Binomialverteilung – Verteilungstabelle

Hallo. Hier ist Mandy. In der Stochastik werden häufig Bernoulli-Experimente und Binomialverteilungen betrachtet. Daher solltest Du Dich mit ihnen besonders gut auskennen. Du weißt bereits, wie man die Wahrscheinlichkeit zu einer binomialverteilten Zufallsgröße für eine bestimmte Anzahl an Erfolgen berechnet. Das entsprechende Histogramm sieht wie folgt aus: man nutzt dazu die Bernoulli-Formel, um die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen zu berechnen. Sie lautet B(X=k) unter der Voraussetzung, dass n und p gilt = (n über k) * (p^k) * (1-p)^(n-k). n bezeichnet die Anzahl der Durchführungen, k die Anzahl der Erfolge und p die Erfolgswahrscheinlichkeit. X beschreibt die binomialverteilte Zufallsvariable, die je nach betrachteter Realisierung, also je nach Anzahl der Erfolge, unterschiedliche Werte annehmen kann. Betrachtet man bei einem Ereignis mehrere Ergebnisse, wie zum Beispiel, dass X ≤ 6 ist, so kann man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse mit der Bernoulli-Formel berechnen und diese anschließend addieren. Man betrachtet dann eine sogenannte kumulierte Binomialverteilung. In Formeln ausgedrückt heißt das: B_(n;p)(X≤k) = B_(n;p)(X=0) + B_(n;p)(X=1) + … + B_(n;p)(X=k). Für relativ wenige Durchführungen n kann man die Bernoulli-Formel sehr gut anwenden. Wenn wir allerdings eine relativ große Anzahl wie zum Beispiel n = 50 oder n = 100 betrachten, kann selbst der ein oder andere Taschenrechner nicht mehr mithalten. Er bringt nur die ungeliebte Meldung “Error”. Das liegt daran, dass auch für ihn dann der Rechenaufwand zu groß ist. Bei kumulierten Binomialverteilungen können die Summen auch so lang werden, dass der Zeitaufwand enorm groß wird. Für diese Fälle gibt es dann Tabellen als Hilfsmittel. Die stehen zum Beispiel in Deinem Tafelwerk. Sie sind nicht alle einheitlich gestaltet. Entscheidend sind die Erfolgswahrscheinlichkeiten p und die Anzahl der Durchführungen n. Damit Dir das Arbeiten mit solchen Tabellen gut gelingt, schauen wir uns Beispiele an. Wir beginnen zuerst mit der Binomialverteilung für P(X=k). Aus Gründen der Übersichtlichkeit betrachten wir zum Üben eine Binomialverteilung für n = 10. Dazu nutzen wir die folgende Tabelle. Gegeben sei nun k = 4 und p = 0,2. Die dazugehörige Wahrscheinlichkeit P_(10;0,2)(X=4) können wir in der Tabelle wie folgt ablesen: Zuerst schauen wir uns die linke erste Spalte an und suchen k = 4. Dann gehen wir so weit nach rechts, bis wir bei der Erfolgswahrscheinlichkeit 0,2 angekommen sind. Dort steht der Wert 0,088. Die Wahrscheinlichkeit, vier Erfolge zu erzielen, beträgt bei zehn Durchführungen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 0,2 rund 8,8%. Sei nun k = 0 und p = 0,1. Dann erhalten wir P_(10;0,1)(X=0), indem wir in der ersten Zeile bei k = 0 schauen und bis zu p = 0,1 gehen. Dort lesen wir den Wert 0,349 ab. Dies entspricht einer Wahrscheinlichkeit von etwa 34,9%. Als drittes Beispiel sei nun k = 9 und p = 0,15. Dann ist P_(10;0,15)(X=9) ungefähr 0. Warum? Das schauen wir uns in der Tabelle an. Wir betrachten die Zeile k = 9 und die Spalte p = 0,15. Hier steht eine 0. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit so gering ist, dass sie gerundet den Wert 0 ergibt. Für eine kumulierte Binomialverteilung funktioniert das Prinzip ganz genau so. Wir betrachten nun also als Beispiel P(X≤k). Die Anzahl der Durchführungen soll wieder der Übersichtlichkeit halber n = 10 betragen. Wir nutzen nun diese Tabelle. Je nach Quelle können in dem Tabellenkopf auch unterschiedliche Erfolgswahrscheinlichkeiten gegeben sein. P = 1/6 kann dabei sehr nützlich sein, wenn man Zufallsversuche mit Würfeln betrachtet. Nutzen wir dies gleich als unser erstes Beispiel. Gegeben ist k = 3 und p = 1/6. Zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit P_(10;1/6)(X≤3) betrachten wir die Zeile zu k = 3 und gehen nach rechts bis zu 1/6. Dort steht der Wert 0,930. Die Wahrscheinlichkeit, höchstens drei Erfolge zu erzielen, beträgt bei zehn Durchführungen und einer jeweiligen Erfolgswahrscheinlichkeit von 1/6 insgesamt etwa 93%. Gegeben sei nun k = 8 und p = 0,3. Hier lesen wir den Wert 1,000 ab. Hier gilt ein ähnliches Prinzip wie in der vorherigen Tabelle. So ist diese Wahrscheinlichkeit so groß, dass sie gerundet den Wert 1 ergibt. Daher finden wir in dieser Tabelle auch häufiger diesen Wert. Zum Schluss schauen wir uns das Beispiel k = 0 mit p = 0,1 an. Dieses Beispiel haben wir auch schon bei dem vorherigen Fall P(X=k) betrachtet. Dort haben wir die Wahrscheinlichkeit 0,349 erhalten. Mal sehen, welchen Wert wir in dieser Tabelle erhalten. Es ist 0,349. Der gleiche Wert. Wie kommt das? Das liegt daran, dass die Wahrscheinlichkeiten in der kumulierten Binomialverteilung zu k=0 identisch zu denen aus der Tabelle der Binomialverteilung für P(X=k) sind. Man kann das damit erklären, dass bei P(X≤0) nur ein Summand auftritt. Dies ist die Wahrscheinlichkeit für P(X=0). Somit gilt: P(X≤0) = P(X=0). Kommen wir zu unseren letzten Beispielen. Die Tabellen, die wir bis jetzt betrachtet haben, enthielten lediglich Erfolgswahrscheinlichkeiten mit p ≤ 0,5. Wie ließt man diese Tabellen nun für p > 0,5? Das funktioniert so: Hier siehst Du eine Tabelle, um die Wahrscheinlichkeiten für P(X=k) mit n = 10 angeben zu können. In der letzten Zeile siehst Du nun die Auflistung der p > 0,5. Und in der letzten Spalte die k. Ich zeige Dir an einem Beispiel, wie Du nun die Wahrscheinlichkeit ablesen kannst. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit mit n = 10, p = 0,8 und k = 7 berechnen. Wir lesen den Wert genauso ab wie vorhin. Nur diesmal von unten nach oben. Wir suchen p = 0,8 und gehen dann die Spalte hoch zu k = 7 und lesen den Wert 2013 ab. Aus Platzgründen wurde das 0, weggelassen. Also erhalten wir 0,2013. Als letztes schauen wir uns die Tabelle zu den kumulierten Binomialverteilungen an. Wir wollen folgende Wahrscheinlichkeit berechnen: P_(10;5/6)(X≤8). Hier haben wir wieder eine Tabelle für n = 10. Wir lesen auch hier den Wert von unten nach oben ab. Wir suchen also p = 5/6 in der letzten Zeile. Dann gehen wir die Spalte hoch zu k = 8 und können den Wert 0,4845 ablesen. Aber Vorsicht! Da es sich hier um eine kumulierte Binomialverteilung handelt, müssen wir jetzt diesen Wert aber von eins abziehen. Wir erhalten schließlich 1-0,4845 ≈ 0,5155. Das war es schon wieder von mir. Daher sag ich nun Bye Bye und bis zum nächsten Mal.