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Größter gemeinsamer Teiler (ggT) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

gemeinsamer Teiler, gemeinsames Vielfaches, Primfaktorzerlegung, ggT, kgV

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Größter gemeinsamer Teiler (ggT\text{ggT})

Ein Gärtner pflanzt 4545 Eichen und 2727 Kiefern. Pro Reihe soll nur eine Art mit der gleichen Anzahl Bäume stehen. Gesucht ist die größte Anzahl Bäume, die der Gärtner pro Reihe pflanzen kann.

Wald Baumreihe

Um in dieser Aufgabe die Bäume auf Reihen aufzuteilen, schauen wir uns die Teilermengen der Zahlen 4545 und 2727 an. Wir finden also die Teiler dieser Zahlen, durch die eine Division ohne Rest möglich ist. Die Zahl 11 ist Teiler jeder Zahl.

T45={1;3;5;9;15;45}T_{45} = \{1;3;5;9;15;45\}

T27={1;3;9;27}T_{27} = \{1;3;9;27\}

In beiden Teilermengen kommen die Zahlen 11, 33 und 99 vor.

Die größte dieser Zahlen heißt größter gemeinsamer Teiler und ist in diesem Beispiel 99. Somit können pro Reihe 99 Bäume gepflanzt werden. Der Gärtner hat dann fünf Reihen mit je 99 Eichen und drei Reihen mit je 99 Kiefern.

Unter den gemeinsamen Teilern von zwei oder mehreren Zahlen gibt es einen größten Teiler. Er heißt größter gemeinsamer Teiler dieser Zahlen, kurz ggT\text{ggT} genannt.

Schreibweise: ggT\text{ggT} von 2727 und 4545 wird geschrieben als ggT(27;45)\text{ggT}(27;45)

Möglichkeiten, den ggT\text{ggT} zu ermitteln

Wir betrachten drei Wege und legen das Beispiel ggT(12;40)\text{ggT}(12;40) zugrunde.

1. Möglichkeit

Wir können beide Teilermengen aufschreiben:

T12={1;2;3;4;6;12}T_{12} = \{1;2;3;4;6;12\}

T40={1;2;4;5;8;10;20;40}T_{40} = \{1;2;4;5;8;10;20;40\}

Die gemeinsamen Teiler von 1212 und 4040 sind 11, 22 und 44. Die Größte davon ist die 44, also ggT(12;40)=4\text{ggT}(12;40) = 4.

2. Möglichkeit

Als zweite Möglichkeit kann man auch die Teilermenge der kleineren Zahl aufschreiben:

T12={1;2;3;4;6;12}T_{12} = \{1;2;3;4;6;12\}

Wir prüfen, welcher Teiler davon der größte ist, der auch die 4040 teilt:

1212 ist kein Teiler von 4040, 66 auch nicht. Aber 44 ist ein Teiler, da die Division 40:440:4 ohne Rest möglich ist. Wir erhalten wieder ggT(12;40)=4\text{ggT}(12;40) = 4.

3. Möglichkeit

Als dritte Möglichkeit bietet sich die Primfaktorzerlegung an:

40=222540 = 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 5

12=22312 = 2\cdot 2\cdot 3

Den größten gemeinsamen Teiler ggT\text{ggT} finden wir, wenn wir die Primfaktoren, die sowohl in der Primfaktorzerlegung von 4040 als auch von 1212 vorkommen, multiplizieren. In diesem Fall erhalten wir also 22=42\cdot 2 = 4 und somit ggT(12;40)=4\text{ggT}(12;40) = 4.

4. Möglichkeit

Eine interessante rechnerische Möglichkeit, den ggT\text{ggT} zweier Zahlen zu bestimmen, bietet der Euklidische Algorithmus, bei dem man gerade bei größeren Zahlen schneller zum Ergebnis kommt.

Subtraktionskette

Bei der Subtraktionskette zieht man immer die kleinere von der größeren Zahl ab, bis schließlich der Subtrahend der Differenz entspricht.

Wir probieren das am Beispiel ggT(105;360)\text{ggT}(105;360) aus:

360105=255255105=150150105=4510545=606045=154515=303015=15\begin{array}{lll} 360 - 105 &=& 255 \\ 255 - 105 &=& 150 \\ 150 - 105 &=& 45 \\ 105 - 45 &=& 60 \\ 60 - 45 &=& 15 \\ 45 - 15 &=& 30 \\ 30 - 15 &=& 15 \end{array}

Somit ist ggT(105;360)=15\text{ggT}(105;360) = 15.

Divisionskette

Die Divisionskette verspricht einen noch schnelleren Weg zum Ziel. Dabei wird die kleinere Zahl immer durch den Rest geteilt. Dies wird so lange wiederholt, bis der Rest 00 ist.

  • 360:105=3360:105 = 3, der Rest ist 4545, dann
  • 105:45=2105:45 = 2, der Rest ist 1515 und
  • 45:15=345:15 = 3, der Rest ist schließlich 00

ggT(105;360)=15\text{ggT}(105;360) = 15

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV\text{kgV})

Auf eine Seite der Wippe werden Gewichte mit je 42 kg42 \text{ kg} gelegt, auf die andere Seite Stücke mit je 24 kg24 \text{ kg}. Welches Gewicht liegt mindestens auf jeder Seite, damit die Wippe im Gleichgewicht ist?

Wippe

Um herauszufinden, wie viele Gewichtsstücke auf jeder Seite zu platzieren sind, schauen wir uns die Vielfachenmengen der Zahlen 4242 und 2424 an:

V24={24;48;72;96;120;144;168;192;216;...}V_{24} = \{24;48;72;96;120;144;168;192;216;...\}

V42={42;84;126;168;210;252;...}V_{42} = \{42;84;126;168;210;252;...\}

In beiden Mengen befinden sich unendlich viele Vielfache, aber es gibt nur eine Zahl, die das kleinste gemeinsame Vielfache ist. In diesem Fall ist das die Zahl 168168, also liegen auf jeder Seite der Wippe mindestens 168 kg168 \text{ kg}. Demnach befinden sich auf der einen Seite sieben Gewichtsstücke mit je 24 kg24 \text{ kg} und auf der anderen Seite vier Gewichtsstücke mit je 42 kg42 \text{ kg}.

Unter den gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen gibt es ein kleinstes und es wird kurz mit kgV\text{kgV} bezeichnet.

Schreibweise: kgV\text{kgV} von 2424 und 4242 wird geschrieben als kgV(24;42)\text{kgV}(24;42)

Möglichkeiten, das kgV\text{kgV} zu ermitteln

Wir betrachten drei Wege und legen das Beispiel kgV(6;8)\text{kgV}(6;8) zugrunde.

1. Möglichkeit

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen, können wir zuerst Vielfachenmengen aufschreiben

V6={6;12;18;24;30;36;...}V_{6} = \{6;12;18;24;30;36;...\}

V8={8;16;24;32;40;48;...}V_{8} = \{8;16;24;32;40;48;...\}

Es folgt kgV(6;8)=24\text{kgV}(6;8) = 24.

2. Möglichkeit

Schneller geht es, wenn wir nur Vielfache der größeren Zahl bilden

81=88\cdot 1 = 8, was kein Vielfaches von 66 ist.

82=168\cdot 2 = 16, was kein Vielfaches von 66 ist.

83=248\cdot 3 = 24, was ein Vielfaches von 66 ist.

Also ist kgV(6;8)=24\text{kgV}(6;8) = 24

3. Möglichkeit

Wie schon bei der Bestimmung des ggT\text{ggT} kann uns auch beim kgV\text{kgV} die Primfaktorzerlegung von Nutzen sein. Wieder wird jede der Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegt. Wir schreiben die Primfaktoren untereinander. Nun markieren wir alle Primfaktoren der Zahl, bei der dieser Primfaktor am häufigsten vorkommt. Die markierten Primfaktoren multiplizieren wir miteinander:

6=236 = 2\cdot 3

8=2228 = 2\cdot 2\cdot 2

Es folgt also

kgV(6;8)=2223=24\text{kgV}(6;8) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3= 24

Anwendung in der Bruchrechnung

Es besteht eine Verbindung zwischen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen und der Bruchrechnung, wenn man beispielsweise das Kürzen betrachtet:

Der Bruch 3648\frac{36}{48} wird umständlich durch 22 gekürzt zu 1824\frac{18}{24},

dann gekürzt durch 33 zu 68\frac{6}{8} und schließlich durch 22 gekürzt zu 34\frac{3}{4}.

Dieses schrittweise Kürzen ist sehr umständlich und kann mithilfe des größten gemeinsamen Teilers und der Primfaktorzerlegung abgekürzt werden:

36=223336 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3

48=2222348 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3

ggT(36;48)=223=12\text{ggT}(36;48) = 2\cdot 2\cdot 3 = 12

Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen können wir den Hauptnenner schnell finden, wenn wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner bilden.

Für die Aufgabe 78+512\frac{7}{8} + \frac{5}{12} bilden wir folglich kgV(8;12)\text{kgV}(8;12).

Die Primfaktorzerlegung liefert:

8=2228 = 2\cdot 2\cdot 2

12=22312 = 2\cdot 2\cdot 3

Es folgt also kgV(8;12)=2223=24\text{kgV}(8;12) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 24

Zurück zu unserer Aufgabe bedeutet das:

78=2124\frac{7}{8} = \frac{21}{24}

512=1024\frac{5}{12} = \frac{10}{24}

2124+1024=3124=1724\frac{21}{24} + \frac{10}{24} = \frac{31}{24} = 1 \frac{7}{24}