Zufallszahlen

Zufallszahlen Übung

• Zeige auf, was Zufallszahlen sind.

  Tipps

  Bei einem Münzwurf hast du nur die Ergebnisse Kopf oder Zahl. Die beiden Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich, treten also jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p=\frac12$ ein.

  Zufallszahlen sind nicht vorhersehbar.

  Lösung

  Eine Zufallszahl ist ein Ergebnis spezieller Zufallsexperimente, wie zum Beispiel dem Würfelwurf, dem Ziehen von Kugeln aus einer Urne, dem Münzwurf oder auch dem Spiel Roulette.

  Beim einmaligen Würfelwurf sind die jeweils möglichen Augenzahlen $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. Da wir nicht vorhersehen können, welche Zahlen als Nächstes auftreten werden, sie also zufällig auftreten, nennen wir sie Zufallszahlen.

  Sie haben alle die gleiche Wahrscheinlichkeit. Es gilt $p=\frac16$. Man nennt sie auch gleichverteilte Zufallszahlen.

  Sind die Zufallszahlen durch reale Experimente entstanden, nennt man sie echte Zufallszahlen.

• Gib die Definitionen wieder.

  Tipps

  Willst du wissen, wie häufig die $6$ bei $1 000$ Würfelwürfen auftaucht, ist es sehr mühsam $1 000$-mal zu würfeln. Daher ist es sinnvoll, einen Zufallszahlengenerator zu nutzen und die Zahlenspanne von $1$ bis $6$ einzustellen.

  Nutzt du einen Zufallszahlengenerator, entstehen keine echten Zufallszahlen.

  Lösung

  • Echte Zufallszahlen ... entstehen durch real durchgeführte Experimente.

  Das kann zum Beispiel ein Würfelwurf, das Ziehen von Kugeln aus einer Urne, ein Münzwurf oder auch das Spiel Roulette sein.

  • Zufallszahlengeneratoren ... werden genutzt, um Tests und Statistiken zu reproduzieren.

  Willst du wissen, wie häufig die $6$ bei $1 000$ Würfelwürfen auftaucht, ist es sehr mühsam $1 000$-mal zu würfeln. Daher ist es sinnvoll, einen Zufallsgenerator zu nutzen und die Zahlenspanne von $1$ bis $6$ einzustellen, um $1 000$ Zahlen zu erzeugen. Zum Vergleich kannst du dann das Experiment auch mehrfach durchlaufen lassen.

  • Pseudozufallszahlen ... wirken zufällig, sind aber reproduzierbar.

  Es gibt Zufallszahlengeneratoren, die bei mehreren Durchläufen und gleicher Einstellung immer die gleichen Zahlen ausgeben. Diese Zahlen sehen dann zwar aus wie zufällig, sind aber immer wieder so zu erzeugen.

  • Gleichverteilte Zufallszahlen ... haben immer die gleiche Wahrscheinlichkeit.

  Bei einem Würfelwurf haben alle möglichen Augenzahlen $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ die Wahrscheinlichkeit $p=\frac16$.

• Entscheide, welche Zahlen mit dem Zufallszahlengenerator erzeugt wurden und welche beim Würfeln entstanden sind.

  Tipps

  Den Unterschied zwischen echten und Pseudozufallszahlen erkennst du am zweiten Versuch.

  Beim Würfel kommen nur die Zahlen $1$ bis $6$ vor.

  Lösung

  Den Unterschied zwischen echten und Pseudozufallszahlen erkennst du am zweiten Versuch. Der Zufallszahlengenerator produziert nämlich erneut dieselbe zufällig aussehende Zahlenfolge, beim Würfeln sieht diese im Allgemeinen anders aus. Durch einen sehr großen Zufall könnte sie natürlich gleich aussehen, aber die Wahrscheinlichkeit dafür ist ganz klein, daher vernachlässigen wir dies hier und erhalten:

  $1.$ Zettel: 1. Versuch: $3;2;5;2;1;4;4;2;6;2;6$ 2. Versuch: $3;2;5;2;1;4;4;2;6;2;6$

  Hier kommen nur die Zahlen $1$ bis $6$ vor und der $1.$ und $2.$ Versuch stimmen komplett überein. Daher handelt es sich wohl um die Pseudozufallszahlen, die mit dem Generator erzeugt wurden.

  $2.$ Zettel: 1. Versuch: $3;2;6;2;1;4;4;2;8;2;5$ 2. Versuch: $3;2;6;2;1;4;4;2;8;2;5$

  Hier taucht eine $8$ auf, die kann weder gewürfelt noch vom Generator mit der Spanne $1$ bis $6$ erzeugt werden, daher passen diese Zahlen nicht zum gewünschten Experiment.

  $3.$ Zettel: 1. Versuch: $1;3;4;6;5;4;3;6;1;3;1;2$ 2. Versuch: $3;2;6;2;1;4;4;2;5;2;5;3$

  Wir sehen hier $6$ Zufallszahlen, es passt daher nicht zum Experiment.

  $4.$ Zettel: 1. Versuch: $6;5;3;3;5;1;1;5;4;2;2$ 2. Versuch: $2;6;5;6;5;4;2;3;2;5;1$

  Hier kommen nur die Zahlen $1$ bis $6$ vor und der $1.$ und $2.$ Versuch stimmen nicht überein. Daher handelt es sich wohl um das Ergebnis von $11$ Würfelwürfen.

• Ermittle, ob die Ergebnisse Zufallszahlen sind.

  Tipps

  Die Ergebnisse bei einem Roulettespiel sind Zufallszahlen.

  Eine Zufallszahl ist das Ergebnis spezieller Zufallsexperimente. Zum Beispiel kannst du mit einem Glücksrad, dessen Sektoren mit Zahlen markiert sind, Zufallszahlen erzeugen.

  Lösung

  Die Ergebnisse der folgenden Experimente sind keine Zufallszahlen:

  • Deutschnoten der Schüler einer Klasse.

  Die Deutschnoten werden nicht zufällig vergeben, sondern hängen vom Können und Lernen der Schüler ab.

  • Felix schießt aufs Tor, während Max versucht, zu halten. Trifft Felix, notieren sie eine $1$, sonst eine $0$.

  Wir können zwar nicht vorhersagen, ob Felix trifft oder nicht, aber es passiert nicht zufällig. Auch hier hängen die Ergebnisse vom Können ab.

  • Ein Computerprogramm erzeugt durch einen Algorithmus nicht vorhersehbare Zahlen. Auch wenn die Zahlen im ersten Durchgang nicht vorhersehbar sind, werden sie doch durch einen Algorithmus berechnet. Solche Zahlen nennt man Pseudozufallszahlen.

  Die Ergebnisse der folgenden Experimente sind Zufallszahlen:

  • Würfeln mit einem Würfel.

  Die Ergebnismenge $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ besteht aus Zufallszahlen.

  • Einmaliges Ziehen einer Spielkarte mit einer Nummer.

  Wir ziehen eine Karte zufällig, daher können wir die Zahl nicht vorhersagen.

  • Aus einem Briefumschlag werden Zettel mit kleinen Matheaufgabennummern, die gelöst werden sollen, gezogen.

  Solange die Zettel nicht durch Tasten unterscheidbar sind, ist die gezogene Nummer zufällig.

• Bestimme die Ergebnismenge zu jedem Zufallsversuch.

  Tipps

  Beim Roulette kann die Kugel auf ein Feld mit einer Zahl zwischen $1$ und $36$ rollen.

  Vor einem Zufallsexperiment sollte die Ergebnismenge stets bekannt sein. Sie gibt an, welche Zufallszahlen bei dem Experiment insgesamt auftreten können.

  Lösung

  1) Zufallszahlen können auch das Ergebnis von einmaligem Ziehen von Kugeln aus einer Urne sein. Gibt es vier Kugeln, so ergeben sich auch vier mögliche Ergebnisse. Sind die Kugeln mit den Ziffern von $1$ bis $4$ beschriftet, sind dies die dazugehörigen Zufallszahlen. Sie haben die Wahrscheinlichkeit $p=\frac14$ und sind gleichverteilt.

  2) Die Ergebnismenge bei einem Münzwurf geben wir meistens nicht mit Zufallszahlen, sondern mit den Bildern für Kopf oder Zahl an oder schreiben die Wörter aus. Natürlich könnte man auch zum Beispiel Kopf die $0$ zuordnen und Zahl die $1$. In jedem Fall besteht die Ergebnismenge aus zwei Elementen.

  3) Beim Roulette kann die Kugel auf ein Feld mit einer Zahl zwischen $1$ und $36$ rollen. Wir vernachlässigen für dieses Experiment die unterschiedlichen Farben. Das heißt, die Ergebnismenge besteht aus diesen $36$ Zufallszahlen: $\begin{array}{lll} ~~ \Omega &=& \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,\\ & & ~~ 30,31,32,33,34,35,36\} \end{array}$

  4) Beim Werfen eines Würfels besteht die Ergebnismenge aus den $6$ möglichen Augenzahlen $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$.

• Gib an, wie die Ergebnisse entstanden sind.

  Tipps

  Eine Primzahl ist nur durch $1$ und sich selbst teilbar.

  Lösung

  1. Der Zufallsprimzahlgenerator erzeugt eine Primzahl in einer gewählten Spanne, zum Beispiel zwischen $1$ und $15$: $\Omega_{\text{Primzahl}}=\{2,3,5,7,11,13\}$.
  2. Für die Augensumme von zwei Würfelwürfen addierst du eine Zahl von $1$ bis $6$ mit einer anderen Zahl zwischen $1$ bis $6$: $\Omega_{\text{Summe}}=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$.
  3. Für beide gemeinsam gilt $\Omega_{\text{Gemeinsam}}=\{2,3,5,7,11\}$
  4. Der Rest kann von keinem der beiden generiert werden.