Pommes der Pinguin hält einen großen gelben Stern in den Händen
Pommes der Pinguin hält einen großen gelben Stern in den Händen
30 Tage kostenlos testen
30 Tage kostenlos testen
Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor
Lernpakete anzeigen
Lernpakete anzeigen
Lernpakete anzeigen

Terme aufstellen

Terme sind Rechenausdrücke. In diesen kommen Zahlen, Variablen und Rechenzeichen vor. Ein solcher Rechenausdruck muss sinnvoll sein. Wenn du eine Textaufgabe bearbeiten möchtest, musst du Terme aufstellen.

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Was ist ein Term?

Ein Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck, in welchem

  • Zahlen,
  • Variablen,
  • Rechenzeichen und
  • Klammern vorkommen.

In einem Term kommen KEINE

  • Gleichheitszeichen (==) oder
  • Relationszeichen (>>, \ge, <<, \le) vor.

Was bedeutet „sinnvoll“? Wenn du für die Variablen Zahlen einsetzt, kannst du den Wert des Terms berechnen.

Beispiele

  • Eine Zahl oder eine Variable können durchaus alleine stehen. Sie sind dann auch ein Term, z.B. xx oder 55. Ein Rechenzeichen allein ist kein Term.
  • Du kannst ein Rechenzeichen auch als Vorzeichen, zum Beispiel 3-3 für eine negative Zahl, verwenden. Auch dies ist ein Term.
  • Umgekehrt, also 33-, liegt kein Term vor.
  • x+1x+1 ist ein Term. Er besteht aus der Variablen xx, dem Rechenzeichen ++ und der Zahl 11. Wenn du zum Beispiel für x=3x=3 einsetzt, erhältst du 3+1=43+1=4.
  • Terme können auch durchaus etwas umfangreicher sein: 3x(5y)+(2+x)(x+3)3x\cdot (5-y)+(2+x)\cdot(-x+3) ist auch ein Term.
  • Übrigens: 3x3x ist die abkürzende Schreibweise für 3x3\cdot x. Da hier klar ist, dass multipliziert werden muss, lässt man häufig das \cdot-Zeichen weg. Dies darfst du allerdings nicht bei einem Produkt von Zahlen machen: 24242\cdot 4\neq 24.

Merkhilfe

In der folgenden Abbildung siehst du, wie „Term-Plätzchen“ gebacken werden. Auf der rechten Seite wurde sich scheinbar nicht an das Rezept gehalten, was du unten im Bild erkennen kannst.

Merkhilfe_Plaetzchen

Was sind ergebnisgleiche Terme?

Man spricht von ergebnisgleichen Termen, wenn die Terme, egal welche Werte für die Variablen eingesetzt werden, immer das gleiche Ergebnis haben.

Ergebnisgleiche Terme sind:

  • x+0x+0 und xx, da die Addition von 00 nichts an einem Term ändert. Du schreibst dann x+0=xx+0=x.
  • Auch x+1x+1 und 1+x1+x sind ergebnisgleich. Du weißt sicher, dass du beim Addieren die Reihenfolge der Summanden vertauschen darfst. Das bezeichnet man als das Kommutativgesetz der Addition. Auch hier schreibst du x+1=1+xx+1=1+x.
  • 3x3-x und 2x+12-x+1 sind ergebnisgleich, da die beiden Zahlen im rechten Term zu 33 addiert werden können.

Nicht ergebnisgleich sind die folgenden Terme:

  • x1x-1 und 1x1-x, denn bei der Subtraktion darfst du Reihenfolge nicht vertauschen. Nehmen wir einmal an, die beiden Terme wären ergebnisgleich, dann kannst du für xx eine beliebige Zahl einsetzen und beide Terme haben den gleichen Wert. Probieren wir das doch einmal aus und setzen für x=3x=3 ein: 31=23-1=2 aber 13=21-3=-2. Du siehst, die Ergebnisse stimmen nicht überein.
  • 2x+22x+2 und 3x3x sind auch nicht ergebnisgleich. Zwar gilt für x=2x=2, dass der linke Term 22+2=62\cdot 2+2=6 und auch der rechte Term 32=63\cdot 2=6 ergibt, jedoch sind die Ergebnisse für alle anderen Werte für xx nicht gleich. Zum Beispiel für x=3x=3 ist 23+2=82\cdot 3+2=8, aber 33=93\cdot 3=9.

Aufstellen von Termen

Nachdem du nun weißt, was ein Term ist, lernst du nun, wie du einen solchen Term aufstellen kannst.

Das Aufstellen von Termen kannst du dir so vorstellen: Du hast eine Gegebenheit, welche du mit Hilfe von Zahlen und Variablen sowie Rechenzeichen und vielleicht auch Klammern darstellen sollst, ... also als Term.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Paul und seine Schwester

Paul ist 33 Jahre älter als seine Schwester.

  • Da das Alter von Pauls Schwester nicht bekannt ist, verwendest du die Variable xx. Du hättest auch einen anderen Buchstaben verwenden können.
  • Was bedeutet es nun, dass Paul 33 Jahre älter ist als seine Schwester? Du musst zu dem Alter der Schwester, also xx, die 33 addieren.
  • So kommst du zu dem Term x+3x+3.

Wenn du nun das Alter von Pauls Schwester kennst, zum Beispiel 55 Jahre, kannst du für x=5x=5 einsetzen und erhältst für den Term den Wert 5+3=85+3=8. Also ist Paul dann 88 Jahre alt.

Der Umfang eines Rechtecks

Bei einem Rechteck ist bekannt, dass die längere Seite doppelt so lang ist wie die kürzere. Wir verwenden für die Länge der kürzeren Seite die Variable xx.

942_Rechteck_1.jpg

Zunächst überlegen wir uns, was es bedeutet, dass die längere Seite doppelt so lang ist wie die kürzere. „Doppelt so lange“ entspricht der Multiplikation mit 22. Also kann dies durch den Term 2x2x dargestellt werden.

942_Rechteck_2.jpg

Sowohl die Variable xx selbst als auch 2x2x sind jeweils Terme.

Den Umfang des Rechtecks kannst du nun so berechnen:

  • Du gehst einmal die Seite der Länge xx entlang und dann die Seite der Länge 2x2x. Wie weit bist du bereits gegangen? Richtig: x+2xx+2x. Auch dies ist ein Term.
  • Gehe nun noch einmal die Seite der Länge xx. So erhältst du den Term x+2x+xx+2x+x.
  • Zuletzt gehst du die Seite der Länge 2x2x entlang.
  • Zusammen beträgt der Umfang also x+2x+x+2xx+2x+x+2x. Dies ist ebenfalls ein Term.

Wenn du zu einem xx zwei weitere xx dazutust und dann noch ein xx und noch einmal zwei xx, dann sind das zusammen 6x6x. Nun hast du wieder einen Term gefunden.

Die beiden Terme x+2x+x+2xx+2x+x+2x und 6x6x sind ergebnisgleich: x+2x+x+2x=6xx+2x+x+2x=6x.

Du kannst für xx jeden beliebigen Wert einsetzen. Du erhältst immer das gleiche Ergebnis. Wir probieren das einmal für einige Werte:

  • Für x=4x=4 erhältst du 4+24+4+24=24=644+2\cdot4+4+2\cdot 4=24=6\cdot 4.
  • Für x=12x=12 erhältst du 12+212+12+212=72=61212+2\cdot12+12+2\cdot 12=72=6\cdot 12.
  • Für x=5x=5 erhältst du 5+25+5+25=30=655+2\cdot5+5+2\cdot 5=30=6\cdot 5.
  • ...

Die Ergebnisgleichheit kannst du natürlich nicht durch Einsetzen nachweisen, dafür müsstest du unendlich viele Werte für xx einsetzen. Zum Nachweis formst du den Term wie folgt um.

x+2x+x+2x=6x3x+x+2x=6x4x+2x=6x6x=6x÷6x=x\begin{array}{rclcl} x+2x+x+2x&=&6x \\ 3x+x+2x&=&6x \\ 4x+2x&=&6x \\ 6x&=&6x&&|\div 6 \\ x&=&x \end{array}

Damit ist die Ergebnisgleicheit der Terme eindeutig bewiesen.