Flächen- und Volumeneinheiten

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Flächeninhalte berechnen
• Flächeneinheiten
• Flächeneineinheiten umrechnen
• Beispiel - Tischplatte
• Beispiel - Hamsterhaus
• Warum müssen Flächeneinheiten umgerechnet werden?
• Wiederholung bekannter Längen- und Volumeneinheiten
• Längeneinheiten
• Volumeneinheiten
• Umrechnung durch Darstellung in verschiedenen Längeneinheiten
• Umrechnung mit der Potenzregel für Produkte
• Umrechnungsfaktoren

Flächeninhalte berechnen

Schau dir dieses Rechteck an.

Du kannst den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen, indem du die Längen der beiden Seiten, hier $a$ und $b$, multiplizierst. So erhältst du $A=a\cdot b$. Dabei steht $A$ für den Flächeninhalt.

Du lernst das Berechnen von Flächeninhalten für viele verschiedene geometrische Figuren, zum Beispiel Parallelogramme, Drachen und Rauten, Trapeze, ...

Die Maßeinheit für einen Flächeninhalt ist eine Flächeneinheit. Es gibt, genauso wie bei Längen, verschiedene Einheiten für Flächen. Im Folgenden geht es darum, wie du diese umrechnen kannst.

Flächeneinheiten

Nun weißt du bereits, dass Flächen, wie beispielsweise das oben abgebildete Rechteck, einen Flächeninhalt haben. Dieser wird in Flächeneinheiten angegeben.

Wir wiederholen einmal kurz die Längeneinheiten. Diese sind Millimeter ($\text{mm}$), Zentimeter ($\text{cm}$), Dezimeter ($\text{dm}$), Meter ($\text{m}$) und Kilometer ($\text{km}$). Je nachdem, was du misst, verwendest du die entsprechende Längeneinheit.

So ist das auch bei Flächeneinheiten. Bei diesen steht noch eine kleine $2$ als Hochzahl. Du sagst dann Quadrat-.

Wie kannst du dir Flächeneinheiten merken? Du stellst dir immer etwas aus deiner Umgebung vor, was die entsprechende Flächeneinheit hat. Hier siehst du einige Beispiele. Vielleicht fallen dir ja noch weitere ein.

• Quadratmillimeter ($\text{mm}^{2}$): Ein flacher Stecknadelkopf hat einen Flächeninhalt von $1~\text{mm}^{2}$.
• Quadratzentimeter ($\text{cm}^{2}$): Schau dir deinen Daumennagel an. Dieser hat einen Flächeninhalt von $1~\text{cm}^{2}$.
• Quadratdezimeter ($\text{dm}^{2}$): Eine CD-Hülle hat einen Flächeninhalt von etwa $1~\text{dm}^{2}$.
• Quadratmeter ($\text{m}^2$): Ein quadratischer Tisch, der eine Seitenlänge von $1~\text{m}$ hat, hat den Flächeninhalt $1~\text{m}^2$. Zum Beispiel werden Wohnungen in Quadratmeter angegeben, zum Beispiel $88~\text{m}^2$.
• Ein Ar ($a$) ist das Gleiche wie $100~\text{m}^2$.
• Ein Hektar ($ha$) ist das Gleiche wie $10000~\text{m}^2$. Mit Ar oder Hektar werden zum Beispiel Waldflächen angegeben.
• Quadratkilometer ($\text{km}^2$): Berlin hat ungefähr eine Fläche von $892~\text{km}^2$.

Wie kannst du nun diese Flächeneinheiten umrechnen?

Flächeneineinheiten umrechnen

Als Wiederholung siehst du hier, wie du Längeneinheiten umrechnen kannst:

Nun schauen wir uns einmal an, wie $\text{mm}^{2}$ in $\text{cm}^{2}$, also Flächeneinheiten umgerechnet werden können.

• Oben links siehst du einen Quadratmillimeter.
• Du weißt bereits, dass $10~\text{mm}=1~\text{cm}$ sind. Wenn du $10$ Quadratmillimeter nebeneinander legst, das siehst du auch oben, kommst du aber noch nicht zu einem Quadratzentimeter.
• Du musst insgesamt $10$ solcher $10$-er Reihen hinlegen. Das sind dann zusammen $10\cdot 10=10^{2}=100$ Quadratmillimeter. Du quadrierst also den Umrechnungsfaktor, welchen du von den Längeneinheiten bereits kennst.
• Somit sind $100~\text{mm}^{2}=1~\text{cm}^{2}$. Anders ausgedrückt: Um von Quadratmillimeter auf Quadratzentimeter zu kommen, musst du durch $100$ dividieren. Umgekehrt von Quadratzentimeter auf Quadratmillimeter musst du mit $100$ multiplizieren.

Zusammenfassend siehst du die Umrechnungen hier:

Merke dir, wie bei allen Umrechnungen von Einheiten: Möchtest du von einer kleineren auf eine größere Einheit umrechnen, musst du dividieren. Umgekehrt von einer größeren auf eine kleinere Einheit musst du multiplizieren.

Nun kannst du auch Einheiten überspringen. Du kannst zum Beispiel schauen, wie Quadratzentimeter in Quadratmeter umgerechnet werden.

• Von Quadratzentimeter zu Quadratdezimeter dividierst du durch $100$.
• Von Quadratdezimeter zu Quadratmeter dividierst du wieder durch $100$.
• Insgesamt dividierst du also durch $100\cdot 100=10000$.

Umgekehrt übrigens multiplizierst du mit $10000$.

Lass uns das doch einmal an Beispielen üben.

Beispiel - Tischplatte

Eine Tischplatte ist $80~\text{cm}$ lang und $50~\text{cm}$ breit. Der Flächeninhalt dieser Tischplatte beträgt $80~\text{cm}\cdot 50~\text{cm}=4000~\text{cm}^{2}$.

Wie viele Quadratmeter sind das? Hierzu dividierst du durch $10000$. Du rechnest $4000:10000=0,4$. Die Tischplatte hat also einen Flächeninhalt von $0,4~\text{m}^{2}$.

Beispiel - Hamsterhaus

Tim möchte ein Hamsterhaus bauen. Die Grundfläche ist quadratisch mit der Seitenlänge $0,8~\text{m}$. Tim berechnet den Flächeninhalt in Quadratmeter zu $(0,8~\text{m})^{2}=0,64~\text{m}^{2}$.

Nun fragt er sich, wie viele Quadratzentimeter das sind. Er multipliziert mit $10000$ und erhält so $6400~\text{cm}^{2}$.

Warum müssen Flächeneinheiten umgerechnet werden?

Du kannst Flächeninhalte nur dann vergleichen, addieren oder subtrahieren, wenn sie in einer gemeinsamen Einheit vorliegen.

Schauen wir uns ein abschließendes Beispiel an. Tim überlegt, welche Fläche größer ist. Er vergleicht den Tisch mit $4000~\text{cm}^{2}$ und die Grundfläche des Hamsterhauses mit $0,64~\text{m}^{2}$. Hmmmm, er überlegt. Die eine Fläche ist in Quadratzentimeter und die andere in Quadratmeter angegeben. Er hat aber bereits die Grundfläche des Hamsterhauses in Quadratzentimeter umgerechnet und $6400~\text{cm}^{2}$ erhalten.

Nun kann er die beiden Größen vergleichen: $4000~\text{cm}^{2}\lt 6400~\text{cm}^{2}$. Er sieht, dass der Flächeninhalt des Tisches kleiner ist als der Flächeninhalt der Grundfläche des Hamsterhauses.

Wiederholung bekannter Längen- und Volumeneinheiten

Längeneinheiten

Bevor wir anfangen, verschiedene Volumeneinheiten ineinander umzurechnen, sehen wir uns erst noch einmal die zugrunde liegenden Längeneinheiten an. Denn ein Volumen ist im Grunde nichts anderes als der Raum, der von drei verschiedenen Längen eingeschlossen wird. Diese Längen nennen wir dann zum Beispiel Höhe, Breite und Tiefe. Wir betrachten hier die im Alltag gebräuchlichen Einheiten, denn diese Größen können wir bereits gut in die Realität einordnen.

Die grundlegende und wichtigste Längeneinheit ist der Meter $\left(1\,\text{m}\right)$. Von ihm leiten sich alle anderen hier beschriebenen Längeneinheiten ab.

Auf deinem Lineal kannst du unmittelbar Millimeter $\left(1\,\text{mm}\right)$ und Zentimeter $\left(1\,\text{cm}\right)$ ablesen. Die Präfixe „Milli-“ und „Zenti-“ verraten uns, dass es sich hier um ein Tausendstel und ein Hundertstel eines Meters handelt. Zehn Zentimeter bilden außerdem einen Dezimeter $\left(1\,\text{dm}\right)$, also ein Zehntel eines Meters.

All diese Einheiten sind Bruchteile eines Meters. Wir können aber natürlich auch in die andere Richtung gehen und Längeneinheiten betrachten, die Vielfache eines Meters sind. Die einzige im Alltag gebräuchliche Einheit ist hier der Kilometer $\left(1\,\text{km}\right)$, der aus $1000$ Metern besteht.

Fassen wir die bekannten Längeneinheiten, Umrechnungsfaktoren und Rechenregeln kurz zusammen:

$ 1\,\text{mm} \xrightarrow{\cdot 10} 1\,\text{cm} \xrightarrow{\cdot 10} 1\,\text{dm} \xrightarrow{\cdot 10} 1\,\text{m} \xrightarrow{\cdot 1000} 1\,\text{km} $

Erste Rechenregel: Wenn wir von einer kleineren zur nächstgrößeren Einheit gelangen wollen, dann teilen wir durch den zwischen ihnen stehenden Umrechnungsfaktor. Zum Beispiel:

$1\,\text{cm} = 1:10\,\text{dm}=0,1\,\text{dm}$

Zweite Rechenregel: Wenn wir von einer größeren wieder zur nächstkleineren Einheit gelangen wollen, multiplizieren wir mit dem zwischen ihnen stehenden Umrechnungsfaktor. Zum Beispiel:

$ 1\,\text{cm} = 1\cdot 10\,\text{mm} = 10\,\text{mm}$

Dritte Rechenregel: Wenn wir Zwischeneinheiten überspringen und beispielsweise direkt von Millimetern zu Metern gelangen wollen, dann multiplizieren wir alle Umrechnungsfaktoren miteinander, die zwischen den beiden Einheiten stehen:

$ 1\,\text{m} = 1\cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\,\text{mm}=1000\,\text{mm}$

Das funktioniert auch, wenn wir von der kleineren zur größeren Einheit springen wollen:

$1\,\text{mm} = 1 :10 :10 :10\,\text{m} = 0,001\,\text{m}$

Volumeneinheiten

Die Volumeneinheiten, die wir hier betrachten, leiten sich direkt von den Längeneinheiten ab. Eine Volumeneinheit erhalten wir jeweils, indem wir uns einen Würfel denken, dessen Kantenlänge einer Längeneinheit entspricht. Die Volumeneinheit hat dann fast den gleichen Namen wie die Längeneinheit, erhält aber jeweils die Vorsilbe „Kubik-“. Ein Beispiel:

Wir betrachten die Längeneinheit Meter $\left(1\,\text{m}\right)$. Hierzu stellen wir uns einen Würfel mit der Kantenlänge $1\,\text{m}$ vor. Dieser hat dann ein Volumen von genau einem Kubikmeter $\left(1\,\text{m}^3\right)$.

Du solltest dir noch merken, dass die Volumeneinheit Kubikdezimeter unter einem anderen Namen sehr viel geläufiger ist. Willst du im Supermarkt einen Kubikdezimeter Milch kaufen, wirst du wahrscheinlich lange suchen – stattdessen wird hier nämlich die Einheit Liter $\left(1\,\text{l}\right)$ verwendet. Ähnlich wie beim Meter gibt es auch hier kleinere Einheiten, die auf dem Liter beruhen. Gebräuchlich ist davon hauptsächlich der Milliliter $\left(1\,\text{ml}\right)$, also ein tausendstel Liter.

Natürlich haben auch Körper, die nicht würfelförmig sind, ein Volumen. Beispielsweise hat eine gewöhnliche Wasserflasche ebenfalls ein Volumen von einem Liter. Wir wissen jetzt also: Diese Wasserflasche hat das gleiche Volumen wie ein Würfel mit der Seitenlänge $1\,\text{dm}$ – das Modell des Würfels dient nur der Veranschaulichung.

Etwas knifflig wird es, wenn wir versuchen, die verschiedenen Volumeneinheiten ineinander umzurechnen. Sehen wir uns einmal an, wie wir das am besten machen.

Umrechnung durch Darstellung in verschiedenen Längeneinheiten

Wir betrachten jetzt wieder einen Würfel mit der Kantenlänge $1\,\text{m}$. Dieser hat das Volumen

$(1\,\text{m})\cdot(1\,\text{m})\cdot(1\,\text{m})=(1\,\text{m})^3=1\,\text{m}^3$

Wir können die Kantenlänge allerdings auch in anderen Einheiten ausdrücken. Beispielsweise gilt $1\,\text{m}=10\,\text{dm}$. Also können wir das Volumen auch folgendermaßen berechnen:

$(10\,\text{dm})\cdot(10\,\text{dm})\cdot(10\,\text{dm})=(10\,\text{dm})^3=1000\,\text{dm}^3$

Jetzt haben wir das Volumen des Würfels in zwei verschiedenen Einheiten ausgedrückt. Der Würfel ist aber der gleiche, sodass auch sein Volumen in beiden Fällen gleich ist! Folglich gilt:

$1\,\text{m}^3=1000\,\text{dm}^3$

Der Umrechnungsfaktor zwischen Kubikdezimetern und Kubikmetern ist also $1000$. Auf diese Art können wir uns die Umrechnungsfaktoren zwischen allen möglichen Volumeneinheiten herleiten, wenn wir die Umrechnungsfaktoren zwischen den entsprechenden Längeneinheiten kennen.

Umrechnung mit der Potenzregel für Produkte

Eine andere Möglichkeit, Volumeneinheiten ineinander umzurechnen, bietet uns die Potenzregel für Produkte. Sie besagt:

Die Potenz eines Produkts ist gleich dem Produkt der Potenzen der Faktoren, also:

$ \left(a\cdot b\right)^n = a^n\cdot b^n$

Diese Regel können wir jetzt auf unsere Längeneinheiten anwenden. Der zweite Faktor wird dabei durch die jeweilige Einheit ersetzt.

Achtung: Da hier nicht zwei Zahlen, sondern eine Zahl und eine Einheit in der Klammer stehen, wird streng genommen kein Produkt gebildet. Die Regel funktioniert zwar trotzdem, du solltest sie aber nur als Merkhilfe ansehen!

Stellen wir uns einen Würfel mit der Kantenlänge $2\,\text{m}$ vor, dessen Volumen wir jetzt in der Einheit Liter ausdrücken wollen. Der Würfel hat das Volumen

$2\,\text{m}\cdot 2\,\text{m}\cdot 2\,\text{m}=\left(2\,\text{m}\right)^3$

(Achtung: Das sind nicht zwei Kubikmeter!) Nun haben wir zwei Möglichkeiten. Wir können entweder das Volumen mit der Potenzregel direkt in Kubikmetern berechnen, oder den Ausdruck in der Klammer zuerst in die gewünschte Längeneinheit bringen und dann darauf die Potenzregel anwenden. Dadurch erhalten wir zwei Werte, die das gleiche Volumen beschreiben – allerdings in verschiedenen Volumeneinheiten:

$1)\quad \left(2\,\text{m}\right)^3 = 2^3\text{m}^3 = 8\,\text{m}^3$

$2)\quad \left(2\,\text{m}\right)^3 = \left(20\,\text{dm}\right)^3 = 20^3\text{dm}^3 = 8000\,\text{dm}^3\,\left(=8000\,\text{l}\right)$

Nun können wir diese Ergebnisse gleichsetzen und durch Kürzen den Umrechnungsfaktor von $\text{m}^3$ zu $\text{dm}^3$ bestimmen:

$8\,\text{m}^3 = 8000\,\text{dm}^3\quad \vert : 8$

$1\,\text{m}^3=1000\,\text{dm}^3$

$1000$ Kubikdezimeter entsprechen also einem Kubikmeter.

Umrechnungsfaktoren

Wenn wir den gerade ermittelten Umrechnungsfaktor zwischen Kubikdezimeter und Kubikmeter (also $1000$) mit dem zwischen Dezimeter und Meter (also $10$) vergleichen, so fällt uns auf:

$ 10^3 = 1000$

Hier sind wir bereits auf eine allgemein gültige Formel gestoßen. Es ist egal, welche Volumeneinheiten wir ineinander umrechnen wollen. Wir müssen nur die Umrechnungsfaktoren zwischen zugrunde liegenden Längeneinheiten kennen, denn es gilt:

(Faktor zw. Längeneinheiten)$^3$ = Faktor zw. Volumeneinheiten

Damit können wir jetzt also die Umrechnungsfaktoren zwischen allen Volumeneinheiten bestimmen:

$1\,\text{mm}^3\xrightarrow{\cdot 1000}1\,\text{cm}^3\xrightarrow{\cdot 1000}1\,\text{dm}^3\xrightarrow{\cdot 1000}1\,\text{m}^3\xrightarrow{\cdot 1\,\text{Mrd.}}1\,\text{km}^3$

Die Rechenregeln sind hier die gleichen wie schon für die Längeneinheiten.

Wie dir vielleicht schon aufgefallen ist, beträgt der Umrechnungsfaktor von $1\,\text{cm}^3$ zu $1\,\text{l}$ genau $1000$. Ein Kubikzentimeter ist also genau ein Tausendstel eines Liters und kann daher auch als Milliliter bezeichnet werden:

$1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}$

$1\,\text{cm}^3 = 1\,\text{ml}$

Nun kennen wir die Umrechnungsfaktoren zwischen allen im Alltag wichtigen Volumeneinheiten. Sie sind meist weniger intuitiv als bei den Längeneinheiten – beispielsweise enthält ein Kubikkilometer eine Milliarde Kubikmeter, also viel mehr, als die meisten Menschen im ersten Moment schätzen würden!

Du solltest also ein wenig mit den Einheiten rechnen und einige Fragen beantworten, die du vielleicht schon hast oder dir ausdenken kannst (z.B. „Wie viele Kubikmillimeter passen in einen Liter?“). So bekommst du ein Gefühl dafür, in welchem Verhältnis die Einheiten zueinander stehen.