Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit – Einführung

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit – Einführung Übung

• Definiere die erste und zweite Pfadregel sowie die Gegenwahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Hier abgebildet ist ein Baumdiagramm mit den Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Elementarereignisse. Diese resultieren aus der 1. Pfadregel.

  Die Wahrscheinlichkeit, eine grüne Kugel zu ziehen, entspricht $\frac 35$. Die Wahrscheinlichkeit, eine orange Kugel zu ziehen, entspricht $\frac 25$.

  Diese ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu $\frac 35$.

  Lösung

  Wenn wir einen Zettel aus der Urne ziehen, kann dieser entweder von einem Schüler bzw. einer Schülerin ($S$) oder von einem Lehrer bzw. einer Lehrerin ($\overline S$) ausgefüllt worden sein. Zudem wählt jede Person das Museum $(M$) oder Lasertag ($\overline M$).

  Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gezogener Zettel für das Museum ist, entspricht den beiden hier abgebildeten Pfaden.

  Betrachten wir nun beide Pfade getrennt voneinander: Zunächst möchten wir wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass der Zettel von einem Schüler bzw. einer Schülerin und für das Museum ist.

  Wir suchen also die Wahrscheinlichkeit für das Elementarereignis $P(S\cap M)$. Diese resultiert aus der 1. Pfadregel, nämlich aus der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades:

  $P(S)\cdot P(M\vert S)$

  Die Wahrscheinlichkeit $P(M\vert S)$ wird als bedingte Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Sie entspricht der Wahrscheinlichkeit von $M$ unter der Voraussetzung, dass $S$ eingetreten ist.

  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der gezogene Zettel von einem Lehrer bzw. einer Lehrerin stammt und für das Museum stimmt, erhalten wir ebenfalls mit der 1. Pfadregel. Es gilt $P(\overline S)\cdot P(M\vert \overline S)$.

  Hierbei ist $\overline S$ das Gegenereignis zu dem Ereignis $S$ und steht für den Lehrer bzw. die Lehrerin. Die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses wird Gegenwahrscheinlichkeit genannt und wie folgt berechnet:

  $P(\overline S)=1-P(S)$

  Jetzt können wir unter Verwendung der 2. Pfadregel die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass der gezogene Zettel für das Museum stimmt. Dazu addieren wir die beiden Wahrscheinlichkeiten, die wir aus der 1. Pfadregel erhalten haben. Es folgt dann der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit für zwei Ereignisse:

  $P(M)=P(S)\cdot P(M\vert S)+P(\overline S)\cdot P(M\vert \overline S)$

• Bestimme die Wahrscheinlichkeiten $P(M)$ und $P(\overline M)$.

  Tipps

  Die Gegenwahrscheinlichkeit der Wahrscheinlichkeit $P(S)$ kannst du wie folgt bestimmen:

  $P(\overline S)=1-P(S)$

  Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit lautet:

  $ \begin{array}{llccc} P(M) &=& P(S\cap M) &+& P(\overline S\cap M)\\ &=& P(S)\cdot P(M\vert S) &+& P(\overline S)\cdot P(M\vert \overline S) \end{array} $

  Lösung

  Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten $P(M)$ und $P(\overline M)$ verwenden wir den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit:

  $ \begin{array}{lll} P(M) &=& P(S\cap M) + P(\overline S\cap M) \\ P(\overline M) &=& P(S\cap \overline M) + P(\overline S\cap \overline M) \end{array} $

  Dieser resultiert aus der zweiten Pfadregel. Die hier enthaltenen Summanden erhalten wir aus der ersten Pfadregel. Es folgt dann:

  $ \begin{array}{lll} P(M) &=& P(S)\cdot P(M\vert S) &+& P(\overline S)\cdot P(M\vert \overline S) \\ P(\overline M) &=& P(S)\cdot P(\overline M\vert S) &+& P(\overline S)\cdot P(\overline M\vert \overline S) \end{array} $

  Jedoch fehlen uns für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten $P(M)$ und $P(\overline M)$ noch Wahrscheinlichkeiten an einigen Pfaden. Diese erhalten wir über die jeweiligen Gegenwahrscheinlichkeiten:

  $ \begin{array}{lllll} P(\overline S) &=& 1-P(S) &=& 1-0,97 &=& 0,03\\ P(M\vert S) &=& 1-P(\overline M\vert S) &=& 1-0,7 &=& 0,3\\ P(\overline M\vert\overline S) &=& 1-P(M\vert\overline S) &=& 1-0,56 &=& 0,44 \end{array} $

  Jetzt können wir die Summanden für den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit bestimmen:

  $ \begin{array}{lllllll} P(S\cap M) &=& P(S)\cdot P(M\vert S) &=& 0,97\cdot 0,3 &=& 0,291\\ P(S\cap \overline M) &=& P(S)\cdot P(\overline M\vert S) &=& 0,97\cdot 0,7 &=& 0,679\\ P(\overline S\cap M) &=& P(\overline S)\cdot P(M\vert \overline S) &=& 0,03\cdot 0,56 &\approx & 0,017\\ P(\overline S\cap \overline M) &=& P(\overline S)\cdot P(\overline M\vert \overline S) &=& 0,03\cdot 0,44 &\approx & 0,013 \end{array} $

  Nun können wir die Wahrscheinlichkeiten $P(M)$ und $P(\overline M)$ berechnen:

  $ \begin{array}{lll} P(M) &=& P(S\cap M) + P(\overline S\cap M) &=& 0,291+0,017 &=& 0,308\\ P(\overline M) &=& P(S\cap \overline M) + P(\overline S\cap \overline M) &=& 0,679+0,013 &=& 0,692 \end{array} $

• Ermittle die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  1. Pfadregel

  Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses resultiert aus der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades.

  Demnach gilt zum Beispiel $P(b,b)=\frac 58 \cdot \frac 47$.

  2. Pfadregel

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses resultiert aus der Addition der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, welche zu diesem Ereignis führen.

  Demnach gilt zum Beispiel $P(\{b,b\},\{b,r\})=P(\{b,b\})+P(\{b,r\})$.

  Lösung

  Zunächst überlegen wir, wie sich die gegebenen Ereignisse zusammensetzen:

  $ \begin{array}{llllll} \\ A: & \text{Mindestens eine rote Kugel wird gezogen.} && \rightarrow && A=\{\{b,r\},\{r,b\},\{r,r\}\} \\ B: & \text{Mindestens eine blaue Kugel wird gezogen.} && \rightarrow && B=\{\{b,b\},\{b,r\},\{r,b\}\} \\ C: & \text{Es wird keine rote Kugel gezogen.} && \rightarrow && C=\{b,b\} \\ D: & \text{Es wird genau eine blaue Kugel gezogen.} && \rightarrow && D=\{\{b,r\},\{r,b\}\} \\ \\ \end{array} $

  Nun können wir unter Verwendung der ersten Pfadregel alle Elementarereignisse berechnen. Wir erhalten dann:

  $ \begin{array}{llll} P(\{b,b\}) & \frac 58\cdot\frac 47 &=& \frac 5{14} \\ P(\{b,r\}) & \frac 58\cdot\frac 37 &=& \frac {15}{56} \\ P(\{r,b\}) & \frac 38\cdot\frac 57 &=& \frac {15}{56} \\ P(\{r,r\}) & \frac 38\cdot\frac 27 &=& \frac 3{28} \end{array} $

  Jetzt können wir die Wahrscheinlichkeiten der gegebenen Ereignisse bestimmen. Hierzu wenden wir die zweite Pfadregel an:

  $ \begin{array}{llllll} P(A) &=& P(\{b,r\},\{r,b\},\{r,r\}) &=& \frac {15}{56}+ \frac {15}{56}+\frac 3{28} &=& \frac 9{14} \\ P(B) &=& P(\{b,b\},\{b,r\},\{r,b\}) &=& \frac 5{14}+ \frac {15}{56}+ \frac {15}{56} &=& \frac{25}{28} \\ P(C) &=& P(\{b,b\}) &=& \frac 5{14} && \\ P(D) &=& P(\{b,r\},\{r,b\}) &=& \frac {15}{56}+ \frac {15}{56} &=& \frac {15}{28} \end{array} $

• Bestimme die totale Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Erstelle dir ein Baumdiagramm und beschrifte die Pfade mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. Verwende hierzu Dezimalzahlen, sodass du ohne Prozentzeichen rechnen kannst.

  Es gilt zum Beispiel $15~\%=\frac {15}{100}=0,15$.

  Beachte, dass du das Ergebnis dann wieder in Prozent umrechnen musst.

  $\overline A$ ist das Gegenereignis zu $A$. Die Gegenwahrscheinlichkeit erhältst du über $P(\overline A)=1-P(A)$.

  Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit für zwei Ereignisse $A$ und $B$ lautet allgemein:

  $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B)$

  Laut der 1. Pfadregel gilt:

  $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A)$

  Lösung

  Diese Angaben sind uns bekannt:

  • Gruppe $C$ entspricht $65$ Prozent der Gesamtschüler*innen.
  • Gruppe $C$ stimmt mit $55$ Prozent für Lena.
  • Gruppe $\overline C$ stimmt mit $70$ Prozent für Lena.

  Sie liefern uns folgende Wahrscheinlichkeiten:

  • $P(C)=0,65$
  • $P(L\vert C)=0,55$
  • $P(L\vert \overline C)=0,7$

  Die fehlenden Wahrscheinlichkeiten erhalten wir über die jeweilige Gegenwahrscheinlichkeit:

  • $P(\overline C)=1-0,65=0,35$
  • $P(\overline L\vert C)=1-0,55=0,45$
  • $P(\overline L\vert \overline C)=1-0,7=0,3$

  Das zutreffende Baumdiagramm ist hier abgebildet. Nun können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(L)$ berechnen:

  $P(L)=P(C\cap L)+P(\overline C\cap L)=0,65\cdot 0,55+0,35\cdot 0,7=0,6025=60,25\%$

• Ergänze das gegebene Baumdiagramm.

  Tipps

  Die fehlenden Wahrscheinlichkeiten entsprechen den Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Gegenereignisse.

  Die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses ist die sogenannte Gegenwahrscheinlichkeit. Sie wird wie folgt bestimmt:

  $P(\overline S)=1-P(S)$

  Die Gegenwahrscheinlichkeit zu $P(M\vert S)$ ist $P(\overline M\vert S)$.

  Lösung

  Hier dargestellt ist das vollständige Baumdiagramm. Die fehlenden Wahrscheinlichkeiten entsprechen den Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Gegenereignisse.

  Die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses ist die sogenannte Gegenwahrscheinlichkeit. Wir erhalten diese wie folgt:

  $ \begin{array}{lllll} P(\overline S) &=& 1-P(S) &=& 1-0,97 &=& 0,03\\ P(M\vert S) &=& 1-P(\overline M\vert S) &=& 1-0,7 &=& 0,3\\ P(\overline M\vert\overline S) &=& 1-P(M\vert\overline S) &=& 1-0,56 &=& 0,44 \end{array} $

• Ermittle die bedingte Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Die 1. Pfadregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses aus der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades resultiert.

  Beachte, dass die Wahrscheinlichkeiten nicht in Prozent gefragt sind.

  Lösung

  Folgende Angaben sind uns bekannt:

  • An Station $A$ haben sich $25$ Prozent der Schüler*innen versammelt.
  • Mit einer Wahrscheinlichkeit von $11,25$ Prozent ist ein Schüler bzw. eine Schülerin an Station $A$ UND nimmt den Doppeldecker $D$.

  Demnach kennen wir also folgende Größen:

  • $P(A)= 0,25$
  • $P(A\cap D)= 0,1125$

  Durch Umstellen der 1. Pfadregel erhalten wir eine Formel für die Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit:

  $ \begin{array}{lllll} P(A\cap D) &=& P(A)\cdot P(D\vert A) && \vert :P(A) \\ \frac{P(A\cap D)}{P(A)} &=& P(D\vert A) && \end{array} $

  Wir setzen ein und es folgt die Lösung:

  $P(D\vert A)=\frac{0,1125}{0,25}=0,45$