Kombinationen – Ziehen ohne Reihenfolge

Kombinationen – Ziehen ohne Reihenfolge Übung

• Gib die Formeln zur Berechnung der Kombinationen an.

  Tipps

  Beispiel:

  Beim Würfeln mit drei Würfeln gibt es: $\displaystyle \binom{6+3-1}{3} = \binom{8}{3} = 56$
  Möglichkeiten.

  Lösung

  Eine Kombination erhalten wir, wenn wir eine Auswahl aus einer Menge treffen und dabei die Reihenfolge der Elemente nicht berücksichtigen.

  Das bedeutet, dass wir zum Beispiel beim Würfeln zwischen den Möglichkeiten '$1~3~5$' und '$3~5~1$' nicht unterscheiden.
  Wir können uns auch vorstellen, dass wir gleichzeitig mit allen Würfeln würfeln oder alle Elemente "mit einem Griff" auswählen.

  Um die Anzahl der Kombinationen zu berechnen, müssen wir entscheiden, ob sich Elemente wiederholen können oder nicht.

  Wenn $k$ Elemente aus einer Menge mit $n$ Elementen ausgewählt werden, gibt es für die Anzahl der möglichen Kombinationen die folgenden Formeln:

  • Mit Wiederholung: $\displaystyle \binom{n + k - 1}{k}$

  Zum Beispiel mehrfaches Würfeln, dabei enthält der Würfel bei jedem Wurf erneut alle Zahlen.

  • Ohne Wiederholung: $\displaystyle \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!} =$ $\displaystyle \binom{n}{k}$

  Zum Beispiel Ziehen von Karten aus einem Deck, dabei kann jede Karte nur einmal gezogen werden.

• Bestimme die Werte von $n$ und $k$.

  Tipps

  Die Variable $n$ steht für die Anzahl der Elemente, aus denen wir auswählen können.

  Die Variable $k$ gibt an, aus wie vielen Elementen die Auswahl besteht.

  Lösung

  Bei einer Kombination werden aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ Elemente ausgewählt. Die Reihenfolge, in der die Auswahl stattfindet, ist nicht relevant.

  Es steht also die Variable $n$ für die Anzahl der Elemente, aus denen wir auswählen. Die Variabel $k$ gibt an, wie viele Elemente wir wählen. Betrachten wir die Beispiele:

  Beim Poker erhält Marie zu Beginn $2$ Karten aus einem Deck mit $52$ Karten.
  Es werden also genau $k = 2$ aus den insgesamt $n = 52$ Karten des Decks ausgewählt. Da hier jede Karte nur einmal vorkommen kann, handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen.
  Es gibt $\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{52}{2} = 1326$
  Kombinationen.

  Für seinen Eisbecher hat Aram die Auswahl aus $16$ Sorten. Er nimmt insgesamt $3$ Kugeln Eis.
  Er wählt also genau $k = 3$ Kugeln aus den $n = 16$ Sorten aus. Da der Eisbecher auch mehrere Kugeln derselben Sorte enthalten kann, handelt es sich um Ziehen mit Zurücklegen.
  Es gibt $\displaystyle \binom{n+k-1}{k} = \binom{16 + 3 -1 }{3} = \binom{18}{3} = 816$
  Kombinationen.

  Hildegard spielt Lotto '$6$ aus $49$'.
  Beim Lotto werden aus den $n = 49$ Kugeln $k = 6$ Kugeln ausgewählt. Da jede Kugel nur einmal vorkommen kann, handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen.
  Es gibt $\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{49}{6} = 13\,983\,816$
  Kombinationen.

  Karl kauft Katzenfutter für seinen Stubentiger Theo. Aus den $5$ Sorten in der Zoohandlung wählt er $10$ Packungen für die kommende Woche.
  Karl wählt für Theo $k = 10$ Packungen aus den $n = 5$ Sorten Katzenfutter aus. Da die Sorten hier mehrfach vorkommen können, handelt es sich um Ziehen mit Zurücklegen.
  Es gibt $\displaystyle \binom{n+k-1}{k} = \binom{5 + 10 - 1 }{10} = \binom{14}{10} = 1001$
  Kombinationen.

• Ermittle die Anzahl der Kombinationen.

  Tipps

  Überlege, ob die Reihenfolge der Objekte wichtig ist.

  Um zu entscheiden, ob eine Wiederholung stattfindet, kannst du dir auch überlegen, ob ein Element mehrfach auftreten kann oder ob die Elemente einzeln unterscheidbar sind.

  Beispiel:

  Bündel mit vier aus $13$ Spielen
  Hier ist $n = 13$ und $k = 4$, da jedes Spiel einzigartig ist, kommt es nur einmal im Bündel vor, es gibt also keine Wiederholung.
  $\displaystyle \Rightarrow \quad \binom{13}{4} = 715$
  Möglichkeiten das Bündel zusammenzustellen.

  Lösung

  Die Kombinatorik beschäftigt sich damit, wie wir die Anzahl der Möglichkeiten unter bestimmten Voraussetzungen bestimmen können. Bei Kombinationen findet eine Auswahl von $k$ Elementen aus einer Menge mit $n$ Elementen statt, wobei die Reihenfolge egal ist.
  Um die passende Formel zur Berechnung der Kombinationen zu wählen, müssen wir zudem überlegen, ob eine Wiederholung möglich ist oder nicht:

  • Es gibt $\displaystyle \binom{n}{k}$ Kombinationen ohne Wiederholung.

  
  

  • Es gibt $\displaystyle \binom{n + k - 1}{k}$ Kombinationen mit Wiederholung.

  
  

  Beispiel 1: 'Dessertvariation aus drei verschiedenen von sieben Köstlichkeiten'
  Hier ist $n = 7$ und $k = 3$, da verschiedene Desserts ausgewählt werden, gibt es keine Wiederholung.
  $\displaystyle \Rightarrow \quad \binom{7}{3} = 35$ Möglichkeiten.

  Beispiel 2: 'Eisbecher mit drei Kugeln aus $15$ Sorten'
  Hier ist $n = 15$ und $k = 3$, da jede Sorte auch mehrfach gewählt werden kann, sind Wiederholungen möglich.
  $\displaystyle \Rightarrow \quad \binom{15 + 3 - 1}{3} = \binom{17}{3} = 680$ Möglichkeiten.

  Beispiel 3: 'Vier Karten von einem Stapel mit $40$ Karten'
  Hier ist $n = 40$ und $k = 4$, da jede Karte nur einmal gezogen werden kann, gibt es keine Wiederholung.
  $\displaystyle \Rightarrow \quad \binom{40}{4} = 91\,390$ Möglichkeiten.

  Beispiel 4: 'Würfeln mit drei zwölfseitigen Würfeln'
  Hier ist $n = 12$ und $k = 3$, da jede Zahl auch mehrfach auftreten kann, sind Wiederholungen möglich.
  $\displaystyle \Rightarrow \quad \binom{12 + 3 - 1}{3} = \binom{14}{3} = 364$ Möglichkeiten.

• Berechne die Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Überlege, in welchem wesentlichen Aspekt sich die Annahmen von Ayla und Harry unterscheiden.

  Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis ergibt sich aus der Formel:

  $P = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Kombinationen}}{\text{Gesamtzahl der möglichen Kombinationen}}$

  Lösung

  Wir können durch das Wissen um die Anzahl der möglichen Kombinationen auch Wahrscheinlichkeiten berechnen. Wenn wir davon ausgehen, dass alle Kombinationen mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten, dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis mit der Formel:

  $P = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Kombinationen}}{\text{Gesamtzahl der möglichen Kombinationen}}$

  Das bedeutet, wir müssen bestimmen, wie viele der insgesamt möglichen Kombinationen zu unserem Ereignis gehören und diese Zahl dann durch die Gesamtzahl an möglichen Kombinationen teilen. Nach diesem Prinzip gehen auch Ayla und Harry vor, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen.

  Am Schulkiosk gibt es $n = 4$ verschiedenen Naschereien, von denen für jedes Überraschungstütchen $k = 3$ ausgewählt werden.

  Ayla geht davon aus, dass jede Süßigkeit nur einmal vorkommt, sie verwendet daher die Formel für die Kombinationen ohne Wiederholung:
  $\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{4}{3} = \dfrac{4!}{3! \cdot (4-3)!} = 4$

  Wenn eine der Süßigkeiten ein Erdbeer-Sahne-Lolli sein soll, dann verbleiben für die anderen beiden Naschereien in der Tüte:
  $\displaystyle \binom{3}{2}= 3$

  Ayla stellt fest: In $3$ von $4$ Überraschungstütchen steckt ein Erdbeer-Sahne-Lolli. Die Wahrscheinlichkeit wäre damit:
  $\dfrac{3}{4} = 75\,\%$

  Harry rechnet wie Ayla, geht dabei aber davon aus, dass Süßigkeiten auch mehrfach in einem Tütchen vorkommen und verwendet daher die Formel für die Kombinationen mit Wiederholung:

  Möglichkeiten für den Inhalt der Tütchen:
  $\displaystyle \binom{n + k - 1}{k} = \binom{4+3-1}{3} = \binom{6}{3} = 20$

  Möglichkeiten mit einem Erdbeer-Sahne-Lolli:
  $\displaystyle \binom{4+2-1}{2} = 10$

  Wahrscheinlichkeit:
  $\dfrac{10}{20} = 50\,\%$

  Hinweis: Da Ayla und Harry auf unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten kommen, sehen wir, dass sich die Annahme, ob eine Wiederholung möglich ist oder nicht, nicht nur auf die Anzahl der Möglichkeiten sondern auch auf die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen auswirken kann.

• Nenne typische Szenarien für Kombinationen.

  Tipps

  Überlege, ob eine Auswahl vorliegt und, ob die Reihenfolge wichtig ist.

  Für die Ziffernfolge bei einem Zahlenschloss sind $101$ und $011$ nicht dasselbe.

  Beispiel: Bei der Lottoziehung '$6$ aus $49$' wird eine Auswahl getroffen. In welcher Reihenfolge die Kugeln gezogen werden, ist dabei nicht relevant. Die Gewinnzahlen werden im Anschluss der Größe nach geordnet.

  Lösung

  Die Kombinatorik ist der Teil der Mathematik, der sich damit beschäftigt, wie viele Möglichkeiten es unter gegeben Voraussetzungen gibt. Dabei beurteilen wir eine Situation nach verschiedenen Kriterien:

  Findet eine Auswahl statt?
  Ist dies nicht der Fall, sollen also alle vorhandenen Elemente angeordnet werden. Wir sprechen dann NICHT von einer Kombination, sondern von einer Permutation.

  Ist die Reihenfolge der Elemente wichtig?
  Wenn die Reihenfolge egal ist, sprechen wir auch vom Ziehen mit einem Griff, da wir dann nicht unterscheiden können, in welcher Reihenfolge die Elemente ausgewählt werden.
  Ist bei einer Auswahl die Reihenfolge wichtig, so sprechen wir von einer Variation, zum Beispiel bei der Ziffernfolge eines Zahlenschlosses.
  Ist bei einer Auswahl die Reihenfolge egal, dann sprechen wir von einer Kombination, zum Beispiel bei der Ziehung der Lottozahlen.

  Betrachten wir die Beispiele:

  Würfeln mit fünf Würfeln: Hier wird für jeden Würfel eine Auswahl aus den Zahlen $1$ bis $6$ getroffen. Da wir die Würfel nicht unterschieden können, ist die Reihenfolge nicht relevant.
  $\Rightarrow \quad$ Kombinationen

  Zahlen zum Öffnen eines Zahlenschlosses: Hier wird für jede Stelle eine Auswahl aus den Zahlen des Rings getroffen. Damit sich das Schloss öffnet, müssen die richtigen Zahlen in der richtigen Reihenfolge gewählt werden.
  $\Rightarrow \quad$ Variationen

  Siegertreppchen eines Wettkampfes: Hier wird für jeden Platz eine Auswahl aus den Teilnehmern getroffen. Dabei ist wichtig, wer auf welcher Position landet, das heißt die Reihenfolge ist relevant.
  $\Rightarrow \quad$ Variationen

  Eisbecher mit drei Kugeln: Hier werden drei Eissorten für die Kugeln ausgewählt. Die Reihenfolge der Eiskugeln ist nicht relevant.
  $\Rightarrow \quad$ Kombinationen

• Überprüfe die Eigenschaften des Binomialkoeffizienten.

  Tipps

  Überprüfe allgemeine Aussagen anhand von Beispielen.

  Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Kombinationen, also der Auswahlmöglichkeiten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge an.

  Lösung

  Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$, gesprochen: '$k$ aus $n$' oder '$n$ über $k$', ermöglicht es uns, die Anzahl der Kombinationen auch für größere Zahlen schnell mithilfe des Taschenrechners zu bestimmen. Dahinter steht die Formel:
  $\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

  $\implies$ Die Aussage '$\binom{14}{3} = \frac{14!}{3!}$' ist daher falsch, sie müsste:

  $\displaystyle \binom{14}{3} = \frac{14!}{3! \cdot (14-3)!} = \frac{14!}{3! \cdot 11!}$

  lauten.

  
  

  Es gibt für die Auswahl von $k$ Elementen aus einer Menge mit $n$ Elementen:
  

  • $\displaystyle \binom{n}{k}$ Möglichkeiten ohne Wiederholung.

  
  

  • $\displaystyle \binom{n+k-1}{k}$ Möglichkeiten mit Wiederholung.

  
  

  $\implies$ Die Aussage '$\binom{54}{30}$ gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, $30$ Elemente aus einer Menge mit $25$ Elementen mit Wiederholung auszuwählen.' ist richtig, da hier $n = 25$, $k = 30$ und somit
  $\displaystyle \binom{n+k-1}{k} = \binom{25 + 30 - 1}{30} = \binom{54}{30}$.

  $\implies$ Die Aussage 'Mit dem Binomialkoeffizienten $\binom{15}{7}$ können wir die Anzahl der Sitzordnungen bestimmen, wenn sich $7$ Personen auf $15$ Stühle verteilen.' ist falsch, $\binom{15}{7}$ gibt hier nur die Anzahl der möglichen Kombinationen von freien und besetzten Stühlen an, nicht jedoch die Sitzordnung, also wer genau wo sitzt.

  
  

  Der Binomialkoeffizient ist symmetrisch, es gilt allgemein:
  $\displaystyle \binom{n}{i} = \binom{n}{n - i}$

  Insbesondere ist $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ und $\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n$.

  $\implies$ Die Aussage '$\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1}$' ist also richtig, wir können sie auch anhand von Beispielen überprüfen:
  $\binom{3}{1} = 3 = \binom{3}{2}$ oder $\binom{100}{1} = 100 = \binom{100}{99}$
  

  $\implies$ Die Aussage '$\binom{n}{n} = \binom{n}{1}$' ist entsprechend allgemein falsch, da $\binom{n}{n} = 1$ und $\binom{n}{1} = n$.
  

  Zum Beispiel: $\binom{5}{5} = 1$ und $\binom{5}{1} = 5$