Einseitige Signifikanztests – Beispiel

Einseitige Signifikanztests – Beispiel Übung

• Stelle die Hypothesen $H_0$ und $H_1$ auf.

  Tipps

  Fehler erster Art: $H_0$ wird verworfen und $H_1$ fälschlicherweise akzeptiert, obwohl $H_0$ gestimmt hätte.

  $H_0$ und $H_1$ schließen sich gegenseitig aus/können nicht gleichzeitig gelten.

  Fehler erster Art in diesem Beispiel:

  Man nimmt an, die Qualität sei gestiegen, obwohl das nicht der Fall ist.

  Lösung

  In diesem Beispiel wird zuerst die Nullhypothese $H_0$ aufgestellt.

  Man betrachtet den Fall, dass die bekannte Bruchrate von $20~\%$ gleich bleibt. Falls das passiert, würde man die Produktion einstellen.

  $H_0$: Die Qualität ist gleich geblieben.

  Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall liegt bei den angesprochenen $20~\%$. Also gilt für $H_0:p=0,2$.

  Die Alternativhypothese wäre dann - da sich beide Hypothesen gegenseitig ausschließen müssen - dass die Qualität besser geworden ist. Dieser Fall tritt ein, wenn die Bruchrate sinkt bzw. beim Test weniger Decks kaputt gehen als vorher.

  $H_1$: Die Qualität hat sich verbessert.

  Hier muss die Wahrscheinlichkeit unter der von $H_0$ liegen. Es muss gelten $H_1:p<0,2$.

• Bestimme die Werte für $\alpha$ und die kritische Zahl $k$.

  Tipps

  Signifikanzniveau $\to$ Der höchste Wert für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art, der noch akzeptiert wird.

  Du benötigst unter anderem eine Tabelle für kumulierte Wahrscheinlichkeiten mit $n=50$ und $p=0,2$.

  Das Signifikanzniveau wird hier auch $\alpha$ genannt.

  Hier kannst du die kumulierte Binomialverteilung für $n=50$ und $p=0,2$ erkennen.

  Lösung

  Bei diesem Test wird mit einem Signifikanzniveau von $5~\%$ gearbeitet, welches, da es um einen Fehler erster Art geht, mit $\alpha$ abgekürzt wird. Die folgenden Größen sind gegeben:
  Nullhypothese: $H_0=0,2$
  Alternativhypothese: $H_1<0,2$
  Stichprobenumfang: $n=50$
  Prüfgröße: $X=$„Anzahl der Decks, die bei dem Test kaputt gehen.“
  Signifikanzniveau: $\alpha=5\%$

  Das bedeutet $5~\%$ ist die höchste Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art, die bei diesem Test noch akzeptiert wird.

  Wie man jetzt seine kritische Zahl zu wählen hat, kann man gut an einer Tabelle für kumulierte Binomialverteilung für $n=50$ und $p=0,2$ ablesen (Bild).

  Dann muss man nachsehen, für welches $k$ die Wahrscheinlichkeit noch unter dem gegebenen Signifikanzniveau liegt.

  In diesem Beispiel ist die Grenze bei $k=5$, da die Wahrscheinlichkeit hier noch unter $5~\%$, nämlich bei $4,8~\%$ liegt. Für $k=6$ beträgt die Wahrscheinlichkeit schon $10,34~\%$ - das vorgegebene Signifikanzniveau wäre überschritten.

• Bestimme die Werte der Wahrscheinlichkeiten von $H_0$ und $H_1$.

  Tipps

  Die beiden Hypothesen schließen sich gegenseitig aus.

  Eine der Hypothesen hat immer eine konstante Wahrscheinlichkeit ($p=~?$), während die andere eine davon abweichende ($p <~oder~>~?$) besitzt.

  Lösung

  In diesem Beispiel sind die bekannten Werte folgende:

  • statistische Gesamtheit: $500$ Wasserbälle

  • Stichprobe $n=20$

  • Reklamation, falls ein Viertel defekt

  • Behalten der Lieferung, falls weniger defekt

  Somit kann er folgende Hypothesen aufstellen:

  $H_0:$ Die Lieferung wird reklamiert $p=0,25$

  $H_1:$ Die Lieferung wird behalten $p<0,25$

  Die Wahrscheinlichkeit von $H_1$ darf hier nicht den Wert von $H_0$ annehmen, da sie sich gegenseitig ausschließen müssen. Daher wählt man hier ein $<$ statt einem $\le$.

• Ermittle die kritische Zahl $k$.

  Tipps

  Gesucht ist ein $k$ zu $P(X\le k) \le 0,1$

  Du brauchst eine passende Tabelle für kumulierte Wahrscheinlichkeiten.

  Auszug einer Tabelle mit $n=20$ und $p=0,25$.

  Lösung

  $X$ sei die Anzahl der defekten Bälle. Gesucht ist die kritische Zahl $K$, bei der die Wahrscheinlichkeit einen Fehler erster Art zu begehen nicht größer ist als $10~\%$.(Bild)

  Daher müssen wir ein $k$ wählen, bei dem gilt:

  $P(X\le k) \le 0,1$

  Aus den Angaben im Text können wir herauslesen, dass wir auf der Suche nach einer passenden Tabelle nach den Werten $n=20$ und $p=0,25$ suchen müssen. Einen Auszug aus einer solchen Tabelle siehst du im Bild.

  So kann man auch gleich ablesen, dass man als $k$ höchstens $2$ wählen darf, weil hier die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art bei $9,13~\%$ liegt - noch knapp unter dem vorher festgelegten Signifikanzniveau von $\alpha \le 10~\%$.

• Gib die Werte der jeweiligen Größen an.

  Tipps

  Der Stichprobenumfang ist die Menge aller getesteten Decks.

  Das Signifikanzniveau erhält dieselbe Abkürzung wie ein Fehler erster Art.

  Wenn die Qualität steigt, muss die Bruchrate sinken.

  Lösung

  Im Beispiel mit den Skateboards sind einige Größen des Signifikanztests klar zu definieren:

  • Nullhypothese $H_0:$ Die Qualität ist gleich geblieben, die Bruchrate bleibt dieselbe wie beim alten Modell $(p=0,2)$

  • Alternativhypothese $H_1:$ Die Qualität hat sich verbessert. Daher muss die Bruchrate gesunken sein $(p<0,2)$

  Beide Hypothesen können nicht gleichzeitig gültig sein.

  Beim Fehler erster Art würde man nun feststellen, dass sich die Qualität verbessert hat, obwohl sie gleichgeblieben ist.

  Dabei gibt es folgendes zu beachten:

  • $\alpha \le 5~\%$ - auch Signifikanzniveau genannt, ist die höchste Wahrscheinlichkeit, die für einen Fehler erster Art noch akzeptiert wird

  • $X$ - die Prüfgröße, also die Anzahl der Decks, die beim Test tatsächlich kaputt gehen

• Ergänze die kumulierte Tabelle und bestimme die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Eine kumulierte Wahrscheinlichkeitstabelle ist folgendermaßen aufgebaut.

  Eine genaue Wahrscheinlichkeit berechnet man so:

  Die Tabelle mit den genauen Werten, also noch nicht aufaddiert, sieht so aus:

  Zur Kontrolle: In der kumulierten Tabelle ist der Wert für $k=6$ $P(X \le k)=0,1172$

  Lösung

  Sammeln wir zunächst unsere Werte:

  • $H_0:$ Die Qualität bleibt schlecht $p=0,1$

  • $H_1:$ Die Qualität bessert sich $p<0,1$

  • $n=100$

  • gesucht sind die kritischen Zahlen $k$ für $\alpha\le 1~\%$ und $\alpha\le 5~\%$

  Dazu müssen wir uns eine kumulierte Wahrscheinlichkeitstabelle erstellen. Diese Tabellen sind folgendermaßen aufgebaut

  $\begin{array}{c|l} k & P(X \le k) \\ \hline 0 & P(0) \\ 1 & P(0) + P(1) \\ 2 & P(0) + P(1) + P(2) \\ \vdots & \vdots \end{array}$

  und bestehen aus den Einzelwahrscheinlichkeiten für $X=k$. Einzelwahrscheinlichkeiten bestimmt man mit Hilfe dieser Formel:

  $P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

  So sieht die genaue Wahrscheinlichkeit für beispielsweise $k=3$ so aus:

  $P(X=3)=\binom{100}{3} \cdot (0,1)^3 \cdot (0,9)^{97} \approx 0,0059$

  Alle Einzelwahrscheinlichkeiten, die mit dieser Formel ausgerechnet und gerundet wurden, findest du hier:

  $\begin{array}{c|c} k & P(X = k) \\ \hline 0 & 0,0000 \\ 1 & 0,0003 \\ 2 & 0,0016 \\ 3 & 0,0059 \\ 4 & 0,0159 \\ 5 & 0,0339 \\ 6 & 0,0596 \end{array}$

  Kumuliert (aufaddiert), sieht die Tabelle wie im Bild aus. Die Grenzen für die gesuchten $k$ sind bereits gezogen. Wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art - das Signifikanzniveau - maximal $1~\%$ sein soll, ist $k=3$ zu wählen, denn hier beträgt die Wahrscheinlichkeit noch $0,78~\%$.

  Soll $\alpha\le 5~\%$ gelten, ist $k=4$ zu wählen, denn hier beträgt die Wahrscheinlichkeit noch $2,37~\%$.