Volumeneinheiten

Volumeneinheiten Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Rechnen mit Volumeneinheiten.

  Tipps

  Ein Kubikzentimeter ($\text{cm}^3$) ist kleiner als ein Kubikdezimeter ($\text{dm}^3$).

  $1~\text{dm}^3$ entspricht einem Liter.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Das Volumen eines Quaders berechnest du, indem du Länge, Breite und Höhe addierst.“

  • Beim Berechnen des Volumens eines Quaders multiplizierst du Länge, Breite und Höhe. Da du hier drei Längen miteinander multiplizierst, musst du auch die Einheiten multiplizieren. So ergeben sich Einheiten, die zur dritten Potenz erhoben sind (z. B. $\text{m}^3$).

  „$1~000$ Kubikdezimeter ($\text{dm}^3$) entspricht einem Kubikzentimeter ($\text{cm}^3$).“

  „Eine Volumeneinheit passt immer genau $100$ mal in die nächstgrößere Volumeneinheit.“

  • Eine Volumeneinheit passt immer genau $1~000$ mal in die nächstgrößere Volumeneinheit. Da ein Kubikzentimeter ($\text{cm}^3$) kleiner ist als ein Kubikdezimeter ($\text{dm}^3$), gilt auch: $1~000~\text{cm}^3=\text{dm}^3 $.

  Diese Aussagen sind korrekt:

  „Ein Würfel mit Kantenlänge $1~\text{dm}$ hat ein Volumen von einem Liter.“

  • Hier rechnest du $V=a^3= (1~\text{dm})^3= 1~\text{dm}^3$. Das entspricht einem Liter.

  „Ein Kubikmeter ($\text{m}^3$) sind genau $1~000$ Kubikdezimeter ($\text{dm}^3$).“

• Beschreibe die Rechnung mit Volumeneinheiten.

  Tipps

  Das Volumen eines Körpers erhältst du, indem du ihre Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.

  Wir können Volumeneinheiten ineinander umrechnen. Bei dieser Umrechnung bleibt das Volumen an sich gleich. Verkleinerst du allerdings die Einheit, musst du den Zahlenwert vergrößern. Möchtest du in die nächstkleinere Einheit umrechnen, musst du mit $1~000$ multiplizieren.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Die erste würfelförmige Kiste hat eine Kantenlänge von einem Meter. Um ihr Volumen zu bestimmen, muss man die Länge $l$, Breite $b$ und Höhe $h$ miteinander multiplizieren. Das ergibt:

  $V=l \cdot b \cdot h= 1~\text{m} \cdot 1~\text{m} \cdot 1~\text{m}=1~\text{m}^3$“

  • Hier müssen die Zahlen und Einheiten einzeln multipliziert werden. Rechnest du $1\cdot 1 \cdot 1$, ergibt das $1$. Die Multiplikation der Einheiten kannst du zu $~\text{m}^3$ zusammenfassen.

  „$1~\text{m}^3$ entspricht ungefähr dem Volumen eines Kühlschranks.

  Auch das Volumen dieser Kiste mit einer Seitenlänge von einem Dezimeter kannst du durch Multiplikation der Seitenlängen bestimmen. Hier erhältst du:

  $V=l \cdot b \cdot h=1~\text{dm} \cdot 1~\text{dm} \cdot 1~\text{dm}=1~\text{dm}^3$“

  • Die Multiplikation funktioniert genauso wie oben. Ein $\text{dm}^3$ entspricht einem Volumen von einem Liter.

  $1~\text{dm}^3$ entspricht ungefähr dem Volumen eines Getränkekartons.

  Jetzt möchten sie die beiden Einheiten ineinander umrechnen. Sie wissen:

  $1~\text{m}^3=1~000~\text{dm}^3$

  Möchte man $1~\text{m}^3$ in $\text{dm}^3$ umrechnen, muss man mit $1~000$ multiplizieren.“

  • Möchtest du in die nächstkleinere Volumeneinheit umrechnen, musst du mit $1~000$ multiplizieren. Bei dieser Umrechnung bleibt das Volumen an sich gleich. Da du allerdings die Einheit verkleinerst, musst du den Zahlenwert vergrößern.

  „Möchte man $1~\text{dm}^3$ in $\text{m}^3$ umrechnen, muss man durch $1~000$ dividieren.“

  • Möchtest du in die nächstgrößere Volumeneinheit umrechnen, musst du durch $1~000$ dividieren. Bei dieser Umrechnung bleibt das Volumen an sich gleich. Da du allerdings die Einheit vergrößerst, musst du den Zahlenwert verkleinern.

• Ermittle das Volumen der Quader.

  Tipps

  Zuerst multiplizierst du alle Kantenlängen der Quader. Für den ersten erhältst du:

  $V=l \cdot b \cdot h= 3~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} \cdot 5~\text{cm}$

  Anschließend rechnest du die Volumeneinheit in die nächstgrößere oder nächstkleinere Volumeneinheit um, indem du entweder durch $1~000$ teilst oder damit multiplizierst.

  Lösung

  So kannst du die Volumina bestimmen:

  Zuerst multiplizierst du alle Kantenlängen der Quader. Für den ersten erhältst du:

  • $V=l \cdot b \cdot h= 3~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} \cdot 5~\text{cm}=60~\text{cm}^3$

  Anschließend rechnest du die Volumeneinheit in die nächstgrößere oder nächstkleinere Volumeneinheit um, indem du entweder durch $1~000$ teilst oder damit multiplizierst. Hier erhältst du:

  • $60~\text{cm}^3=0,06~\text{dm}^3$

  Beim zweiten Quader ergibt sich:

  • $V= 3~\text{dm} \cdot 40~\text{dm} \cdot 5~\text{dm}=600~\text{dm}^3$

  Um auf Meter umzurechnen, teilen wir durch $1~000$. So ergibt sich:

  • $600~\text{dm}^3=0,6~\text{m}^3$

  Für den dritten Quader erhalten wir genauso:

  • $V=15~\text{m}^3$

  Und das Volumen des vierten Quaders beträgt:

  • $V=8~\text{cm}^3$

• Wende dein Wissen zu Volumeneinheiten an.

  Tipps

  Möchtest du zur nächstgrößeren Einheit umrechnen, musst du durch $1~000$ teilen:

  $V=1~000~\text{cm}^3=1~\text{dm}^3$

  Willst du von $\text{cm}^3$ zu $\text{m}^3$ springen, kannst du zweimal durch $1~000$ teilen:

  $V=1~000~000~\text{cm}^3=1~000~\text{dm}^3=1~\text{m}^3$

  Lösung

  Möchtest du eine Volumenangabe in die nächstkleinere Einheit umrechnen, so multiplizierst du mit $1~000$. Bei der Umrechnung in die nächstgrößere Volumeneinheit musst du durch $1~000$ teilen. Damit erhältst du folgende Umrechnungen:

  • $V=0,3~\text{dm}^3=300~\text{cm}^3$

  • $V=40~\text{m}^3=40~000~\text{dm}^3$

  • $V=55~\text{cm}^3=0,055~\text{dm}^3$

  Möchtest du von $\text{cm}^3$ zu $\text{m}^3$ springen, kannst du wie folgt zweimal durch $1~000$ teilen:

  • $V=39~\text{cm}^3=0,039~\text{dm}^3=0,000039~\text{m}^3$

• Vervollständige das abgebildete Schema zum Umrechnen von Volumeneinheiten.

  Tipps

  Ein Milliliter ist das Tausendstel eines Liters.

  Beim Umrechnen von Volumeneinheiten bleibt das Volumen an sich immer gleich. Wenn du also die Einheit verkleinerst, musst du den Zahlenwert vergrößern.

  Lösung

  So sieht die vollständige Grafik aus. Merke dir, dass beim Umrechnen von Volumeneinheiten das Volumen an sich immer gleich bleibt. Wenn du die Einheit verkleinerst, musst du den Zahlenwert allerdings vergrößern. Rechnest du also in die nächstkleinere Einheit um, musst du den Zahlenwert mit $1~000$ multiplizieren.

  Umgekehrt musst du beim Umrechnen in die nächstgrößere Einheit den Zahlenwert durch $1000$ teilen.

• Ermittle, ob die Volumen korrekt bestimmt wurden.

  Tipps

  Die Längeneinheiten Meter ($\text{m}$), Dezimeter ($\text{dm}$), Zentimeter ($\text{cm}$) und Millimeter ($\text{mm}$) kannst du in die nächstkleinere oder nächstgrößere Längeneinheit umrechnen, indem du den zugehörigen Zahlenwert mit $10$ multiplizierst oder durch $10$ dividierst.

  Beispielsweise kannst du $40~\text{mm}$ in Zentimeter umrechnen, indem du den Zahlenwert durch $10$ teilst. So erhältst du:

  $40~\text{mm}=4~\text{cm}$

  Lösung

  Die Längeneinheiten Meter ($\text{m}$), Dezimeter ($\text{dm}$), Zentimeter ($\text{cm}$) und Millimeter ($\text{mm}$) kannst du in die nächstkleinere oder nächstgrößere Längeneinheit umrechnen, indem du den zugehörigen Zahlenwert mit $10$ multiplizierst oder durch $10$ dividierst. Anschließend kannst du das Volumen wie gewohnt ausrechnen. Wenn nötig, kannst du die Volumeneinheit noch umformen. So bemerkst du, dass diese Volumenangaben falsch sind:

  „Ein Quader mit den Kantenlängen $a=2~\text{cm}$, $b=12~\text{mm}$ und $c=30~\text{mm}$ hat ein Volumen von $V=7,40,~\text{cm}^3$“

  Hier erhältst du:

  $b=12~\text{mm}=1,2~\text{cm}$ und $c=30~\text{mm}=3~\text{cm}$

  Also erhältst du für das Volumen:

  • $V=2~\text{cm} \cdot 1,2~\text{cm} \cdot 3~\text{cm} = 7,2~\text{cm}^3$

  „Ein Quader mit den Kantenlängen $a=3~\text{m}$, $b=12~\text{dm}$ und $c=350~\text{cm}$ hat ein Volumen von $V=~1~260~000~\text{cm}^3$“

  Hier erhältst du für das Volumen:

  • $V=300~\text{cm} \cdot 120~\text{cm} \cdot 350~\text{cm} = 12~600~000~\text{cm}^3$

  Diese Volumen wurden korrekt berechnet:

  „Ein Quader mit den Kantenlängen $a=30~\text{cm}$, $b=12~\text{dm}$ und $c=35~\text{cm}$ hat ein Volumen von $V=0,126~\text{m}^3$“

  • $V=0,3~\text{m} \cdot 1,2~\text{m} \cdot 0,35~\text{m} =0,126~\text{m}^3$

  „Ein Quader mit den Kantenlängen $a=200~\text{cm}$, $b=12~\text{dm}$ und $c=30~\text{cm}$ hat ein Volumen von $720$ Litern.“

  • $V=20~\text{dm} \cdot 12~\text{dm} \cdot 3~\text{dm} =720~\text{dm}^3=720~\text{Liter}$