Urliste, Rangliste und Häufigkeitstabelle

Urliste, Rangliste und Häufigkeitstabelle Übung

• Bestimme die Eigenschaften der Auflistungen.

  Tipps

  Die Listen werden von oben nach unten immer genauer.

  Lösung

  Daten umgeben uns überall in unserem Leben. Um sie überblicken zu können, können sie in verschiedenen Auflistungen festgehalten werden.

  Die verschiedenen Formen der Auflistung haben hierbei folgende Eigenschaften:

  • Anfangs werden die Daten unsortiert in einer Urliste festgehalten.
  • Eine Rangliste führt die erfassten Daten in einer bestimmten Reihenfolge sortiert auf.
  • Mithilfe der Strichliste kann anschließend in Strichen angegeben werden, wie oft die einzelnen Möglichkeiten vorkommen.
  • Die Häufigkeitstabelle gibt durch Zahlen am eindeutigsten an, wie oft die einzelnen Möglichkeiten vorkommen.

• Vervollständige die Auflistung.

  Tipps

  In der Rangliste werden die Daten der Urliste sortiert aufgeführt: Überprüfe, welche Zahlen in der Aufgabe fehlen.

  Die Strichliste gibt an, wie häufig die einzelnen Daten vorkommen. Zähle hierfür, wie oft beispielsweise die Null aufgeführt wird, und setze die entsprechende Anzahl an Strichen ein.

  Lösung

  In dieser Aufgabe sollen aus den Angaben einer Urliste:

  • die Rangliste,
  • die Strichliste sowie
  • die Häufigkeitstabelle ergänzt werden.

  Hierfür schauen wir uns die Daten der Urliste genau an: Um die Rangliste zu vervollständigen, sortieren wir die Zahlen der Urliste der Größe nach. Es entsteht folgende Rangliste:

  $0; 0; 0; 0; 1; 1; 2; 3; 4; 7$

  Innerhalb der Strichliste werden alle Möglichkeiten erfasst. Da unsere Daten die Zahlen von $0$ bis $7$ enthalten, könnten theoretisch auch die $5$ und $6$ vorkommen. Obwohl das in unserer Datenmenge nicht der Fall ist, werden beide Zahlen in dem Tabellenkopf aufgeführt. Anschließend zählen wir mit Strichen, wie oft die jeweilige Zahl in unserer Datenmenge vorkommt:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \text{Daten} & 0& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline \text{Anzahl}&|||| & || & | & | & | & & & |\\ \end{array}$

  Die Häufigkeitstabelle erfasst die Anzahl der einzelnen Daten nicht als Strich, sondern als Zahl:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|} \text{Daten} & 0& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline \text{Anzahl} & 4 & 2 & 1 & 1 & 1 &0 & 0& 1\\ \end{array}$

• Setze die Auflistungen in Beziehung zueinander.

  Tipps

  Ordne die Schuhgrößen von klein nach groß, um eine Rangliste zu erstellen. Es gilt:

  $39<40$

  Zähle, wie oft die verschiedenen Schuhgrößen vorkommen.

  Lösung

  In dieser Aufgabe listen wir die jeweilige bestehende Auflistung einer Urliste zu. Hierfür ist es notwendig, sich die Daten in den Urlisten genau anzuschauen und mit den bestehenden Ranglisten, Strichlisten bzw. Häufigkeitstabellen zu vergleichen.

  Um die Rangliste zu erstellen, ordnen wir in den beiden Listen zuerst der Schuhgröße nach von klein nach groß. Gleiche Zahlen stehen dabei jeweils nebeneinander. Dann können wir die Anzahl der einzelnen Größen durch Nachzählung ermitteln.

  Aus den Urlisten können folgende Auflistungen erstellt werden:

  1. Beziehung

  $\begin{array}{lc} \text{Urliste:} \qquad & 42; 40; 42; 41; 42; 40; 42; 38 \\ \\ \text{Rangliste:} & 38; 40; 40; 41; 42; 42; 42; 42 \end{array}$

  
  

  2. Beziehung

  $\begin{array}{lc} \text{Urliste:} & 42; 39; 40; 42; 42; 41; 39; 38 \\ \\ \text{Rangliste:} & 38; 39; 39; 40; 41; 42; 42; 42\\ \\ \text{Häufigkeitstabelle:} \end{array}$
  $\quad \begin{array}{c|c|c|c|c|c|} \text{Daten} & 38& 39 & 40 & 41 & 42 \\ \hline \text{Anzahl}&1 & 2 & 1 & 1 & 3 \\ \end {array}$

  
  

  3. Beziehung

  $\begin{array}{lc} \text{Urliste:} \quad & 39; 40; 40; 41; 39; 42; 38; 42 \\ \\ \text{Rangliste:} & 38; 39; 39; 40; 40; 41; 42; 42 \\ \\ \text{Strichliste:} \end{array}$
  $\quad \begin{array}{c|c|c|c|c|c|} \text{Daten} & 38& 39 & 40 & 41 & 42 \\ \hline \text{Anzahl}&| & || & || & | & || \\ \end {array}$

  
  

  4. Beziehung

  $\begin{array}{lc} \text{Urliste:} \quad & 40; 41; 40; 39; 41; 39; 42; 38 \\ \\ \text{Rangliste:} & 38; 39; 39; 40; 40; 41; 41; 42 \\ \\ \text{Strichliste:} \end{array}$
  $\quad \begin{array}{c|c|c|c|c|c|} \text{Daten} & 38& 39 & 40 & 41 & 42 \\ \hline \text{Anzahl}&| & || & || & || &| \\ \end{array}$

  
  

  5. Beziehung

  $\begin{array}{lc} \text{Urliste:} & 40; 41; 40; 42; 41; 42; 38; 40 \\ \\ \text{Rangliste:} & 38; 40; 40; 40; 41; 41; 42; 42 \\ \\ \text{Häufigkeitstabelle:} \end{array}$
  $\quad \begin{array}{c|c|c|c|c|c|} \text{Daten} & 38& 39 & 40 & 41 & 42 \\ \hline \text{Anzahl}&1 & 0 & 3 & 2 & 2 \\ \end {array}$

• Erstelle die Häufigkeitstabelle.

  Tipps

  Sortiere die Daten in einer Rangliste. Beachte dabei, mit Montag (M) zu beginnen.

  Überprüfe, welche Daten vorkommen können und schreibe sie in die Spalte „Daten“.

  Wenn beispielsweise bei der Auswahl nur die Tage Mittwoch (Mi), Dienstag (Di), Sonntag (So) und Donnerstag (Do) möglich wären, dann würde das so aussehen:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Daten:} & \text {Mi} & \text {Di} & \text {Do} & \text {So}\\ \end{array}$

  Überlege, an welchem Tag die meisten Kinder beim Bowlen dabei sein können, um zu bestimmen, welchen Tag die Gruppe wählt.

  Lösung

  In dieser Aufgabe solltest du selbstständig eine Häufigkeitstabelle erstellen. Hierfür bietet es sich an, die Daten der Urliste zuerst zu sortieren. Das sind die Daten der Urliste:

  S; M; F; F; S; M; S; S; F; M; S; M; S; F; M; S; F; M; S; M; F; S; F; S; F; F

  Aus unserer Urliste entsteht durch die Sortierung folgende Rangliste:

  M; M; M; M; M; M; M; F; F; F; F; F; F; F; F; F; S; S; S; S; S; S; S; S; S; S

  Mithilfe dieser Rangliste können wir leicht zählen, welcher Tag wie häufig angegeben wurde.

  Unsere Häufigkeitstabelle wird außerdem durch alle möglichen Daten ergänzt. In diesem Fall standen Montag (M), Donnerstag (D), Freitag (F) und Samstag (S) zur Auswahl.

  Es wird zuerst deutlich gemacht, welche Möglichkeiten vorhanden waren und anschließend aufgezeigt, wie oft jede dieser Möglichkeiten gewählt wurde:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Daten} & \text {M} & \text {D} & \text {F} & \text {S}\\ \hline \text{Anzahl} & 7 & 0 & 9 & 10\\ \end{array}$

  Die höchste Zahl in dieser Auflistung gibt an, welcher Tag am häufigsten gewählt wurde.
  Der Samstag wurde zehnmal und darum am häufigsten angegeben.
  Es bietet sich für die Gruppe an, am Samstag zum Bowlen zu gehen, weil an diesem Tag die meisten Kinder dabei sein können.

• Benenne die Auflistungen.

  Tipps

  In der Urliste werden alle Daten unsortiert erfasst.

  In einer Rangliste werden alle Werte in einer bestimmten Reihenfolge sortiert.

  Lösung

  In dieser Aufgabe geht es darum, die Möglichkeiten der Datenerfassung zu bezeichnen. Die Listen werden in unserem Bild von oben nach unten immer genauer:

  • Die Urliste führt alle Daten ungeordnet auf.
  • Mithilfe der Rangliste werden die Daten sortiert.
  • Um noch genauer zu bestimmen, wie oft welche Daten vorkommen, wird die Häufigkeit der einzelnen Möglichkeiten mit Strichen in einer Strichliste festgehalten.
  • In der Häufigkeitstabelle wird die Häufigkeit der Möglichkeiten durch Zahlen wiedergegeben. Das macht sie übersichtlicher als die Strichliste.

  In der Abbildung siehst du die korrekte Zuordnung.

• Analysiere das Diagramm.

  Tipps

  Vier Aussagen sind wahr.

  Die Zahlen unter dem Diagramm geben die Wochen wieder.

  Die $1$ steht für die erste Woche.

  Du erkennst an der linken Seite bzw. senkrechten Achse, wie viel Gewinn in der jeweiligen Woche gemacht wurde. Betrachte hierfür, auf welcher Höhe der Balken über der Woche endet.

  Den Gewinn können wir wie eine Auswahl der jeweiligen Woche in einer Häufigkeitstabelle erfassen.

  Wenn in der ersten Woche beispielsweise $60$ Dollar und in der zweiten Woche $100$ Dollar Gewinn gemacht worden wären, würde die Tabelle folgendermaßen aussehen:

  $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Daten} & \text{Woche} & 1 & 2 \\ \hline \text{Anzahl}& \text{Gewinn} &60 & 100\\ \end{array}$

  Lösung

  In dieser Aufgabe soll von einem Diagramm auf die Häufigkeitstabelle und die Eigenschaften der Daten geschlossen werden. Hierfür muss der Gewinn in einen Zusammenhang mit der jeweiligen Woche gebracht werden.

  Aus dem Diagramm können wir ablesen, dass in der ersten Woche $20$, in der zweiten Woche $30$, in der dritten Woche $60$, in der vierten Woche $70$ und in der fünften Woche $110$ Dollar Gewinn gemacht wurden.

  Der Gewinn steigert sich demnach über die Wochen:

  $20 < 30 < 60 < 70 < 110$

  In einer Häufigkeitstabelle können wir diese Entwicklung folgendermaßen festhalten:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \text{Daten} & \text{Woche} & 1 & 2 & 3& 4 & 5 \\ \hline \text{Anzahl}& \text{Gewinn} &20 & 30 & 60 & 70 & 110\\ \end{array}$

  In Bezug zu unseren Aussagen ergibt sich:

  1. Der geringste Gewinn wurde in der zweiten Woche gemacht.

  Diese Aussage ist falsch, da in Woche $1$ weniger Gewinn als in Woche $2$ gemacht wurde.

  2. Die passende Häufigkeitstabelle ist:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Woche} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Gewinn} &20 & \color{#99CC00}{40} & 60 & 70 & 110\\ \end{array}$

  Diese Aussage ist falsch, weil in der zweiten Woche $\color{#99CC00}{30}$ Dollar Gewinn gemacht wurden.

  3. Die passende Häufigkeitstabelle ist:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Woche} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Gewinn} &20 & 30 & 60 & 70 & 110\\ \end{array}$

  Diese Aussage ist wahr, da der jeweilige Gewinn hier den Wochen richtig zugeordnet wurde.

  4. Der höchste Gewinn wurde in der fünften Woche gemacht.

  Diese Aussage ist wahr. Denn mit $110$ Dollar wurde in der fünften Woche das meiste Geld verdient.

  5. In der vierten Woche hat das Bowlingcenter $70$ Dollar Gewinn gemacht.

  Diese Aussage ist wahr: Betrachten wir die vierte Woche im Diagramm, können wir sehen, dass der Balken genau bis zur $70$ reicht. Das Bowlingcenter hat demnach $70$ Dollar Gewinn in dieser Woche gemacht.

  6. In der vierten Woche wurde dreimal so viel Gewinn gemacht wie in der zweiten Woche.

  Diese Aussage ist falsch. In der zweiten Woche wurden nämlich $30$ Dollar und der vierten Woche $70$ Dollar Gewinn gemacht. Es gilt:

  $30\cdot3 = 90 \neq 70$

  7. In der dritten Woche wurde dreimal so viel Gewinn gemacht wie in der ersten Woche.

  Diese Aussage ist wahr. Denn in der ersten Woche wurden $20$ Dollar und der dritten Woche $60$ Dollar Gewinn gemacht. Es gilt:

  $20\cdot3=60$