haben, fehlt nur noch die Standardabweichung:

  $\sigma=\color{lightskyblue}{\sqrt{V(X)}} \color{black}{=} \color{lightskyblue}{\sqrt{\color{greenyellow}{n} ~\color{black}{\cdot} ~\color{violet}{p}~ \color{black}{\cdot} ~\color{gold}{(1-p)}}}$

  Sie wird als $\color{lightskyblue}{\text{Wurzel der Varianz}}$ definiert.

• Analysiere die Gewinnchancen.

  Tipps

  Nutze die Formel für den Erwartungswert, um die wahrscheinlichste Trefferzahl zu errechnen. Setze $n$ und $p$ richtig ein:

  $\mu = E(X) = n \cdot p$

  Den erwarteten Gewinn berechnest du, indem du deinen Einsatz von der Auszahlung abziehst.

  Bei der folgenden Beispielwette würden die Rechnungen so aussehen:

  $\text{Würfe:} ~100~\vert~ \text{Trefferquote:}~0,\!3 ~\vert~\text{Einsatz:}~25\,€$

  $\mu = E(X) = 100 \cdot 0,\!3 = 30$

  • Auszahlung: $30 \cdot 3\,€ = 90\,€$
  • Gewinn: $90\,€ - 25\,€ = 65\,€$

  Lösung

  In dieser Aufgabe berechnen wir den wahrscheinlichsten Gewinn bei verschiedenen Wetten. Alle Wetten haben gemeinsam, dass pro Treffer $3$ Euro ausgezahlt werden. Um herauszufinden, welche Wette am gewinnbringendsten ist, ist es deshalb wichtig, die erwartete Trefferzahl zu ermitteln. Mit dieser können wir die wahrscheinlichste Auszahlung berechnen, von der wir abschließend den Einsatz abziehen können:

  $\mu = E(X) = n \cdot p$

  • Auszahlung: $\mu \cdot 3\,€$
  • Gewinn: Auszahlung $-$ Einsatz

  
  Für die Sortierung unserer Wettangebote bedeutet das Folgendes:

  $~$

  1. $\text{Würfe:} ~20~\vert~ \text{Trefferquote:}~0,\!75~\vert~\text{Einsatz:}~ 30\,€$

  $\mu = E(X) = 20 \cdot 0,\!75 = 15$

  • Auszahlung: $15 \cdot 3\,€ = 45\,€$
  • Gewinn: $45\,€ - 30\,€ = 15\,€$

  $~$

  2. $\text{Würfe:} ~ 80~\vert~ \text{Trefferquote:}~0,\!2~\vert~\text{Einsatz:}~ 35\,€$

  $\mu = E(X) = 80 \cdot 0,\!2 = 16$

  • Auszahlung: $16 \cdot 3\,€ = 48\,€$
  • Gewinn: $48\,€ - 35\,€ = 13\,€$

  $~$

  3. $\text{Würfe:} ~15~\vert~ \text{Trefferquote:}~0,\!8~\vert~\text{Einsatz:}~ 25\,€$

  $\mu = E(X) = 15 \cdot 0,\!8 = 12$

  • Auszahlung: $12 \cdot 3\,€ = 36\,€$
  • Gewinn: $36\,€ - 25\,€ = 11\,€$

  $~$

  4. $\text{Würfe:} ~40~\vert~ \text{Trefferquote:}~0,\!25~\vert~\text{Einsatz:}~ 20\,€$

  $\mu = E(X) = 40 \cdot 0,\!25 = 10$

  • Auszahlung: $10 \cdot 3\,€ = 30\,€$
  • Gewinn: $30\,€ - 20\,€ = 10\,€$

  $~$

  5. $\text{Würfe:} ~ 10~\vert~ \text{Trefferquote:}~0,\!5~\vert~\text{Einsatz:}~ 15\,€$

  $\mu = E(X) = 10 \cdot 0,\!5 = 5 $

  • Auszahlung: $5 \cdot 3\,€ = 15\,€$
  • Gewinn: $15\,€ - 15\,€ = 0\,€$

  $~$

  Zusammenfassen kann man die wahrscheinlichsten Trefferzahlen und daraus resultierenden Gewinne in dieser Tabelle:

  $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Wette} & \text{erwartete Trefferzahl} & \text{Auszahlung} & \text{Gewinn}\\ \hline \text{Würfe:} ~20~\vert~ \text{Trefferquote:}~0,\!75 ~\vert~\text{Einsatz:}~30\,€ & 15 & 45 \,€ & 15 \,€ \\ \text{Würfe:} ~ 80~\vert~ \text{Trefferquote:}~0,\!2~~~\vert~\text{Einsatz:}~ 35\,€ & 16 & 48 \,€ & 13 \,€ \\ \text{Würfe:} ~15~\vert~ \text{Trefferquote:}~0,\!8 ~~~\vert~\text{Einsatz:}~ 25\,€& 12 & 36 \,€ & 11 \,€ \\ \text{Würfe:} ~ 40~\vert~ \text{Trefferquote:}~0,\!25~\vert~\text{Einsatz:}~ 20\,€ & 10 & 30 \,€ & 10 \,€ \\ \text{Würfe:} ~ 10~\vert~ \text{Trefferquote:}~0,\!5~~~\vert~\text{Einsatz:}~ 15\,€ & 5 & 15 \,€ & 0 \,€ \\ \end{array}$