Signifikanztest – Testen von Hypothesen

Signifikanztest – Testen von Hypothesen Übung

• Stelle die Hypothesen $H_0$ und $H_1$ mit ihren Wahrscheinlichkeiten auf.

  Tipps

  Beim Signifikanztest geht man bei der Nullhypothese davon aus, dass sich nichts verändert hat.

  $H_1$ ist eine einseitige zusammengesetzte Hypothese und besitzt unendlich viele Werte für $p$ zwischen $p_{H_0}$ und $1$.

  Lösung

  In diesem Beispiel muss man zwei Hypothesen formulieren, die sich gegenseitig ausschließen, da sie nicht zur selben Zeit gültig sein können.

  Da man beim Signifikanztest davon ausgeht, dass sich bei der Nullhypothese nichts ändert, übernehmen wir hier die Aussage aus dem Text:

  $H_0:$ Der Marktanteil ist gleich geblieben.

  Hier verwenden wir als Wahrscheinlichkeit den genannten Marktanteil von $20~\%$ des Vorjahres, also $p=0,2$.

  Die Alternativhypothese ist in diesem Fall der zu überprüfende Sachverhalt, dass der Marktanteil gestiegen sein könnte:

  $H_1:$ Der Marktanteil ist gestiegen.

  Hier muss die Wahrscheinlichkeit bzw. der Marktanteil größer sein als bei $H_0$ und darf nicht denselben Wert einnehmen. Daher gilt $p>0,2$. Es gilt explizit nicht $p\ge 0,2$, da sonst auch $0,2$ - wie in $H_0$ - in Frage käme, was aber nicht passieren darf.

• Bestimme $n$, $k$ und die Wahrscheinlichkeit für einen $\alpha$-Fehler.

  Tipps

  Fehler erster Art:

  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Umfrage ergibt, der Marktanteil sei gestiegen, obwohl dem nicht so ist ($H_0$ wird fälschlicherweise verworfen).

  $\Large{\alpha=P(X>50)=1-P(X\le 50)}$

  Du findest die Wahrscheinlichkeit für die Berechnung von $\alpha$ in einer kumulierten Wahrscheinlichkeitstabelle mit $n=200$ und $p=0,2$.

  Lösung

  Der Umfang des Tests ist in diesem Fall die Anzahl der befragten Personen $n=200$.

  Der Hersteller wird, wenn mehr als $50$ von ihnen zufrieden sind, davon ausgehen, dass der Marktanteil gestiegen ist.

  $X\le 50:H_0$ wird angenommen.

  $X>50:H_1$ wird angenommen.

  Damit ist die kritische Zahl für diesen Test $k=50$.

  Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art, also dass $H_1$ angenommen wird, obwohl $H_0$ stimmt, beträgt also $P(X>50)$.

  Da du diese Art von Wahrscheinlichkeiten in keiner kumulierten Tabelle findest, rechnen wir mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Um alle Wahrscheinlichkeiten für $k$ über $50$ zu ermitteln, ziehen wir alle Wahrscheinlichkeiten für $k$ bis $50$ von $1$ ab.

  $\alpha=1-P(X\le 50)$

  Diese Wahrscheinlichkeit kannst du einer kumulierten Tabelle für $n=200$ und $p=0,2$ entnehmen.

  \begin{align} \alpha &=1-0,9655\\ \alpha &=0,0345\\ \alpha &=3,45~\%\\ \end{align}

• Entscheide, welche der Hypothesen und Wahrscheinlichkeiten zutreffen.

  Tipps

  Beim Signifikanztest wird in der Nullhypothese immer davon ausgegangen, dass sich nichts ändert.

  Die Alternativhypothese darf in der Wahrscheinlichkeit keine Überschneidung mit der Nullhypothese haben.

  Ob die Wahrscheinlichkeit der Alternativhypothese größer oder kleiner als die Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese ist, ergibt sich aus dem Ziel der Untersuchung.

  Lösung

  Da man beim Signifikanztest immer davon ausgeht, dass sich in der Nullhypothese nichts an der vorherigen Beobachtung (Annahme, Behauptung,...) geändert hat, können wir als Nullhypothese formulieren:

  $H_0:$ Die Fehlerrate ist gleich geblieben.

  Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist die Fehlerrate des Vorgängermodells, also $p=0,1$.

  Da sich die Hypothesen gegenseitig ausschließen müssen, geht man bei der Alternativhypothese davon aus, dass die Fehlerrate gestiegen ist:

  $H_1:$ Die Fehlerrate ist gestiegen.

  Die Wahrscheinlichkeit hierfür muss größer und ungleich der von $H_0$ sein, also wählen wir $p>0,1$.

• Gib ein $n$, ein $k$ und die Wahrscheinlichkeit für $\alpha$ an.

  Tipps

  Fehler erster Art: Der Hersteller würde die Wagen zurückrufen, obwohl sich die Fehlerrate gar nicht erhöht hat.

  Für $P(X\le 5)$ akzeptiert der Hersteller die Nullhypothese.

  Für $P(X > 5)$ akzeptiert der Hersteller die Alternativhypothese.

  $\alpha=1-P(X\le 5)$

  Der Auszug einer kumulierten Wahrscheinlichkeitstabelle für $n=50$ und $p=0,1$:

  Lösung

  Der Umfang der Stichprobe ist in diesem Fall die Anzahl der Wagen, die der Hersteller untersuchen will. Daher gilt $n=50$.

  Da er, sollte bei mehr als $5$ Wagen der bekannte Fehler auftreten, alle Modelle zurückrufen lassen wird, ist die kritische Zahl $k=5$.

  Für $P(X>5)$ wird er also $H_1$ akzeptieren. Doch wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dabei einen Fehler erster Art zu begehen, also zu glauben, es gäbe mehr fehlerhafte Wagen, obwohl dies nicht der Fall ist?

  Dazu benötigt man eine kumulierte Wahrscheinlichkeitstabelle mit $n=50$ und $p=0,1$.

  Die Wahrscheinlichkeit, dass die Prüfgröße $X$ größer ist als fünf, können wir nicht aus der Tabelle entnehmen, zumindest nicht direkt. Wir können aber die Gegenwahrscheinlichkeit, also dass die Prüfgröße zwischen $0$ und $5$ liegt, berechnen:

  \begin{align} \alpha & =1-P(X\le 5)\\ \alpha & =1-0,6161\\ \alpha & =0,3839\\ \alpha & =38,39~\%\\ \end{align}

  Dieser Test ist relativ ungünstig für den Hersteller, da er zu fast $40~\%$ einen Fehler erster Art begeht, also sehr wahrscheinlich die Wagen zurückruft, obwohl die Fehlerrate nicht gestiegen ist.

  Mit größerem $k$ würde diese Irrtumswahrscheinlichkeit immer weiter sinken.

• Ermittle die Wahrscheinlichkeit, die benötigt wird, um einen $\beta$-Fehler zu berechnen.

  Tipps

  Die Hypothesen lauten:

  • $H_0:$ Der Marktanteil bleibt gleich ($p=0,2$)

  • $H_1:$ Der Marktanteil steigt ($p>0,2$)

  Fehler zweiter Art:

  $H_0$ wird akzeptiert, obwohl $H_1$ stimmt.

  $H_1$ ist eine zusammengesetzte Hypothese.

  Lösung

  Da es sich bei $H_1$ um eine zusammengesetzte Hypothese handelt, ist diese Wahrscheinlichkeit bei einem Signifikanztest nicht genau bekannt (im Gegensatz zu einem Alternativtest).

  Mit $p>0,2$ kommt jede Wahrscheinlichkeit zwischen $20~\%$ und $100~\%$ in Frage und für jede ändert sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art.

  Da der Fehler zweiter Art also von $p$ abhängt, kann man $\beta$ jeweils einer kumulierten Tabelle für verschiedene $p$ entnehmen.

  Du kannst den Fehler zweiter Art also mit jeder Wahrscheinlichkeit über $p=0,2$ berechnen, er wird nur immer verschieden groß sein.

  Je dichter dieses $p$ am $p$ für $H_0$ liegt, desto höher wird auch die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers zweiter Art.

• Erstelle eine kumulierte Wahrscheinlichkeitstabelle, um $\alpha$ zu ermitteln.

  Tipps

  Eine kumulierte (aufaddierte) Wahrscheinlichkeitstabelle ist so aufgebaut.

  Genaue Wahrscheinlichkeiten berechnest du mit dieser Formel.

  $\alpha=1-P(X\le 5)$

  Lösung

  Hier musst du Schritt für Schritt vorgehen. Um eine kumulierte Wahrscheinlichkeitstabelle zu erstellen, muss man wissen, wie diese aufgebaut sind:

  $\begin{array}{c|l} k & P(k) \\ \hline 0 & P(0) \\ 1 & P(0) + P(1) \\ 2 & P(0) + P(1) + P(2) \\ \vdots & \vdots \end{array}$

  In jeder Zeile wird die genaue Wahrscheinlichkeit für dieses $k$ mit den genauen Wahrscheinlichkeiten der letzten Zeilen addiert. Kumuliert bedeutet auch so viel wie aufaddiert.

  Genaue Wahrscheinlichkeiten kannst du mit dieser Formel berechnen:

  $P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

  So ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für $k=0$:

  $P(X=0)=\binom{100}{0} \cdot (0,05)^0 \cdot (0,95)^{100}=0,0059$

  Hier siehst du die Einzelwahrscheinlichkeiten aufgelistet:

  $\begin{array}{c|c} k & P(k) \\ \hline 0 & 0,0059 \\ 1 & 0,0312 \\ 2 & 0,0812 \\ 3 & 0,1396 \\ 4 & 0,1781 \\ 5 & 0,1800 \end{array}$

  Aufaddiert ergibt sich die kumulierte Tabelle (Bild).

  Der Fehler erster Art, also dass man annimmt, mehr Wähler zu haben, obwohl dem nicht so ist, ergibt sich, wenn mehr als fünf der Befragten zu der Partei stehen.

  \begin{align} \alpha & =P(X>5)\\ \alpha & =1-P(X\le 5)\\ \alpha & =1-0,6160\\ \alpha & =0,384\\ \alpha & =38,4~\%\\ \end{align}