Wahrscheinlichkeit von Ereignissen berechnen

Wahrscheinlichkeit von Ereignissen berechnen Übung

• Beschreibe den Unterschied zwischen Ergebnis und Ereignis.

  Tipps

  Ein Ereignis kann mehrere Ergebnisse umfassen.

  Es gibt genau zwei richtige Antworten.

  Lösung

  Wir betrachten ein Zufallsexperiment:

  Jeder mögliche Ausgang ist ein Ergebnis des Zufallsexperimentes.
  Ein Ereignis hingegen kann mehrere Ergebnisse umfassen.

  Die Aussage „Ein Ergebnis umfasst mehrere Ereignisse.“ ist also falsch.
  Die Aussage „Es gibt immer genauso viele Ergebnisse, wie es mögliche Versuchsausgänge gibt.“ ist hingegen richtig.

  Beispiel: Der Würfelwurf
  Die möglichen Ergebnisse sind $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$.
  Betrachten wir hingegen die Situation Es fällt eine gerade Zahl, umfasst diese drei Ergebnisse, nämlich $2$, $4$ und $6$. Es handelt sich also um ein Ereignis.

  Die Aussage „Beim Würfelwurf ist 'es fällt eine gerade Zahl' ein Beispiel für ein Ereignis.“ ist somit richtig.
  Die Aussage „Beim Würfelwurf gibt es sechs mögliche Ereignisse.“ ist hingegen falsch. Die oben genannten sechs möglichen Versuchsausgänge sind Ergebnisse, nicht Ereignisse. Es lassen sich hingegen mehr als sechs mögliche Ereignisse formulieren.

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Es gibt

  • $1$ gelbe Kugel
  • $2$ grüne Kugeln
  • $5$ blaue Kugeln
  • $3$ rote Kugeln

  Beispiel:

  $P(\text{nicht gelb})$

  $\quad = P(\text{grün}) + P(\text{rot}) + P(\text{blau})$

  $\quad = \dfrac{2}{11} + \dfrac{3}{11} + \dfrac{5}{11}$

  $\quad = \dfrac{10}{11}$

  Lösung

  In der abgebildeten Urne sind insgesamt $11$ Kugeln. Diese sind wie folgt aufgeteilt:

  • $1$ gelbe Kugel
  • $2$ grüne Kugeln
  • $5$ blaue Kugeln
  • $3$ rote Kugeln

  Dementsprechend ergeben sich die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

  $P(\text{gelb})= \color{#99CC00}{\dfrac{1}{11}}$

  $P(\text{grün})= \color{#99CC00}{\dfrac{2}{11}}$

  $P(\text{blau})= \color{#99CC00}{\dfrac{5}{11}}$

  $P(\text{rot})= \color{#99CC00}{\dfrac{3}{11}}$

  Um die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis zu berechnen, bilden wir die Summe von allen Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse.

  Somit ergibt sich:

  $P(\text{grün oder gelb})= {P(\text{grün}) + P(\text{gelb})} = {\dfrac{2}{11} + \dfrac{1}{11}} = \color{#99CC00}{\dfrac{3}{11}}$

  $P(\text{blau oder gelb})= {P(\text{blau}) + P(\text{gelb})} = {\dfrac{5}{11} + \dfrac{1}{11}} = \color{#99CC00}{\dfrac{6}{11}}$

  $P(\text{nicht rot})= {P(\text{grün}) + P(\text{gelb}) + P(\text{blau})} = {\dfrac{2}{11} + \dfrac{1}{11} + \dfrac{5}{11}} = \color{#99CC00}{\dfrac{8}{11}}$

• Entscheide jeweils, ob ein Ergebnis beschrieben wird.

  Tipps

  Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperiments ist ein Ergebnis.

  Bei der Situation Aus einem Kartenstapel wird eine Herz-Dame gezogen handelt es sich um ein Ergebnis. Das Ziehen einer Dame ist dagegen ein Ereignis.

  Lösung

  Wir unterscheiden die Fachbegriffe Ergebnis und Ereignis wie folgt:

  • Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperiments ist ein Ergebnis.
  • Ein Ereignis kann mehrere Ergebnisse umfassen.

  
  

  Wir betrachten die aufgeführten Beispiele und ordnen zu:

  „Beim Münzwurf wird Zahl geworfen.“
  Zahl ist einer von zwei möglichen Versuchsausgängen, es handelt sich also um ein Ergebnis.

  „Ein Buch wird zufällig auf Seite 8 aufgeschlagen.“
  Es handelt sich um einen möglichen Versuchsausgang, also ein Ergebnis.

  „Aus einem Kartenstapel wird eine Pik-Karte gezogen.“
  Dies umfasst mehrere mögliche Versuchsausgänge (Pik-Ass, Pik-König, Pik-Dame etc.). Es handelt sich also um ein Ereignis.

  „Bei einer Tombola wird ein Gewinn oder ein Trostpreis gezogen.“
  Dies umfasst zwei mögliche Versuchsausgänge (Gewinn oder Trostpreis), also handelt es sich um ein Ereignis.

  „Beim Lotto $6$ aus $49$ wird eine zweistellige Zahl gezogen.“
  Dies tritt bei mehreren möglichen Versuchsausgängen auf (z. B. $11$, $25$, $38$ etc.). Es handelt sich also um ein Ereignis.

• Bestimme die fehlenden Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Die Sammlung enthält insgesamt $49$ Spiele.

  Um die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis zu berechnen, bilden wir die Summe von allen Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse.

  Beispiel: Es ist kein Brettspiel.
  Es ist also ein Kartenspiel, ein Videospiel oder ein Puzzle.
  $P(D)= \dfrac{18}{49} + \dfrac{14}{49} + \dfrac{7}{49} = \dfrac{39}{49} $

  Lösung

  Um die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis zu berechnen, bilden wir die Summe von allen Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse.
  Wir bestimmen also zunächst die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse:

  Insgesamt sind $18+10+7+14=49$ Spiele vorhanden.
  $P(\text{Kartenspiel}) = \dfrac{18}{49}$
  $P(\text{Brettspiel}) = \dfrac{10}{49}$
  $P(\text{Puzzle}) = \dfrac{7}{49} = \dfrac{1}{7}$
  $P(\text{Videospiel}) = \dfrac{14}{49} = \dfrac{2}{7}$

  Wir betrachten nun die gegebenen Ereignisse:

  $A$: Es ist kein Puzzle. Es ist also ein Kartenspiel, ein Brettspiel oder ein Videospiel.
  $P(A)= \dfrac{18}{49} + \dfrac{10}{49} + \dfrac{14}{49} = \dfrac{42}{49} = \dfrac{6}{7}$

  $B$: Es ist ein Brettspiel oder ein Kartenspiel.
  $P(B)= \dfrac{18}{49} + \dfrac{10}{49} = \dfrac{28}{49} = \dfrac{4}{7}$

  $C$: Es ist ein Videospiel oder ein Kartenspiel.
  $P(C)= \dfrac{14}{49} + \dfrac{18}{49}= \dfrac{32}{49} $

  $D$: Es ist kein Videospiel. Es ist also ein Kartenspiel, ein Brettspiel oder ein Puzzle.
  $P(D)= \dfrac{18}{49} + \dfrac{10}{49} + \dfrac{7}{49} = \dfrac{35}{49} = \dfrac{5}{7}$

• Gib an, welche Ergebnisse zu dem beschriebenen Ereignis gehören.

  Tipps

  Unterscheide zwischen größer und größer oder gleich.

  Beispiele:

  Die Augenzahl ist kleiner oder gleich $5$:
  $1$, $2$, $3$, $4$ und $5$

  Die Augenzahl ist kleiner $5$:
  $1$, $2$, $3$ und $4$

  Lösung

  Wir betrachten das Zufallsexperiment Würfelwurf:
  Jeder mögliche Ausgang ist ein Ergebnis des Zufallsexperimentes.
  Die möglichen Ergebnisse sind hierbei also: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$.
  Ein Ereignis hingegen umfasst mehrere Ergebnisse.

  Wir betrachten die gegebenen Ereignisse:

  Es wird eine ungerade Zahl geworfen.
  Dazu gehören die folgenden Ergebnisse:
  $1$, $3$ und $5$

  Es wird eine Zahl kleiner als $3$ geworfen.
  Dazu gehören die folgenden Ergebnisse:
  $1$ und $2$

  Es wird eine Zahl größer oder gleich $4$ geworfen.
  Dazu gehören die folgenden Ergebnisse:
  $4$, $5$ und $6$

  Es wird keine $5$ geworfen.
  Dazu gehören die folgenden Ergebnisse:
  $1$, $2$, $3$, $4$ und $6$

• Formuliere das richtige Ereignis.

  Tipps

  Berechne zunächst, wie viele Lose es insgesamt gibt.

  Erweitere die gegebenen Wahrscheinlichkeiten geschickt, um auf die passenden Ereignisse zu schließen.

  $\begin{array}{ll} P(D) &= \dfrac{35}{44} = \dfrac{35 \cdot 3}{44 \cdot 3} \\ & \\ &= \dfrac{105}{132} = \dfrac{100 + 5}{132} \\ & \\ &= \dfrac{100}{132} + \dfrac{5}{132} \end{array}$
  Das Ereignis lautet also:
  $A$: Es wird eine Niete oder ein Geldgewinn gezogen.

  Lösung

  In der Lostrommel sind insgesamt $2+5+25+100= 132$ Lose.

  Dementsprechend ergeben sich die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

  $P(\text{Hauptgewinn})= \dfrac{2}{132}$

  $P(\text{Geldgewinn})= \dfrac{5}{132}$

  $P(\text{Trostpreis})= \dfrac{25}{132}$

  $P(\text{Niete})= \dfrac{100}{132}$

  Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis wird berechnet, indem die Summe von allen Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse gebildet wird.

  Wir betrachten die angegebenen Wahrscheinlichkeiten und erweitern sie auf den Nenner $132$. Damit können wir besser mit den obigen Wahrscheinlichkeiten vergleichen.

  Ereignis A:
  $\begin{array}{ll} P(A) &= \dfrac{9}{44} = \dfrac{9 \cdot 3}{44 \cdot 3} \\ & \\ &= \dfrac{27}{132} = \dfrac{2 + 25}{132} \\ &\\ &= \dfrac{2}{132} + \dfrac{25}{132} \end{array}$
  Das Ereignis lautet also:
  $A$: Es wird ein Hauptgewinn oder ein Trostpreis gezogen.

  Ereignis B:
  $\begin{array}{ll} P(B) &= \dfrac{5}{22} = \dfrac{5 \cdot 6}{22 \cdot 6} \\ & \\ &= \dfrac{30}{132} = \dfrac{5 + 25}{132} \\ & \\ &= \dfrac{5}{132} + \dfrac{25}{132} \end{array}$
  Das Ereignis lautet also:
  $B$: Es wird ein Geldgewinn oder ein Trostpreis gezogen.

  Ereignis C:
  $\begin{array}{ll} P(C) &= \dfrac{8}{33} = \dfrac{8 \cdot 4}{33 \cdot 4} \\ & \\ &= \dfrac{32}{132} = \dfrac{2 + 5 + 25}{132} \\ & \\ &= \dfrac{2}{132} + \dfrac{5}{132} + \dfrac{25}{132} \end{array}$
  Das Ereignis lautet also:
  $C$: Es wird keine Niete gezogen.