Additionsverfahren – Übung

Additionsverfahren – Übung Übung

• Beschreibe, wie man die Textaufgabe mithilfe eines linearen Gleichungssystems lösen kann.

  Tipps

  Damit ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, benötigen wir genauso viele Gleichungen wie Variablen.

  Die Lösung eines Gleichungssystem sind die Werte für die Variablen, in unserem Fall also für $k$ und $h$.

  Lösung

  Verfahren bei Textaufgaben:

  Textaufgaben, in denen zwei Größen gesucht werden, können häufig mit linearen Gleichungssystemen gelöst werden. Dazu werden die Angaben in zwei Gleichungen formuliert. Das lineare Gleichungssystem besteht dann aus diesen zwei Gleichungen, welche die beiden Unbekannten, also zwei Variablen, enthalten. So ist es auch in dieser Aufgabe. Somit gilt:

  Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir drei Gleichungen aufstellen. $\mapsto$ falsch

  Aufstellen des Gleichungssystems:

  Wir definieren zunächst die Variablen:
  $k$: Anzahl der Kühe
  $h$: Anzahl der Hühner

  Nun stellen wir das Gleichungssystem zu der Textaufgabe auf, und betrachten dazu die folgenden Angaben:
  Insgesamt gibt es $27$ Tiere. Also: $k+h=27$
  Und diese haben zusammen $78$ Beine. Da Kühe vier Beine und Hühner zwei Beine haben gilt: $4k+2h=78$. Also ist:

  Die Gleichung $2+4+k+h=78$ beschreibt die Gesamtzahl der Beine. $\mapsto$ falsch

  Wir können nun das zugehörige Gleichungssystem formulieren, es lautet:

  $\text{I}:~~k+h=27$

  $\text{II}:~~4k+2h=78$ $\mapsto$ richtig

  Lösen des Gleichungssystems:

  Bei diesem Gleichungssystem bietet sich zum Lösen das Additionsverfahren an, da $2h$ ein Vielfaches von $h$ ist.

  Um das Gleichungssystem zu lösen, wollen wir die beiden Gleichungen so addieren, dass eine Variable dabei wegfällt. $\mapsto$ richtig

  Dadurch können wir in unserem Fall erst die Variable $k$ berechnen. Anschließend setzen wir den ermittelten Wert in eine der beiden Gleichungen ein, und lösen nach $h$ auf.

  Wir berechnen erst die eine und dann die andere Variable. $\mapsto$ richtig

  Interpretation der Lösung:

  Wenn wir die Variablen $k$ und $h$ berechnet haben, ist das Gleichungssystem gelöst. Die Lösung entspricht also der Anzahl der auf dem Bauernhof lebenden Kühe ($k$) und der Anzahl der auf dem Bauernhof lebenden Hühner ($h$).

• Bestimme die Lösung des linearen Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren.

  Tipps

  Der erste Schritt beim Additionsverfahren ist es, die Gleichungen so anzupassen, dass die Koeffizienten einer Variable Gegenzahlen sind. Dazu können wir in unserem Fall eine der beiden Gleichungen mit einer ganzen Zahl multiplizieren.

  Als letzten Schritt können wir die Lösung des Gleichungssystems angeben.

  Lösung

  Das Additionsverfahren ist ein Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme. Ziel ist es dabei, die beiden Gleichungen so zu addieren, dass eine der Variablen wegfällt.

  Wir betrachten unser Beispiel:

  $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & k & +h & = & 27 \\ \text{II}: & 4k & +2h & = & 78 \\ \end{array}$

  Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $(-2)$ und erhalten:

  $\text{Ia}:~~-2k-2h=-54$

  Wir addieren das so entstandene Gleichungssystem:

  $\begin{array}{rrrrr} \text{Ia}: & -2k & -2h & = & -54 \\ \text{II}: & 4k & +2h & = & 78 \\ \hline \text{Ia}+\text{II}: & 2k & & = & 24 \\ \end{array}$

  Wir erhalten die Summe als neue Gleichung und bestimmen damit $k$:

  $\begin{array}{rrrrr} 2k & & = & 24 & |:2 \\ k & & = & 12 & \\ \end{array}$

  Wir setzen diesen Wert für $k$ in die erste Gleichung ein und lösen nach $h$ auf:

  $\begin{array}{rrrrr} k & +h& = & 27 & \\ 12 & +h& = & 27 & |-12 \\ & h & = & 15 & \\ \end{array}$

  Die Lösung des Gleichungssystems lautet:

  $k=12$; $h=15$

• Entscheide, bei welchen Gleichungssystemen sich das Additionsverfahren ohne weitere Umformungsschritte anbietet.

  Tipps

  $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & 2x & +3y & = & 4 \\ \text{II}: & 5x & -3y & = & 1 \\ \end{array}$

  Hier bietet sich das Additionsverfahren an, denn die Koeffizienten vor dem $y$ sind Gegenzahlen: $3$ und $-3$.

  Das Ziel des Additionsverfahrens ist es, die beiden Gleichungen so zu addieren, dass eine Variable dabei wegfällt. Dazu dürfen sich die Koeffizienten einer Variable in beiden Gleichungen nur im Vorzeichen unterscheiden.

  Lösung

  Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, können wir nicht nur das Additionsverfahren, sondern auch das Einsetzungs- oder das Gleichsetzungsverfahren anwenden. Alle Lösungsverfahren sind stets möglich. Häufig bietet sich jedoch eines der Verfahren an, um möglichst wenig umformen zu müssen.

  Das Ziel des Additionsverfahrens ist es, die beiden Gleichungen so zu addieren, dass eine Variable dabei wegfällt. Dazu dürfen sich die Koeffizienten einer Variable in beiden Gleichungen nur im Vorzeichen unterscheiden. Beispielsweise $2x$ und $-2x$. Ist dies bereits der Fall, bietet sich das Additionsverfahren an. Auch wenn man eine der beiden Gleichungen nur mit einer Zahl multiplizieren oder dividieren muss, ist das Additionsverfahren sinnvoll.

  Wir betrachten nach diesen Kriterien die gegebenen Gleichungssysteme:

  Beispiel 1:

  $\text{I}:~~4x+2y=7$

  $\text{II}:~~5y=3x-1$

  Hier ist kein Koeffizient der einen Gleichung ein Vielfaches der anderen Gleichung. Das Additionsverfahren bietet sich daher nicht an.

  Beispiel 2:

  $\text{I}:~~4x+y=6$

  $\text{II}:~~x-y=2$

  Hier unterscheidet sich der Koeffizient von $y$ nur im Vorzeichen: $y$ und $-y$ bzw. $1$ und $-1$. Das Additionsverfahren bietet sich an. Wir können die Gleichungen direkt addieren, die Variable $y$ fällt dabei weg.

  Beispiel 3:

  $\text{I}:~~y=3x+8$

  $\text{II}:~~4x+5y=9$

  Hier ist kein Koeffizient der einen Gleichung ein Vielfaches der anderen Gleichung. Das Additionsverfahren bietet sich daher nicht an.

  Beispiel 4:

  $\text{I}:~~1,5x=4$

  $\text{II}:~~2y-x=-2$

  Hier ist kein Koeffizient der einen Gleichung ein Vielfaches der anderen Gleichung. Das Additionsverfahren bietet sich daher nicht an. Da in der ersten Gleichung nur eine Variable vorkommt, können wir ihren Wert direkt berechnen und dann in die zweite Gleichung einsetzten.

  Beispiel 5:

  $\text{I}:~~-3x+y=0$

  $\text{II}:~~3x+2y=-2$

  Hier unterscheidet sich der Koeffizient der Variable $x$ nur im Vorzeichen: $3$ und $-3$. Das Additionsverfahren bietet sich an. Wir können die Gleichungen direkt addieren, dabei fällt die Variable $x$ weg.

  Beispiel 6:

  $\text{I}:~~3=-2x+4y$

  $\text{II}:~~x-4y=1$

  Hier ist es sinnvoll, die Gleichungen erst so zu ordnen, dass gleiche Variablen untereinanderstehen:

  $\text{I}:~~-2x+4y=3$

  $\text{II}:~~x-4y=1$

  Wir erkennen, dass sich die Koeffizienten von $y$ nur im Vorzeichen unterscheiden: $4$ und $-4$. Das Additionsverfahren bietet sich an. Wir können die Gleichungen addieren, wobei die Variable $y$ wegfällt.

• Berechne die Lösung des linearen Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren.

  Tipps

  Multipliziere die zweite Gleichung so, dass der Koeffizient von $x$ die Gegenzahl von $2$ ist. Achte beim Multiplizieren der Gleichung darauf, dass du alle Zahlen und Koeffizienten mit dieser Zahl multiplizierst.

  Bei der Probe setzen wir die berechneten Werte für $x$ und $y$ in die beiden Ausgangsgleichungen ein. Wenn bei beiden Gleichungen eine wahre Aussage, wie z.B. $3=3$ entsteht, sind die Lösungen korrekt.

  Lösung

  Das Additionsverfahren ist ein Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme. Das Ziel ist es dabei, die beiden Gleichungen so zu addieren, dass eine Variable dabei wegfällt.

  Wir betrachten unser Beispiel:

  $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & 2x & -3y & = & 13 \\ \text{II}: & -x & +2y & = & -8 \\ \end{array}$

  Damit beim Addieren eine der beiden Variablen wegfällt, dürfen sich die Koeffizienten einer Variable in beiden Gleichungen nur im Vorzeichen unterscheiden. Wir multiplizieren dazu die zweite Gleichung mit $2$. Dabei achten wir darauf, alle Zahlen und Koeffizienten mit $2$ zu multiplizieren. Wir erhalten:

  $\text{IIa}:~~-2x+4y=-16$

  Wir addieren das so entstandene Gleichungssystem:

  $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & 2x & -3y & = & 13 \\ \text{IIa}: & -2x & +4y & = & -16 \\ \hline \text{I}+\text{IIa}: & & y& = &-3 \\ \end{array}$

  Wir setzen diesen Wert in die zweite Gleichung ein und lösen nach $x$ auf:

  $\begin{array}{rrrrr} -x & +2 \cdot (-3)& = & -8 & \\ -x & -6& = & -8 &|+x \\ & -6& = & -8+x & |+8 \\ & 2 & = & x & \\ \end{array}$

  Die Lösung des Gleichungssystems ist also:

  $x=2$; $y=-3$

  Um zu überprüfen, ob wir richtig gerechnet haben, führen wir die Probe durch:

  Wir setzen in die erste Gleichung ein:

  $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & 2x & -3y & = & 13 \\ & 2 \cdot 2 & -3 \cdot (-3) & = &13 \\ &4 & +9 & = &13 \\ & & 13 & = &13 \\ \end{array}$

  Wir setzen in die zweite Gleichung ein:

  $\begin{array}{rrrrr} \text{II}: & -x & +2y & = & -8 \\ & -2 & +2 \cdot (-3) & = &-8 \\ &-2 & -6 & = &-8 \\ & & -8 & = &-8 \\ \end{array}$

  Die Lösung ist also richtig.

• Addiere jeweils die beiden Gleichungen.

  Tipps

  Wir gehen dabei genauso vor wie beim schriftlichen Addieren von großen Zahlen: Wir schreiben die beiden Gleichungen "stellengerecht" untereinander, also so, dass gleiche Variablen untereinander stehen. Wir addieren dann die Koeffizienten der jeweiligen Variablen. Dabei müssen wir auf negative Vorzeichen achten.

  Beispiel:

  $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & 2x & +3y & = & 4 \\ \text{II}: & 5x & -3y & = & 1 \\ \hline \text{I}+\text{II}: &7x & & = & 5 \\ \end{array}$

  Lösung

  Der zentrale Rechenschritt beim Additionsverfahren ist das Addieren zweier Gleichungen. Wir gehen dabei genauso vor wie beim schriftlichen Addieren von großen Zahlen: Wir schreiben die beiden Gleichungen "stellengerecht" untereinander, also so, dass gleiche Variablen untereinander stehen. Wir addieren dann die Koeffizienten der jeweiligen Variablen. Dabei müssen wir auf negative Vorzeichen achten. Somit ergibt sich:

  Beispiel 1:
  $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & 4x & +4y & = & 8 \\ \text{II}: & 2x & -4y & = & 2 \\ \hline \text{I}+\text{II}: & 6x & & = & 10 \\ \end{array}$

  Beispiel 2:
  $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & -2x & +y & = & -3 \\ \text{II}: & 2x & +3y & = & 1 \\ \hline \text{I}+\text{II}: & &4y & = & -2 \\ \end{array}$

  Beispiel 3:
  $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & x & -y & = & 11 \\ \text{II}: & 2x & -y & = & 2 \\ \hline \text{I}+\text{II}: & 3x & & = & 13 \\ \end{array}$

  Beispiel 4:
  $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & -1,5x & +2y & = & 3 \\ \text{II}: & 3x & -2y & = & 1,5 \\ \hline \text{I}+\text{II}: & 1,5x & & = & 4,5 \\ \end{array}$

• Erstelle ein lineares Gleichungssystem und löse es anschließend.

  Tipps

  In einem Hostel gibt es $5$-Bett-Zimmer und $3$-Bett-Zimmer. Wenn insgesamt $59$ Gäste im Hostel schlafen können, gilt:

  $5a+3b=59$

  mit:

  • $a$: Anzahl der $5$-Bett-Zimmer
  • $b$: Anzahl der $3$-Bett-Zimmer

  Du kannst das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren lösen. Dazu multiplizierst du zuerst die zweite Gleichung mit $-2$.

  Lösung

  Wir formulieren zuerst das Gleichungssystem:

  Insgesamt können $64$ Personen auf dem Bauernhof übernachten. Da in jedem Familien-Bungalow $4$ Personen und in jedem Paar-Bungalow $2$ Personen übernachten, gilt:
  $4f+2p=64$

  Außerdem gibt es insgesamt $24$ Bungalows:
  $f+p=24$

  Wir erhalten das lineare Gleichungssystem:

  $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & 4f & +2p & = & 64 \\ \text{II}: & f & +p & = & 24 \\ \end{array}$

  Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit $-2$:

  $-2f-2p=-48$

  Wir addieren das so entstandene Gleichungssystem:

  $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & 4f & +2p & = & 64 \\ \text{II}: & -2f & -2p & = & -48 \\ \hline \text{I}+\text{II}: & 2f & & = & 16 \\ \end{array}$

  Die Summe ist: $2f=16$.

  Wir dividieren auf beiden Seiten durch $2$ und erhalten:

  $\begin{array}{rrrrr} 2f & & = & 16 & |:2 \\ f & & = & 8 & \\ \end{array}$

  Wir setzen diesen Wert in die zweite Gleichung ein und lösen nach $p$ auf:

  $\begin{array}{rrrrr} 2f & -p& = & 0 & \\ 2 \cdot 8 & -p& = & 0 & \\ 16 & -p& = & 0 & |+p \\ 16&&=& p & \\ \end{array}$

  Die Lösung des Gleichungssystems lautet:

  $f=8$; $p=16$

  Es gibt also $16$ Paar-Bungalows und $8$ Familien-Bungalows auf dem Bauernhof.