Normalverteilung – Globale Näherungsformel von De Moivre und Laplace

Hallo! Hier ist Mandy! Hier erfährst du, wozu man die globale Näherungsformel von De Moivre und Laplace benötigt und wie man sie anwendet. Dazu erhältst du als Einstieg zunächst eine Wiederholung.Dann betrachten wir die Globale Näherungsformel etwas genauer und wenden sie dann auf ein Beispiel an. Zum Schluss gibt es eine Zusammenfassung. Bisher hast du die lokale Näherungsformel von De Moivre und Laplace kennengelernt. Dabei ging es darum die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, zum Beispiel von k=3, näherungsweise zu berechnen. Den exakten Wert kann man über die Bernoulli-Formel bestimmen oder in Tabellen ablesen.Es ist genau dann sinnvoll die Näherungsformel der Bernoulli-Formel vorzuziehen, wenn die Anzahl der Durchführungen so groß ist, dass sie mit der Bernoulli-Formel nur schwer oder gar nicht zu lösen ist. Der angenäherte Wert ist dann besonders genau, je größer die Standardabweichung ist. Sie sollte insbesondere laut Laplace-Bedingung größer als 3 sein. Zusammenfassend können wir für die lokale Näherungsformel folgenden Satz formulieren. Betrachtet man die Fläche unter der Gauß´schen Glockenkurve so kann sie über die Gauß´sche Integralfunktion berechnet werden.Nun zur Globalen Näherungsformel von De Moivre und Laplace.Dazu gibt es noch ein paar Vorbetrachtungen. Ein typisches Histogramm zu einer binomialverteilten Zufallsgröße sieht zum Beispiel folgendermaßen aus. Bei der Binomialverteilung kann man nicht nur Wahrscheinlichkeiten zu einzelnen Ergebnissen betrachten, wie beispielsweise P(X=8). Hier entspräche die Fläche der Säule zu k=8 der Wahrscheinlichkeit P(X=8).Für große n wendet man hier die lokale Näherungsformel an. Man kann aber auch sogenannte kumulierte Wahrscheinlichkeiten betrachten. Dabei umfasst die betrachtete Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Intervall der Binomialverteilung, welches sich aus mehreren Ergebnissen zusammensetzen kann. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn man die Wahrscheinlichkeit zu einem Ereignis betrachtet, welches alle Ergebnisse umfasst, die <10 oder allgemein gesagt