Normalverteilung – Anwendung der Näherungsformeln

Normalverteilung – Anwendung der Näherungsformeln Übung

• Berechne mit Hilfe der globalen Näherungsformel die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Der Erwartungswert ist wie folgt definiert: $~\mu=n\cdot p$

  Du entnimmst der Tabelle den Wert für $\Phi(z)$ wie folgt:

  • In der ersten Tabellenspalte findest du den Wert für $z$ bis zur ersten Nachkommastelle.
  • Die restlichen Stellen hinter dem Komma findest du in der ersten Tabellenzeile.
  • $\Phi(z)$ steht dann in der Zelle, bei der sich die jeweilige Tabellenzeile und -spalte schneiden.

  Für $z=0,22$ erhalten wir folgendes Ergebnis, gerundet auf die vierte Nachkommastelle: $\Phi(0,22)\approx 0,5871$

  Lösung

  Gegeben:

  • $n=500$
  • $k=22$
  • $p=0,04$

  Gesucht:

  • $P(X\leq k)$

  Lösung:

  Schritt 1: Laplace-Bedingung überprüfen. Damit zeigen wir, dass unsere Wahrscheinlichkeit eine hohe Genauigkeit aufweist. Wir erhalten:

  • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{500\cdot 0,04\cdot (1-0,04)}\approx 4,38$ $>3~\checkmark$

  Schritt 2: Nun berechnen wir $z$. Es gilt:

  • $z=\dfrac {k-\mu+0,5}{\sigma}$

  Mit $\mu=n\cdot p=500\cdot 0,04$ folgt:

  • $z=\dfrac {k-n\cdot p+0,5}{\sigma}=\dfrac {22-500\cdot 0,04+0,5}{4,38}\approx 0,57$

  Schritt 3: Jetzt können wir $P(X\leq 22)$ durch den Näherungswert $\Phi(0,57)$ ungefähr angeben:

  $P(X\leq 22)\approx\Phi(0,57)\approx 0,7157$

  Antwort

  Mit $71,57\%$ sind an einem Tag höchstens $22$ Leute krank.

• Bestimme mit Hilfe der globalen Näherungsformel die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Die Laplace-Bedingung lautet:

  • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}>3$

  Es gilt:

  • untere Grenze: $~z_1=\dfrac {k_1-1-\mu+0,5}{\sigma}$

  • obere Grenze: $~z_2=\dfrac {k_2-\mu+0,5}{\sigma}$

  Der Erwartungswert $\mu$ ist wie folgt definiert: $\mu=n\cdot p$

  Es gilt:

  • $P(k_1\leq k\leq k_2)\approx\Phi(z_2)-\Phi(z_1)$

  Für einen negativen $z$-Wert brauchst du folgenden Zusammenhang, da du in der Tabelle keine negativen $z$-Werte findest:

  • $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$

  Lösung

  Gegeben:

  • $n=200$
  • $k_1=130$
  • $k_2=140$
  • $p=0,7$

  Gesucht:

  • $P(k_1 \leq X \leq k_2)=P(130\leq X \leq 140)$

  Lösung:

  Schritt 1: Laplace-Bedingung überprüfen. Damit zeigen wir, dass unsere Wahrscheinlichkeit eine hohe Genauigkeit aufweist. Wir erhalten:

  • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{200\cdot 0,7\cdot (1-0,7)}\approx 6,48 $ $>3~\checkmark$

  Schritt 2: Nun berechnen wir die untere Grenze $z_1$ und obere Grenze $z_2$. Es gilt:

  • $z_1=\dfrac {k_1-1-\mu+0,5}{\sigma}=\dfrac {k_1-1-n\cdot p+0,5}{\sigma}\approx\dfrac {130-1-200\cdot 0,7+0,5}{6,48}\approx -1,62$

  • $z_2=\dfrac {k_2-\mu+0,5}{\sigma}=\dfrac {k_2-n\cdot p+0,5}{\sigma}\approx\dfrac {140-200\cdot 0,7+0,5}{6,48}\approx 0,08$

  Schritt 3: Jetzt können wir $P(130\leq X \leq 140)$ durch den Näherungswert $\Phi(0,08)-\Phi(-1,62)$ ungefähr angeben:

  Einen negativen Wert können wir nicht aus der Tabelle ablesen. Es gilt $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ und damit folgt:

  • $\Phi(-1,62)=1-\Phi(1,62)=1-0,9474=0,0526$
  • $\Phi(0,08)=0,5319$

  Damit folgt:

  • $P(130\leq X \leq 140)\approx\Phi(0,08)-\Phi(-1,62)\approx 0,5319-0,0526=0,4793$

  Antwort

  Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund $47,93\%$ schafft es Max bei $200$ Durchführungen, den Ball zwischen $130$ und $140$ Mal hochzuhalten.

• Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit, indem du die lokale Näherungsformel nutzt.

  Tipps

  Wenn $20$ Kugeln in einer Urne liegen, von denen $6$ blau sind, beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit, dass man eine blaue Kugel zieht $\dfrac 6{20}=\dfrac 3{10}$.

  Die lokale Näherungsformel ist wie folgt definiert:

  $B_{n;p}(X=k) \approx \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)^2} $

  Lösung

  Beispiel 1

  Folgende Größen können wir direkt ableiten:

  • $n=50$
  • $k=3$

  In der Urne liegen insgesamt $12$ Kugeln, davon sind $3$ grün:

  • $p=\dfrac 3{12}=\dfrac 14$

  Um $B_{50;\frac14} (X=3)$ zu bestimmen, benötigen wir noch die Standardabweichung $\sigma$:

  • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{50\cdot \dfrac 14\cdot (1-\dfrac 14)}\approx 3,06>3~\checkmark$

  Die lokale Näherungsformel liefert dann folgende Wahrscheinlichkeit:

  $\begin{array}{lll} B_{50;\frac 14}(X=3) &\approx& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &=& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-n\cdot p}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &\approx& \dfrac {1}{3,06\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{3-50\cdot \frac 14}{3,06}\right)^2} \\ \\ &\approx& 0,001 \end{array}$

  Beispiel 2

  Folgende Größen können wir direkt ableiten:

  • $n=45$
  • $k=12$

  In der Urne liegen insgesamt $12$ Kugeln, davon sind $4$ blau:

  • $p=\dfrac 4{12}=\dfrac 13$

  Um $B_{45;\frac13} (X=12)$ zu bestimmen, benötigen wir noch die Standardabweichung $\sigma$:

  • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45\cdot \dfrac 13\cdot (1-\dfrac 13)}\approx 3,16>3~\checkmark$

  Die lokale Näherungsformel liefert dann folgende Wahrscheinlichkeit:

  $\begin{array}{lll} B_{45;\frac 13}(X=12) &\approx& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &=& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-n\cdot p}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &\approx& \dfrac {1}{3,16\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{12-45\cdot \frac 13}{3,16}\right)^2} \\ \\ &\approx& 0,0804 \end{array}$

• Erschließe mit Hilfe der globalen Näherungsformel die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Du benötigst die folgenden Formeln:

  • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$

  • $z=\dfrac {k-\mu+0,5}{\sigma}$

  Es gilt: $~\Phi(-z)=1-\Phi(z)$

  Lösung

  Gegeben:

  • $n=80$
  • $k=5$
  • $p=\dfrac 16$

  Gesucht:

  • $P(X\leq 5)$

  Lösung:

  Schritt 1: Laplace-Bedingung überprüfen. Damit zeigen wir, dass unsere Wahrscheinlichkeit eine hohe Genauigkeit aufweist. Wir erhalten:

  • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{80\cdot \frac 16\cdot (1-\frac 16)}\approx 3,33 $ $>3~\checkmark$

  Schritt 2: Nun berechnen wir $z$. Es gilt:

  • $z=\dfrac {k-\mu+0,5}{\sigma}$

  Mit $\mu=n\cdot p$ folgt:

  • $z=\dfrac {k-n\cdot p+0,5}{\sigma}=\dfrac {5-80\cdot \frac 16+0,5}{3,33}\approx -2,35 $

  Schritt 3: Jetzt können wir $P(X\leq 5)$ durch den Näherungswert $\Phi(-2,35)$ ungefähr angeben:

  $P(X\leq 5)\approx\Phi(-2,35)=1-\Phi(2,35)\approx 1-0,9906=0,0094\approx0,01$

  Antwort

  Mit rund $1\%$ wird bei $80$ Versuchen höchstens $5$ Mal die $3$ gewürfelt.

• Gib mit Hilfe der lokalen Näherungsformel die gesuchte Wahrscheinlichkeit an.

  Tipps

  Der Erwartungswert $\mu$ entspricht dem Produkt aus der Anzahl der Versuche $n$ und der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.

  Lösung

  Gegeben: $~n=150$; $~p=\dfrac 16$; $~k=30$

  Gesucht: $~B_{150;\frac16} (X=30)$

  Lösung:

  Schritt 1:

  Überprüfung der Laplace-Bedingung:

  • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{150\cdot \dfrac 16\cdot (1-\dfrac 16)}\approx 4,56>3~\checkmark$

  Schritt 2:

  Anwendung der lokalen Näherungsformel:

  $\begin{array}{lll} B_{150;\frac 16}(X=30) &\approx& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &=& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-n\cdot p}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &\approx& \dfrac {1}{4,56\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{30-150\cdot \frac 16}{4,56}\right)^2} \\ \\ &\approx& 0,048 \end{array}$

  Antwort:

  Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund $4,8\%$ wird bei einem $150$-maligen Wurf eines Würfels genau $30$ Mal eine $2$ gewürfelt.

• Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Es gilt: $P(k_1\leq X\leq k_2)\approx \Phi(z_2)-\Phi(z_1)$

  Du brauchst folgende Größen:

  • $\sigma$
  • $z_1$
  • $z_2$
  • $\Phi(z_1)$
  • $\Phi(z_2)$

  $z_1$ ist negativ. Du rechnest dann:

  $\Phi(z_1)=1-\Phi(|z_1|)$$

  Lösung

  Gegeben:

  • $n=1000$
  • $k_1=20$
  • $k_2=50$
  • $p=0,03$

  Gesucht:

  • $P(k_1 \leq X \leq k_2)=P(20\leq X \leq 50)$

  Lösung:

  Schritt 1: Laplace-Bedingung überprüfen. Damit zeigen wir, dass unsere Wahrscheinlichkeit eine hohe Genauigkeit aufweist. Wir erhalten:

  • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{1000\cdot 0,03\cdot (1-0,03)}\approx 5,39 $ $>3~\checkmark$

  Schritt 2: Nun berechnen wir die untere Grenze $z_1$ und obere Grenze $z_2$. Es gilt:

  • $z_1=\dfrac {k_1-1-\mu+0,5}{\sigma}=\dfrac {k_1-1-n\cdot p+0,5}{\sigma}\approx\dfrac {20-1-1000\cdot 0,03+0,5}{5,39}\approx -1,95$

  • $z_2=\dfrac {k_2-\mu+0,5}{\sigma}=\dfrac {k_2-n\cdot p+0,5}{\sigma}\approx\dfrac {50-1000\cdot 0,03+0,5}{5,39}\approx 3,80$

  Schritt 3: Jetzt können wir $P(20\leq X \leq 50)$ durch den Näherungswert $\Phi(3,80)-\Phi(-1,95)$ ungefähr angeben:

  Es gilt:

  • $\Phi(-1,95)=1-\Phi(1,95)\approx1-0,9744=0,0256$
  • $\Phi(3,80)\approx0,9999$

  Damit folgt:

  • $P(20\leq X \leq 50)=\Phi(3,80)-\Phi(-1,95)\approx 0,9999-0,0256=0,9743$

  Antwort

  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $1000$ Kunden mindestens $20$ aber höchstens $50$ Kunden ein defektes Handy bekommen, liegt bei rund $97,43\%$.