Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge – Einführung

Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge – Einführung Übung

• Bestimme die Anzahl möglicher Kombinationen.

  Tipps

  Setze in die folgende Formel die Werte für $n$ und $k$ ein und kürze den entstehenden Bruch:

  $\displaystyle \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}$

  Nach dem Kürzen steht im Nenner nur noch $k!$.

  Um den Wert von

  $\displaystyle \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}$

  zu berechnen:

  • multipliziert du die ersten $k$-Faktoren aus $(n+k-1)!$, beginnend mit der größten Zahl, und
  • dividierst durch $k!$.

  Lösung

  Wir gehen die Rechnung durch:

  Die Hexenschülerin wählt $k=3$ Zutaten aus ihrem Regal aus. Das Zutatenregal enthält $n=7$ verschiedene Zutaten.

  Da jede Zutat mehrmals verwendet werden darf, handelt es sich um Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Die Formel für die Anzahl der Möglichkeiten lautet:

  $\displaystyle \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}$

  Setzen wir $n=7$ und $k=3$ ein, so erhalten wir:

  $\displaystyle \binom{7+3-1}{3} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$

• Bestimme die Anzahl verschiedener Zaubertränke.

  Tipps

  Ziehen wir $k$ aus $n$ Kugeln mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne, lautet die entsprechende Formel:

  $\displaystyle \binom{n+k-1}{k}$

  Setze in die Formel an die Stelle von $k$ die Anzahl der ausgewählten Zutaten und an die Stelle von $n$ die Anzahl der möglichen Zutaten ein.

  Lösung

  Wir gehen die Rechnung durch:

  Die Hexenschülerin wählt $k=4$ Zutaten aus ihrem Regal aus. Das Zutatenregal enthält $n=7$ verschiedene Zutaten.

  Da jede Zutat mehrmals verwendet werden darf, handelt es sich um Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Die Formel für die Anzahl der Möglichkeiten lautet:

  $\displaystyle \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}$

  Setzen wir $n=7$ und $k=4$ ein, so erhalten wir:

  $\displaystyle \binom{7+4-1}{4} =\frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 220$

• Wende die Formel für die Anzahl möglicher Kombinationen an.

  Tipps

  Bestimme für die angegebenen Werte von $n$ und $k$ den Wert von $n+k-1$ und setze in die Formel ein.

  Um den Wert von

  $\displaystyle \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}$

  zu berechnen:

  • multipliziert du die ersten $k$-Faktoren aus $(n+k-1)!$, beginnend mit der größten Zahl, und
  • dividierst durch $k!$.

  Für $n=8$ und $k=2$ lautet die Anzahl der Möglichkeiten:

  $\displaystyle \binom{8+2-1}{2} = \binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$

  Lösung

  Um die korrekten Zuordnungen zu finden, wenden wir die Formel $\binom{n+k-1}{k}$ an, setzen die angegebenen Werte für $n$ und $k$ ein und erhalten den gesuchten Wert für die Anzahl der Möglichkeiten:

  • Für $n=7$ und $k=4$ ist

  $\displaystyle\binom{n+k-1}{k} = \binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$.

  • Für $n=8$ und $k=3$ ist

  $\displaystyle \binom{n+k-1}{k} = \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$.

  • Für $n=8$ und $k=4$ ist

  $\displaystyle \binom{n+k-1}{k} = \binom{11}{4} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 330$.

  • Für $n=8$ und $k=5$ ist

  $\displaystyle \binom{n+k-1}{k} = \binom{12}{5} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792$.

  • Für $n=7$ und $k=5$ ist

  $\displaystyle \binom{n+k-1}{k} = \binom{11}{5} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 462$.

• Erschließe die Anzahl der Möglichkeiten.

  Tipps

  Bestimme aus dem Text die Werte für $n$ und $k$.

  Setze die Werte in die Formel $\displaystyle \binom{n+k-1}{k}$ ein und rechne das Ergebnis aus.

  Für $3$ Ringe, verteilt auf $5$ Finger, lautet die Rechnung:

  $\displaystyle \binom{5+3-1}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

  Lösung

  Die $5$ Ratten verkriechen sich in $9$ Schlupflöchern. Jedes Schlupfloch hat Platz für bis zu fünf Ratten. Die Auswahl eines Schlupfloches aus $n=9$ möglichen Löchern für jede der $k=5$ Ratten entspricht daher dem Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Wir setzen $n=9$ und $k=5$ in die Formel ein und erhalten $1\,287$ verschiedene mögliche Belegungen.

  Einmal Würfeln mit drei Würfeln, die jeweils elf Seiten haben, entspricht der Auswahl von $k=3$ Ziffern aus $n=11$ möglichen. Da die Würfel unabhängig voneinander sind, kann jede Ziffer mehrmals vorkommen. Und da sie gleichzeitig geworfen werden, gibt es keine Reihenfolge zu beachten. Es handelt sich also wieder um Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, diesmal mit $n=11$ und $k=3$. Einsetzen in die Formel ergibt $286$ verschiedene Zahlenkombinationen.

  Die Hexenschülerin verteilt fünf Ringe auf zehn Finger, also inklusive Daumen. An jedem Finger haben beliebig viele Ringe Platz und die Reihenfolge der Ringe ist unerheblich. Die Auswahl der Finger für jeden Ring entspricht demnach auch hier dem Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Diesmal ist $n=10$ und $k=5$. Aus der Formel erhalten wir $2\,002$ verschiedene Kombinationsmöglichkeiten.

• Berechne die Anzahl der Zaubertränke.

  Tipps

  Bestimme den Wert von $n+k-1$.

  Setze in die Formel

  $\displaystyle \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}$

  die Werte für $n$ und $k$ ein und kürze.

  Im Nenner steht nach dem Kürzen nur noch $k!$.

  Lösung

  Der Aufgabe, aus $7$ Zutaten aus dem Regal jeweils $3$ für einen Zaubertrank auszuwählen, entspricht im Urnenmodell das Ziehen von $k=3$ Kugeln aus $n=7$ Kugeln in der Urne. Jede Zutat kann mehrmals gewählt werden und die Reihenfolge der Zutaten im Zaubertrank ist egal. Das entspricht im Urnenmodell dem Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Die Formel für die Anzahl der Möglichkeiten lautet:

  $\displaystyle \binom{n+k-1}{k}$

  Wir setzen die Zahlen $n=7$ und $k=3$ ein und erhalten:

  $\displaystyle \binom{n+k-1}{k} = \binom{7+3-1}{3}= \binom{9}{3} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$

• Analysiere, welche Situationen korrekt durch die Formel beschrieben werden.

  Tipps

  Übersetze das Spinnen-Szenario in das Urnenmodell.

  Dem Ziehen aus der Urne entspricht beim Hexentresor das Einstellen der Ziffer auf einem Ring.

  Bestimme für das Socken-Szenario den Wert von $k$ und überlege, ob es möglich ist, $k$-mal dieselbe Sockenart zu ziehen.

  Lösung

  Wir analysieren die einzelnen Szenarien:

  Falsch ist die Beschreibung der folgenden drei Szenarien im Urnenmodell durch Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge:

  • $7$ Spinnen verteilen sich auf $11$ Löcher. Im Urnenmodell entsprechen die Löcher den Kugeln in der Urne. Dem Ziehen entspricht die Auswahl der Löcher. Jedes Loch reicht gerade für eine Spinne und wenn es einmal belegt ist, kann es nicht mehr gewählt werden. Alle Schlupflöcher sind gleich gut, die Reihenfolge der Belegung spielt daher keine Rolle. Es handelt sich also um Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge mit $n=11$ und $k=7$.

  • Die Zaubersprüche bestehen aus einer zufälligen Aneinanderreihung von Buchstaben. Im Urnenmodell entsprechen die $26$ Buchstaben den Kugeln in der Urne. Dem Ziehen der Kugeln entspricht das Schreiben der Buchstaben in das Zauberbuch. Die Buchstaben werden hintereinander geschrieben, also ist die Reihenfolge relevant. Das Alphabet wird aber nie leer, jeder Buchstabe kann immer wieder geschrieben werden. Es handelt sich demnach um Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge mit $n=26$ und $k=11$.

  • Das Schloss des Hexentresors besteht aus $7$ Ringen mit jeweils $11$ Ziffern. Im Urnenmodell entsprechen die Ziffern den Kugeln in der Urne. Dem Ziehen der Kugeln entspricht das Einstellen der Ziffer auf den Ringen. Die Ringe sind unabhängig voneinander, daher kann jede Ziffer immer wieder vorkommen. Die Reihenfolge ist entscheidend, denn die Ringe sind verschieden und haben eine feste Position. Es handelt sich also um Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge mit $n=11$ und $k=7$.

  Richtig ist die Beschreibung der übrigen beiden Szenarien im Urnenmodell durch Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge:

  • Die Auswahl der Zutaten zu dem Hexentee entspricht genau der Wahl für die Zaubertränke bzw. dem Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Die Hexenschülerin wählt $k=2$ Zutaten aus $n=5$ möglichen Zutaten.

  • Aus ihrem Sockensammelsurium zieht die Hexenschülerin zufällig $2$ Socken. Da jedes der $11$ Paare vollständig ist, kann sie jede Sockenart zweimal ziehen. Welche der beiden Socken sie an dem linken Fuß trägt und welche an dem rechten, ist unerheblich. Im Urnenmodell entspricht den Kugeln in der Urne die Sockenart, dem Ziehen der Kugeln aus der Urne entspricht das Hervorziehen der Socken unter dem Bett. Da jede Sockenart zweimal gezogen werden kann und die Verteilung der Socken auf die Füße egal ist, handelt es sich um Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge mit $n=11$ und $k=2$. (Zum Glück hat die Hexenschülerin nicht mehr als zwei Füße, sonst würde das Urnenmodell nicht passen).