Normalverteilung – Gaußsche Glockenkurve und Laplace-Bedingung

Normalverteilung – Gaußsche Glockenkurve und Laplace-Bedingung Übung

• Gib an, ob die Laplace-Bedingung erfüllt ist.

  Tipps

  Die Anzahl der Durchführungen eines Wahrscheinlichkeitsexperiments wird mit $n$ angegeben.

  Schauen wir uns ein Beispiel an. Wir haben $n=90$ und $p=0,3$ gegeben. Wir berechnen $\sigma = \sqrt{90\cdot 0,3\cdot 0,7} \approx 4,35$.

  Diese Zahl ist größer als $3$. Deshalb ist die Laplace-Bedingungen erfüllt.

  Lösung

  Die Standardabweichung berechnet sich bei der Binomialverteilung durch folgende Formel:

  $\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$

  Wir sagen, dass die Laplace-Bedingung erfüllt ist, wenn $\sigma$ größer als $3$ ist.

  Der Wert $p=0,5$ gilt für alle drei Zufallsexperimente. Im ersten ist $n=20$. Es ergibt sich also $\sigma = \sqrt{20\cdot 0,5\cdot 0,5} = \sqrt{5} \approx 2,24$. Dieser Wert ist kleiner als $3$. Die Laplace-Bedingung ist also für dieses Wahrscheinlichkeitsexperiment nicht erfüllt.

  Die anderen Standardabweichungen berechnest du analog. Die Ergebnisse sind in der Tabelle nochmal vollständig dargestellt:

  $\begin{array}{c|c} n&\sigma\\ \hline 20&2,24\\ 50&3,54\\ 120&5,48 \end{array}$

  Für $n=50$ und $n=120$ ist $\sigma$ größer als $3$, die Laplace-Bedingung ist also erfüllt.

• Vervollständige die Aussagen zur Gaußschen Glockenkurve.

  Tipps

  Binomialverteilungen können näherungsweise mit Hilfe der Gaußschen Glockenkurve berechnet werden, wenn die Laplace-Bedingung erfüllt ist.

  Die Laplace-Bedingung stellt sicher, dass die Standardabweichung $\sigma$ nicht zu gering ist.

  Lösung

  Da die Bernoulli-Formel für große $n$ sehr aufwendig anzuwenden ist, will man einen anderen Weg finden, um die Wahrscheinlichkeiten von Binomialverteilungen zu berechnen.

  Ist die Laplace-Bedingung erfüllt, kann dies mithilfe der Normalverteilung erfolgen. Diese ist genau dann erfüllt, wenn die Standardabweichung $\sigma$ größer als $3$ ist.

  Die Standardnormalverteilung ist eine besondere Gaußsche Glockenkurve mit den Parametern $\mu=0$ und $\sigma=1$.

• Berechne die Standardabweichung.

  Tipps

  Bestimme die Anzahl der Durchführungen $n$ und die Wahrscheinlichkeit für einen erfolgreichen Ausgang eines Durchgangs $p$ und berechne mit Hilfe dieser Werte die Standardabweichung $\sigma$.

  Die Formel für die Standardabweichung $\sigma$ lautet bei der Binomialverteilung:

  $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$.

  Lösung

  Die Formel zur Berechnung der Standardabweichung lautet $\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$.

  Der Münzwurf

  Beim Münzwurf beträgt die Anzahl der Durchführungen $n=9$ und die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Durchgang die Seite mit dem Kopf nach oben zeigt, beträgt $p=0,5$. Einsetzen in die Formel ergibt:

  $ \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{9\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}=1,5. $

  Die Mäuse

  Die Anzahl der behandelten Mäuse ist $n=10$. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Behandlung erfolgreich ist, beträgt $80\%$ oder als Kommazahl geschrieben: $p=0,8$. Einsetzen ergibt:

  $ \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{10\cdot 0,8\cdot (1-0,8)}\approx 1,26. $

  Die Karten

  Im Fall der Ziehungen der Karten ist $n=300$ und die Erfolgswahrscheinlichkeit, die rote Karte zu ziehen, $p=\frac{1}{14}$. Es ergibt sich $\sigma\approx 4,46$.

  Das Würfelspiel

  Beim Würfelspiel von Tom beträgt $n=100$ und die Wahrscheinlichkeit, dass ein gewöhnlicher Würfel eine $1$ oder $6$ zeigt, beträgt $p=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Einsetzen in die Formel für die Standardnormalverteilung liefert $\sigma\approx 4,71$.

• Untersuche die wichtigen Eigenschaften der Gaußschen Glockenkurve.

  Tipps

  Auf den Bildern der Funktionsgraphen erkennt man bestimmte Eigenschaften der Glockenkurven.

  Bei $\mu$ zum Beispiel hat die Funktion immer den höchsten Funktionswert.

  Den Wendepunkt einer Funktion erkennt man daran, dass der Funktionsgraph von einer Rechts- zu einer Linkskrümmung (oder umgekehrt!) wechselt.

  Lösung

  Hier siehst du den Text mit den richtig ausgefüllten Lücken (fett gedruckt).

  Eine Normalverteilung mit den Parametern $\sigma$ und $\mu$ hat folgende Eigenschaften:

  • Ihren Maximalwert erreicht sie an der Stelle $x=\mu$. Dieser ist der einzige Extrempunkt der Funktion. Dies lässt sich einsehen, wenn man die erste Ableitung der Funktion berechnet und diese gleich $0$ setzt. Wählt man den Parameter $\mu$ kleiner, verschiebt sich der komplette Graph nach links, macht man ihn größer nach rechts.
  • Die Funktion der Normalverteilung ist achsensymmetrisch bezüglich der vertikalen Achse durch $x=\mu$. Denn setzt man die Werte $\mu-y$ und $\mu+y$ für beliebige Zahlen y ein und sieht, dass die Funktionswerte dieselben sind.
  • Die erste Ableitung, also die Steigung der Tangente an einem Punkt, ist positiv für Werte $x<\mu$, ist gleich $0$ bei $x=\mu$ und wird negativ für Werte $x>\mu$. Dies ist durch Ablesen am Graph erkennbar oder durch explizites Ausrechnen der ersten Ableitung und Betrachtung des Vorzeichens.
  • Die Funktion hat genau zwei Wendestellen, die man über die Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen kann. Eine explizite Rechnung ergibt, dass diese genau bei $x_1=\mu-\sigma$ und $x_2=\mu+\sigma$ liegen.
  • Je kleiner $\sigma$ ist, desto steiler ist die Kurve um den Erwartungswert $\mu$ herum. Diesen Zusammenhang erkennt man beispielsweise auch im obigen Bild. Der Graph von $\sigma = 0,5$ ist um den Erwartungswert $\mu$ herum steiler, als der Graph von $\sigma = 1$.

  Nochmal zusammengefasst: Die Krümmung des Funktionsgraphen wird also vollständig durch $\sigma$ bestimmt. Eine Änderung des Parameters $\mu$ bewirkt lediglich eine Verschiebung des Graphen nach links oder rechts.

• Gib an, welche der Aussagen zur Normalverteilung richtig sind.

  Tipps

  Oftmals ergeben sich in den Anwendungen binomialverteilte Zufallsgrößen.

  Diese möchte man mit Hilfe der Normalverteilung approximieren.

  Die Histogramme sind abhängig von $n$ und $p$.

  Lösung

  Da die Bernoulli-Formel mit größerem $n$ immer aufwendiger zu berechnen ist, kann man - sofern die Laplace-Bedingung erfüllt ist - die Normalverteilung benutzen, um die binomialverteilte Größe anzunähern.

  Die Form des Histogramms einer binomialverteilten Größe hängt von der Anzahl der Durchführungen $n$, sowie der Erfolgswahrscheinlichkeit eines Durchgangs $p$ ab.

  Um die verschiedenen Histogramme vergleichen zu können, nimmt man eine Standardisierung vor. Bei der Standardisierung der Normalverteilung wird der Erwartungswert auf $0$ verschoben. Dann wird auf die Standardabweichung $1$ normiert und anschließend müssen die Säulenbreiten wieder auf die Breite $1$ skaliert werden. Daraus ergeben sich die Werte $\sigma$ und $\mu$, aus denen sich die Funktionsgleichung der Glockenkurve eindeutig ergibt:

  $ Z\cdot \sigma(X)=\frac{X-\mu}{\sigma(x)}\cdot\sigma(X). $

  Das Wort Standard bezieht sich lediglich darauf, dass die Standard-Werte $\mu=0$ und $\sigma=1$ benutzt werden. Es sagt nichts darüber aus, wann dieser Fall auftritt.

• Entscheide, welcher Graph zu welchem Wertepaar $p$ und $n$ gehört.

  Tipps

  Die Werte von $\mu$ und $\sigma$ haben Auswirkungen auf den Graphen der Normalverteilung.

  Bei $x = \mu$ ist immer der Hochpunkt.

  $\sigma$ beeinflusst die Steigung des Funktionsgraphen um den Hochpunkt herum. Je größer $\sigma$ ist, desto flacher ist die Steigung.

  Lösung

  Die Formel zur Berechnung der Standardabweichung lautet $\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot(1-p)}$ und die Formel zur Berechnung des Erwartungswerts lautet $\mu = n\cdot p$.

  Die ersten beiden Graphen

  Die ersten beiden Graphen haben beide einen Hochpunkt bei $x = 20$. Dementsprechend muss der Erwartungswert $\mu = 20$ sein. Deshalb wissen wir nun, dass die beiden Wertepaare $p=\frac45, n=25$ und $p=\frac15, n=100$ zu diesen beiden Graphen gehören müssen.

  Um zu entscheiden, welches Wertepaar zu welchem Graphen gehört, berechnen wir die jeweilige Standardabweichung:

  $\sigma_1 = \sqrt{25\cdot\frac45\cdot\frac15} = 2$ und $\sigma_2 = \sqrt{100\cdot\frac15\cdot\frac45} = 4$.

  Das kleinere $\sigma$ gehört zu dem steileren Funktionsgraphen. Das größere $\sigma$ gehört zu dem weniger steilen Funktionsgraphen.

  Die zweiten beiden Graphen

  Mit Hilfe des Ausschlussverfahrens wissen wir schon, welche beiden Wertepaare zu diesen beiden Graphen gehören. Falls du mit diesen Graphen angefangen hast, siehst du hier aber auch noch einen anderen Weg.

  Man kann ablesen, dass bei beiden Graphen $\mu = 30$ gilt. Dieser Wert lässt sich aus den beiden Wertepaaren $p=\frac34, n=40$ und $p=\frac{5}{19}, n = 114$ berechnen.

  Nun müssen wir wieder die beiden Standardabweichungen berechnen:

  $\sigma_1 = \sqrt{40\cdot\frac34\frac14} \approx 2,739$ und $\sigma_2 = \sqrt{114\cdot\frac{5}{19}\cdot\frac{14}{19}}\approx 4,702$.

  Da $\sigma_1 < \sigma_2$ gehört das Wertepaar $p=\frac34, n=40$ zum 3. Graphen und das Wertepaar $p=\frac{5}{19}, n = 114$ zum 4. Graphen.