Logarithmusgesetze – Übung
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Lerntext zum Thema Logarithmusgesetze – Übung
Logarithmusgesetze – Einstieg
Wie bei vielen anderen Themen in der Mathematik gibt es auch für die Rechnung mit dem Logarithmus einige Regeln und Gesetze. Was solltest du vorweg schon wissen?
- Was Logarithmen eigentlich sind, wie der Logarithmus definiert ist und wie die einzelnen Bestandteile im Logarithmus heißen
- Was hinter einer Potenz steckt und wie diese berechnet werden kann
Wie so oft bei Regeln in der Mathematik gilt: Sie wirken erst einmal komplex, sind aber in der Anwendung hilfreich und vereinfachen viele Rechenwege sehr.
Logarithmen addieren – Produktregel
Als Erstes wollen wir uns auf die Addition von Logarithmen konzentrieren. Dabei gilt:
Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der beiden Faktoren:
$\log_{\color{#008000}{b}}{(\color{#FF0000}{P} \cdot \color{#0000FF}{Q}})=\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}} + \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#0000FF}{Q}}$
Anhand einiger Beispiele soll das nachfolgend etwas deutlicher werden:
$\log_{\color{green}{2}}{(\color{red}{4} \cdot \color{#0000FF}{8}})=\log_{\color{green}{2}}{\color{red}{4}} + \log_{\color{green}{2}}{\color{#0000FF}{8}} = 2+3 = 5$
$\log_{\color{green}{5}}{(\color{red}{25} \cdot \color{#0000FF}{125}})=\log_{\color{green}{5}}{\color{red}{25}} + \log_{\color{green}{5}}{\color{blue}{125}} = 2+3 = 5$
Das Gesetz kann auch andersherum angewendet werden. Dabei musst du aber immer darauf achten, dass die Basis der Logarithmen tatsächlich gleich ist:
$\log_{\color{green}{4}}{\color{red}{8}} + \log_{\color{green}{4}}{\color{blue}{2}} =\log_{\color{green}{4}}{(\color{red}{8} \cdot \color{blue}{2}})=\log_{\color{green}{4}}{16}=2$
Natürlich kommt es eher selten vor, dass in einer Rechnung direkt ein Produkt im Logarithmus steht. Daher ist es hilfreich, wenn ein Logarithmus einer großen Zahl gebildet werden soll, zunächst zu schauen, ob man daraus ein Produkt bilden könnte. Das kann dir helfen, den Logarithmus im Kopf zu lösen. Ein Beispiel soll dir das verdeutlichen:
$\log_{8}{512} = \log_{8}{(8 \cdot 64)} = \log_{8}{8} + \log_{8}{64}=1+2=3$
Versuch, die nachfolgenden Aufgaben einmal selbstständig zu lösen.
Logarithmen subtrahieren – Quotientenregel
Als Nächstes wollen wir uns die Subtraktion von Logarithmen anschauen. Dabei gilt:
Der Logarithmus eines Bruchs ist gleich die Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner:
$\log_{\color{#008000}{b}}{\left(\frac{\color{#FF0000}{P}}{ \color{#0000FF}{Q}}\right)}=\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}} - \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#0000FF}{Q}}$
Anhand einiger Beispiele soll das nachfolgend etwas deutlicher werden:
$\log_{\color{green}{2}}{\left(\frac{\color{#FF0000}{32}}{ \color{#0000FF}{8}}\right)}=\log_{\color{green}{2}}{\color{red}{32}} - \log_{\color{green}{2}}{\color{#0000FF}{8}} = 5-3=2$
$\log_{\color{green}{3}}{\left(\frac{\color{#FF0000}{3}}{ \color{#0000FF}{27}}\right)}=\log_{\color{green}{3}}{\color{red}{3}} - \log_{\color{green}{3}}{\color{blue}{27}} = 1-3= -2 $
Auch dieses Gesetz kann andersherum angewendet werden (auch hier müssen dafür die Basen der Logarithmen identisch sein):
$\log_{\color{green}{2}}{\color{red}{24}} - \log_{\color{green}{2}}{\color{blue}{12}} = \log_{\color{green}{2}}{\left(\frac{\color{#FF0000}{24}}{ \color{#0000FF}{12}}\right)}=\log_{\color{green}{2}}{2}=1 $
Jetzt bist du wieder dran! Löse die nachfolgenden Aufgaben selbstständig.
Hinweis: Alternativ können die Brüche natürlich auch für den Lösungsweg gekürzt werden.
Logarithmus einer Potenz – Potenzregel
Zum Abschluss schauen wir uns an, wie man den Logarithmus einer Potenz umschreiben kann.
Der Logarithmus einer Potenz ergibt sich als Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis der Potenz.
$\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}^\color{#0000FF}{n}}={\color{#0000FF}{n}} \cdot \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}}$
Die nachfolgenden Beispiele sollen dir das deutlicher machen:
$\log_{\color{#008000}{3}}{\color{#FF0000}{27}^\color{#0000FF}{7}}= {\color{#0000FF}{7}} \cdot \log_{\color{#008000}{3}}{\color{#FF0000}{27}} = 7 \cdot 3 = 21$
$\log_{\color{#008000}{9}}{\color{#FF0000}{81}^\color{#0000FF}{5}}= {\color{#0000FF}{5}} \cdot \log_{\color{#008000}{9}}{\color{#FF0000}{81}} = 5 \cdot 2 = 10$
Andersherum kann das Gesetz wie folgt angewendet werden:
${\color{#0000FF}{6}} \cdot \log_{\color{#008000}{8}}{\color{#FF0000}{2}} =\log_{\color{#008000}{8}}{\color{#FF0000}{2}^\color{#0000FF}{6}}=\log_{\color{#008000}{8}}{64}=2$
Wie bei den anderen beiden Rechenregeln darfst du dich jetzt auch wieder an ein paar Aufgaben versuchen!
Logarithmusgesetze – Zusammenfassung
Das waren jetzt ganz schön viele Zahlen und Regeln. Nun sollten dir Logarithmus-Aufgaben einfacher fallen!
Zur Wiederholung:
- Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der beiden Faktoren (Produktregel):
$\log_{\color{#008000}{b}}{(\color{#FF0000}{P} \cdot \color{#0000FF}{Q}})=\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}} + \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#0000FF}{Q}}$
- Der Logarithmus eines Bruchs ist gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner (Quotientenregel):
$\log_{\color{#008000}{b}}{\left(\frac{\color{#FF0000}{P}}{ \color{#0000FF}{Q}}\right)}=\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}} - \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#0000FF}{Q}}$
- Der Logarithmus einer Potenz ergibt sich als Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis der Potenz (Potenzregel):
$\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}^\color{#0000FF}{n}}={\color{#0000FF}{n}} \cdot \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}}$
Logarithmusgesetze – Übung Übung
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Bennene die Logarithmusgesetze.
TippsDer Quotient und die Rechnung mit dem Bruch passen in keine Lücke.
Lösung- Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der beiden Faktoren (Produktregel):
- Der Logarithmus eines Bruchs ist gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner (Quotientenregel):
- Der Logarithmus einer Potenz ergibt sich als Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis der Potenz (Potenzregel):
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Wende ein Logarithmusgesetz an.
TippsDer Exponent wird als Faktor vor den Logarithmus gezogen.
Lösung- $ \log_7 3^4 = 4 \cdot \log_7 3$
- $\log_4 7^3 = 3 \cdot \log_4 7$
- $\log_7 4^3 = 3 \cdot \log_7 4$
- $\log_3 7^4 = 4 \cdot \log_3 7$
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Ergänze die Rechnungen.
TippsEs müssen ausschließlich ganze Zahlen in die Felder eingetragen werden. Alle Werte kannst du im Kopf berechnen!
Lösung- $\log_4 64=\log_4 (4\cdot 16)= \log_4 4 + \log_4 16= 1 + 2 = 3$
- $\log_8 2+ \log_8 32 = \log_8 (2\cdot 32)=\log_8 64 = 2$
- $\log_{10} \big(\frac{10}{1000}\big)=\log_{10} 10 - \log_{10} 1000 = 1-3 = -2$
- $\log_3 81=\log_3 9^2 = 2\cdot \log_3 9= 2\cdot 2 = 4$
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Finde Fehler bei der Anwendung von Logarithmusgesetzen.
TippsNur eine Rechnung ist vollständig korrekt.
Lösung- $\log_5 100= \log_5 (5 \cdot 25) =\log_5 5 + \log_5 25=1+2=3$
Wenn $\log_5 100$ gesucht ist, kann man wegen $100=4\cdot 25$ auflösen zu $\log_5 4+\log_5 25$, allerdings ist $\log_5 4$ keine ganze Zahl und könnte z. B. mit dem Taschenrechner bestimmt werden.
- $\log_2 2 + \log_4 32=\log_{2\cdot 4} {2\cdot 32} = \log_8 64 = 2$
- $\log_2 32= \log_2 (4\cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5$
- $\log_6 (3) {\color{#FF0000}{ \cdot}} \log_6 12=\log_6 (3 \cdot 12)=\log_6 36=2$
-
Beschreibe den Rechenweg.
TippsEs fängt an mit einem Textbaustein und dann wechseln sich Rechungen und Textbausteine ab.
LösungWir wenden die Regel rückwärts an und fassen die beiden Logarithmen zu einem zusammen:
$\log_7 \big( \frac{98}{2}\big)$
Dann kürzen wir den Bruch im Numerus:
$\log_7 49$
Anschließend wenden wir den Logarithmus an und erhalten das Ergebnis:
$\underline{\underline{2}}$
-
Wende ein Logarithmusgesetz an, um das Ergebnis näherungsweise zu bestimmen.
Tipps$400=2\cdot 2 \cdot 100$ oder $400=2\cdot 2 \cdot 10\cdot 10$
Lösung$\log_{10} 400$
$= \log_{10} (2\cdot 2 \cdot 100)$
$= \log_{10} 2 + \log_{10} 2 + \log_{10} 100$
$\approx 0,3 + 0,3 + 2 = 2,6$
oder
$\log_{10} 400$
$= \log_{10} 2 + \log_{10} 2 + \log_{10} 10 + \log_{10} 10$
$\approx 0,3 + 0,3 + 1+1 = \underline{\underline{2,6}}$
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