Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Was ist eine Zufallsvariable?

Als Zufallsvariable, oder auch Zufallsgröße, beschreibt man die Zuordnung der Ergebnisse eines Zufallsexperimentes.

Das Werfen eines Würfels ist zum Beispiel ein Zufallsexperiment. Die Zufallsvariable $X$ ist dann die Augenzahl des Würfels. Die Zufallsvariable steht für alle möglichen Ergebnisse, also für alle Augenzahlen:

$X = \{ 1;2;3;4;5;6 \}$.

Wird der Würfel nun geworfen, spricht man von der Realisierung der Zufallsvariablen. Die Realisierung würde man dann zum Beispiel so schreiben:

$x=6$.

Man unterscheidet zwischen Zufallsvariablen stetiger und diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die Zufallsvariable des Würfelwurfs ist diskret, denn es können nur die einzelnen Augenzahlen gewürfelt werden, aber nichts dazwischen. Wählt man aber zum Beispiel zufällig Schüler aus einer Klasse aus und misst ihre Größe, kann die Größe, in einem bestimmten Intervall, alle möglichen Werte annehmen. Die Größe der Schüler besitzt eine stetige Verteilung.

Lage- und Streuungsparameter von Zufallsvariablen

Der Würfelwurf ist ein einfaches Beispiel, denn seine Ergebnismenge ist sehr klein. Bei größeren Ergebnismengen ist es nützlich, sie mit bestimmten Parametern zu beschreiben.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist ein Lageparameter. Er beschreibt die wahrscheinlichste Realisierung einer Zufallsvariablen. Führt man das Experiment unendlichmal durch, entspricht der Erwartungswert dem Mittelwert der Ergebnisse.

Varianz und Standardabweichung

Standardabweichung und Varianz sind Streuungsparameter. Sie geben an, wie weit die Ausprägungen der Zufallsvariable vom Lageparameter abweichen (streuen).

Übrigens: Zieht man die Wurzel aus der Varianz, erhält man die Standardabweichung, welche quadriert die Varianz ergibt. Praktisch, oder?

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Abbildung von der Ergebnismenge $\Omega$ eines Zufallsexperiments auf das Intervall $[0;1]$. Diese Abbildung ordnet den Ergebnissen also Wahrscheinlichkeiten zu und muss bestimmte Bedingungen erfüllen. Im Folgenden schauen wir uns einige wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen an.

• Häufig wird dir die Binomialverteilung begegnen. Diese ordnet der Anzahl der Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ die entsprechende Wahrscheinlichkeit zu. Eine Bernoulli-Kette ist eine Kette aus Wiederholungen von Bernoulli-Zufallsexperimenten, welche sich dadurch auszeichnen, dass sie nur zwei Ergebnisse haben, entweder Treffer oder kein Treffer. Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

• Eine bekannte, stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Normalverteilung. Der Graph dieser Funktion wird häufig mit dem Namen Glockenkurve versehen.

• Die Gleichverteilung. Alle Ausprägungen der Zufallsvariable $X$ treten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. Im Falle einer diskreten Gleichverteilung liegt ein Laplace-Experiment zu Grunde, wie zum Beispiel das Werfen eines Würfels.

• Die hypergeometrische Verteilung. Diese kennst du vielleicht auch unter den Namen Lottomodell oder Fächermodell.

Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichtefunktion und Verteilungsfunktion

Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet jedem Wert, den eine Zufallsgröße annehmen kann, die zugehörige Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieses Wertes zu.

Eine Verteilungsfunktion gibt eine linksseitige Intervallwahrscheinlichkeit an, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße höchstens einen gegebenen Wert annimmt. Sie ist die Stammfunktion der Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Eine Dichtefunktion entspricht einer Wahrscheinlichkeitsfunktion im Falle einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung.