f(x) = a · x² – Einführung
Parabeln sind alltägliche mathematische Formen wie Hängebrücken und Wasserstrahlen. Der Koeffizient $a$ in $f(x)=ax^{2}$ beeinflusst ihre Form, zum Beispiel $a=1$ für die Normalparabel. Erfahre, wie $a$ die Parabel strecken, stauchen oder spiegeln kann. Bist du interessiert? Im folgenden Text wird dies und mehr erklärt!
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Grundlagen zum Thema f(x) = a · x² – Einführung
Einführung: Parabeln im Alltag
Parabeln begegnen dir häufig in alltäglichen Formen, z. B. bei einer Hängebrücke oder einem Wasserstrahl. Die Form der Parabel unterscheidet sich dabei jedoch. Diese können wir mathematisch in der Funktionsgleichung $f(x)=ax^{2}$ durch den Koeffizienten $a$ anpassen. Aber was ist der Koeffizient $a$? Um dies zu beantworten, wird im Folgenden der Koeffizient $a$ in Mathe einfach erklärt.
Die Normalparabel
Wir betrachten zunächst die quadratische Funktion $f(x)=x^{2}$. Hier ist der Koeffizient $a=1$. Um den Graphen der Funktion zu zeichnen, erstellen wir zunächst eine Wertetabelle:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
Wir können die Wertepaare in ein Koordinatensystem einzeichnen und verbinden dann die Punkte zu einer Parabel, der Normalparabel:
Es handelt sich hierbei um eine Parabel, die ihren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung hat, nach oben geöffnet ist und symmetrisch zur $y$-Achse verläuft.
Welche Auswirkungen hat der Koeffizient a auf das Aussehen der Parabel?
Wir betrachten im Folgenden verschiedene Werte für den Koeffizient $a$ und ihre Auswirkungen auf den Funktionsgraphen:
Streckung der Normalparabel entlang der y-Achse
Wir betrachten als Beispiel eine Parabel mit Koeffizienten $a=2$. Wir verwenden also die Funktionsgleichung $f(x)=2x^{2}$. Wieder erstellen wir eine Wertetabelle:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ |
Wir zeichnen die Parabel zu der Normalparabel in das Koordinatensystem ein:
Wir erkennen, dass die Parabel schmaler ist als die Normalparabel. Wir sagen auch: Die Parabel ist entlang der $y$-Achse gestreckt.
Für positive $a$ gilt allgemein: Je größer $a$ ist, umso schmaler ist die Parabel.
Stauchung der Normalparabel entlang der y-Achse
Wir zeichnen nun die Funktion $f(x) = 0,5x^{2}$ mithilfe einer Wertetabelle in das Koordinatensystem ein:
Wir erkennen, dass die Parabel breiter ist als die Normalparabel. Wir sagen auch: Die Parabel ist entlang der $y$-Achse gestaucht.
Für positive $a$ gilt allgemein: Je kleiner $a$ ist, umso breiter ist die Parabel.
Spiegelung der Normalparabel an der x-Achse
Wir wählen nun einen negativen Koeffizienten $a$ und zeichnen als Beispiel die Funktion
Wir erkennen, dass die Parabel im Vergleich zur Normalparabel schmaler und an der $x$-Achse gespiegelt ist.
Allgemein gilt: Ist der Koeffizient $a$ negativ, so ist die Parabel gegenüber der Normalparabel an der $x$-Achse gespiegelt.
Zusammenfassung: f(x) = ax²
Wir können also die Funktionsgraphen der Funktion $f(x)=ax^{2}$ wie folgt unterscheiden:
- Für $a=1$ handelt es sich um die Normalparabel.
- Für $a\gt1$ ist die Parabel schmaler als die Normalparabel.
- Für $0 \lt a \lt 1$ ist die Parabel breiter als die Normalparabel.
- Für $a=-1$ ist die Normalparabel an der $x$-Achse gespiegelt.
- Für $a \lt -1$ ist die Parabel schmaler als die Normalparabel und an der $x$-Achse gespiegelt.
- Für $-1 \lt a \lt 0$ ist die Parabel breiter als die Normalparabel und an der $x$-Achse gespiegelt.
Die Wahl des Koeffizienten $a$ bestimmt also die Form der Parabel.
Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Quadratische Funktionen der Form f(x) = a·x².
Transkript f(x) = a · x² – Einführung
Vielleicht ist es dir noch nicht aufgefallen, aber Parabeln begegnen dir oft im Alltag. Allerdings können alle diese Parabeln etwas anders aussehen. Hmm. Ob sich das mathematisch erklären lässt? Schauen wir uns hierfür doch quadratische Funktionen der Form f(x)=ax Quadrat an. Betrachten wir aber zunächst die quadratische Funktion f(x)=x Quadrat. Wir erstellen hierfür eine Wertetabelle. Dafür setzen wir in unsere Funktionsgleichung die x-Werte -2, -1, 0, 1 und 2 ein und berechnen die zugehörigen Funktionswerte. Diese sind 4, 1, 0, 1 und 4. Diese Wertepaare können wir in ein Koordinatensystem eintragen... und die Punkte verbinden, wir erhalten diese Parabel. Doch wie kommt es nun, dass Parabeln unterschiedlich aussehen können? Die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion lautet f(x)=ax²+bx+c. Sie setzt sich aus dem quadratischen Glied, dem linearen Glied und dem Absolutglied zusammen. Bei der Funktionsgleichung f(x)=x² haben wir nur das quadratische Glied, also einen Spezialfall, bei dem die Koeffizienten b und c gleich Null sind. Wir können erkennen, dass in unserem Beispiel f(x)=x Quadrat der Koeffizient a gleich 1 sein muss. Hier dargestellt ist die sogenannte Normalparabel. Sie ist der Graph der Funktion f(x)=x Quadrat. Es handelt sich hierbei um eine Parabel, die ihren Scheitelpunkt, hier also ihren tiefsten Punkt, im Koordinatenursprung hat und symmetrisch zur y-Achse verläuft. Was für einen Einfluss hat nun der Koeffizient a auf den Parabelverlauf? Wir betrachten hierfür den Fall, dass der Koeffizient a gleich 2 ist also die quadratische Funktion f(x)=2x Quadrat. Wieder erstellen wir uns eine Wertetabelle für dieselben x-Werte. Unsere Funktionsgleichung liefert uns diesmal die Funktionswerte 8, 2, 0, 2 und 8. Wir zeichen auch den zu dieser Funktion gehörenden Graphen. Wie hat die Veränderung des Koeffizienten a die Parabel beeinflusst? Im Vergleich zu der Normalparabel ist diese Parabel entlang der y-Achse gestreckt, man sagt auch, dass die Parabel schmaler ist. Wie wird der Graph wohl verlaufen, wenn wir den Koefizienten a erhöhen? Setzen wir zum Beispiel für den Koeffizienten a 3 ein. Hier ist der Graph zur Funktionsgleichung f(x)=3x Quadrat. Setzen wir für a 4 ein, sieht der Graph so aus die zugehörigen Funktionsgraphen werden also immer schmaler. Merke dir: für einen positiven Koeffizienten a: Je größer a wird, desto schmaler wird die jeweilige Parabel. Doch was geschieht, wenn der Koeffizient a kleiner ist als 1, zum Beispiel 0,5? stellen wir eine Wertetabelle für die Funktionsgleichung f(x)= 0,5 x Quadrat auf. Hierfür erhalten wir die Funktionswerte 2; 0,5; 0; 0,5 und 2 und zeichnen den zugehörigen Graphen in unser Koordinatensystem. Wir erhalten eine Parabel, welche gegenüber der Normalparabel entlang der y-Achse gestaucht ist, man sagt auch die Parabel ist breiter. Wie verändert sich diese Parabel nun, wenn der Koeffizient a noch kleiner gewählt wird? Hierfür setzen wir für a 0,4 ein dies ist der zugehörige Funktionsgraph. Wählen wir den Koeffizienten a gleich 0,3, so erhalten wir eine Parabel, welche nochmal breiter ist, als die zur Funktionsgleichung f(x)= 0,4 x Quadrat. Merke dir: für positive Koeffizienten a: Je kleiner der Koeffizient a wird, desto breiter wird die jeweilige Parabel. Nun haben wir allerdings nur positive Werte für den Koeffizienten a betrachtet. Was würde denn passieren, wenn a negativ wird? Wir wählen a gleich -0,5 und erstellen die zugehörige Wertetabelle. Nun können wir die Parabel zeichnen. Diese ist, im Vergleich zur Normalparabel, an der x-Achse gespiegelt und verläuft breiter, ist also entlang der y-Achse gestaucht. Wir untersuchen noch die Parabel zur Funktion f(x)=-2x Quadrat. Auch hier stellen wir die zugehörige Wertetabelle auf. Wie sieht nun der zugehörige Funktionsgraph aus? Dieser ist eine Parabel, welche im Vergleich zur Normalparabel an der x-Achse gespiegelt ist und schmaler verläuft. Merke dir: Ist der Koeffizient a negativ, so ist die jeweilige Parabel an der x-Achse gespiegelt. Lass uns unsere Feststellungen noch einmal zusammenfassen. Quadratische Funktionen der Form f(x)=ax Quadrat sind spezielle quadratische Funktionen, deren Funktionsgraphen durch den Koordinatenursprung verlaufen und welche zur y-Achse symmetrisch sind. Der Koeffizient a der quadratischen Funktion f(x)=ax Quadrat wird auch als Streckfaktor bezeichnet. Ist dieser gleich 1, so liegt die sogenannte Normalparabel vor. Diese hat ihren Scheitel im Koordinatenursprung und ist nach oben geöffnet. Ist der Streckfaktor größer als 1, wie zum Beispiel bei der Funktion f(x) =2 x Quadrat so ist die Parabel gegenüber der Normalparabel schmaler. Für einen positiven Streckfaktor, zwischen 0 und 1, wie zum Beispiel bei der Funktion f(x) =0,5 x Quadrat ist die Parabel breiter als die Normalparabel. Ist der Koeffizient a negativ, so liegt eine zur x-Achse gespiegelte Parabel vor. Für den Streckfaktor a gleich -1, wird die Normalparabel an der x-Achse gespiegelt. Auch diese Funktion wird manchmal als eine Normalparabel bezeichnet. Für einen Streckfaktor kleiner als -1, wie zum Beispiel bei f(x) = -2 x Quadrat, ist die Parabel im Vergleich zur nach unten geöffneten Normalparabel schmaler. Liegt a zwischen -1 und 0, wie zum Beispiel bei der Funktion f(x) = -0,5 x Quadrat, so ist die Parabel gegenüber der nach unten geöffneten Normalparabel breiter. Die Wahl des Koeffizienten a hat also eine große Auswirkung auf das Aussehen der Parabel. Außerdem hat der Koeffizient Einfluss darauf, ob die Parabel schmaler oder breiter verläuft. Die Wahl des richtigen Koeffizienten hat hier wohl nicht funktioniert.
f(x) = a · x² – Einführung Übung
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Vervollständige den Lückentext.
TippsDieser Graph gehört zu der Funktionsgleichung $f(x)=-x^2$.
Gestauchte Parabeln verlaufen breiter als die Normalparabel und gestreckte Parabeln schmaler.
LösungParabeln vom Typ $f(x)=a\cdot x^2$ haben alle ihren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung und sind symmetrisch zur $y$-Achse. Wir teilen sie in verschiedene Kategorien ein:
Parabeln $f(x)=a\cdot x^2$ mit positivem Parameter $a$ liegen stets oberhalb der $x$-Achse und sind nach oben geöffnet.
Die Normalparabel hat die Funktionsgleichung $f(x)=x^2$. Hier ist der Vorfaktor $a=1$. Sie liegt somit oberhalb der $x$-Achse und ist nach oben geöffnet.
Eine gestauchte Parabel ist breiter als die Normalparabel. Für ihren Parameter $a$ gilt $0 < a < 1$, falls sie oberhalb der $x$-Achse liegt.
Eine gestreckte Parabel hingegen ist schmaler als die Normalparabel. Liegt sie oberhalb der $x$-Achse, so gilt $a > 1$ für den Parameter $a$.
Bei einem negativen Parameter $a$ nennen wir eine Parabel $f(x)=a\cdot x^2$ an de $x$-Achse gespiegelt. Der Graph einer solchen Parabel liegt unterhalb der $x$-Achse und ist somit nach unten geöffnet. Für das Stauchen und Strecken gilt in diesem Fall:
- Für Parameter $a$ mit $-1 < a < 0$ ist der Graph gestaucht, also breiter.
- Für Parameter $a$ mit $a < -1$ liegt der Graph gestreckt, also schmaler vor.
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Gib wieder, welche quadratische Funktionsgleichung zu welcher Parabel gehört.
TippsDu betrachtest Funktionsgleichungen der Form $f(x)=ax^2$. Ist der Parameter $a$ negativ, so ist der zugehörige Funktionsgraph gegenüber der Normalparabel an der $x$-Achse gespiegelt.
Für Graphen mit positivem Parameter $a$, die breiter an der $y$-Achse verlaufen als die Normalparabel, gilt $0 < a < 1$.
LösungNormalparabel$~f(x)=x^2$
Die Normalparabel, welche hier abgebildet ist, hat die Funktionsgleichung $f(x)=x^2$. Der Parameter ist hier $a=1$.
Parabel$~f(x)=4x^2$
Für Graphen, die oberhalb der $x$-Achse verlaufen, gilt $a > 0$. Verlaufen diese zusätzlich schmaler als die Normalparabel mit der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$, so ist der Graph in Richtung der $y$-Achse gestreckt. Für eine solche Funktion gilt $a > 1$. Diese Eigenschaften treffen auf die Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x)=4x^2$ zu.
Parabel$~f(x)=0,5x^2$
Verlaufen Parabeln oberhalb der $x$-Achse breiter als die Normalparabel mit der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$, so ist der Graph in Richtung der $y$-Achse gestaucht. Für eine solche Funktion gilt $0 < a < 1$. Diese Eigenschaften treffen auf die Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x)=0,5x^2$ zu.
Parabel$~f(x)=-2x^2$
Der Graph, der durch die Funktionsgleichung $f(x)=-2x^2$ beschrieben wird, ist gegenüber der Normalparabel an der $x$-Achse gespiegelt. Hier gilt ja auch $a < 0$. Außerdem verläuft der Graph schmaler als die gespiegelte Normalparabel. Das liegt daran, dass mit $a=-2$ der Fall $a < -1$ vorliegt. Der Graph ist also in Richtung der $y$-Achse gestreckt.
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Entscheide, welche quadratische Funktionsgleichung zu welcher Parabel gehört.
Tipps$a < -1$ bedeutet Streckung in Bezug auf die $y$-Achse und Spiegelung an der $x$-Achse.
$0 < a < 1$ bedeutet, dass der Graph breiter als die Normalparabel verläuft.
LösungBei $f_1$ ist $a > 0$. Daher kommen hier nur der gelbe und der grüne Graph infrage, da diese nach oben geöffnet sind. Weil hier $a=2,5$ ist, verläuft der Graph schmaler als die Normalparabel. Deshalb kommt nur der gelbe Graph infrage.
Bei $f_2$ ist $a > 0$. Darum kommen hier auch nur der gelbe und der grüne Graph infrage, da diese nach oben geöffnet sind. Weil hier $a=0,75$ ist, verläuft der Graph breiter als die Normalparabel. Deswegen kommt nur der grüne Graph infrage.
Für $f_3$ ist der Parameter $a<0$. Daher kommen hier nur der rote und der blaue Graph infrage, da diese nach unten geöffnet sind. Weil hier $a=-0,1$ ist und damit der Fall $-1 < a < 0$ vorliegt, verläuft der Graph breiter als die gespiegelte Normalparabel. Deshalb kommt nur der rote Graph infrage.
Für $f_4$ ist der Parameter $a < 0$. Darum kommen hier ebenfalls nur der rote und der blaue Graph infrage, da diese nach unten geöffnet sind. Weil hier $a=-1,5$ ist und damit der Fall $a < -1$ vorliegt, verläuft der Graph schmaler als die gespiegelte Normalparabel. Deswegen kommt nur der blaue Graph infrage.
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Bestimme die Eigenschaften der gegebenen vier Parabeln.
TippsDie Parabel zur Funktionsgleichung $f(x)=0,1 \cdot x^2$ ist nach oben geöffnet und in Richtung der $y$-Achse gestaucht.
Ist der Parameter $a$ negativ, verläuft der Graph der Funktion $f(x)=ax^2$ unterhalb der $x$-Achse.
LösungBei quadratischen Funktionen der Form $f(x)=ax^2$ bestimmt der Wert des Parameters $a$ maßgeblich den Verlauf des Funktionsgraphen. Wir betrachten die abgebildeten Parabeln:
- Parabel Nummer 1 ist nach oben geöffnet und verläuft breiter als die Normalparabel. Daher gilt hier:
- Parabel Nummer 2 ist in Bezug auf die $y$-Achse gestreckt. Es gilt deshalb:
- Parabel Nummer 3 ist nach unten geöffnet. Sie verläuft steiler als die Normalparabel. Darum gilt hier:
- Im Gegensatz dazu gilt für Parabel Nummer 4:
Alle abgebildeten Parabeln haben ihren Scheitelpunkt im Ursprung und verlaufen symmetrisch zur y-Achse.
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Erstelle Wertetabellen zu den quadratischen Funktionen $f$ und $g$.
TippsBeim Quadrieren einer negativen Zahl wird diese positiv. Zum Bespiel ergibt sich $(-2)^2=4$.
Wenn man eine negative Zahl, z. B. $-2$, für $x$ in eine Gleichung wie $f(x)=2x^2 \ $ einsetzt, kann man zur Hilfe zunächst einmal Klammern um die $(-2)$ setzen, damit man nicht vergisst, dass sich das Quadrat auch auf das Vorzeichen bezieht.
Wenn man den Term $2 \cdot (-2)^2$ ausrechnet, muss man zunächst $-2$ quadrieren, also $(-2)^2=4$, und anschließend das Ergebnis mit $2$ multiplizieren, also $2 \cdot 4=8$.
LösungWertetabelle für: $~f(x)=2x^2$
Setzt man $-2$ für $x$ ein, erhält man $2 \cdot (-2)^2=2 \cdot 4=8$. Wir können also $8$ in die Tabelle eintragen.
Setzt man $-1$ für $x$ ein, erhält man $2 \cdot (-1)^2=2 \cdot 1=2$.
Für $x=0$ erhält man für alle Funktionen der Form $f(x)=ax^2$ den Wert $0$. Ebenso für $2 \cdot 0^2=2 \cdot 0=0$.
Setzt man $1$ für $x$ ein, erhält man $2 \cdot 1^2=2 \cdot 1=2$.
Wertetabelle für: $~g(x)=-x^2$
Setzt man $-2$ für $x$ ein, erhält man $(-1) \cdot (-2)^2=(-1) \cdot 4=-4$. Wir können also $-4$ in die Tabelle eintragen.
Setzt man $-1$ für $x$ ein, erhält man $(-1) \cdot (-1)^2=(-1) \cdot 1=-1$.
Für $x=0$ erhält man wieder $(-1) \cdot (0)^2=(-1) \cdot 0=0$.
Setzt man $1$ für $x$ ein, erhält man $(-1) \cdot (1)^2=(-1) \cdot 1=-1$.
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Leite ab, welche Funktionsgleichung zu welchem Punkt im Koordinatensystem gehört.
TippsSchaue dir ein Beispiel an. Wir betrachten den Punkt $P(2\vert -1)$:
$ \begin{array}{lllll} & a \cdot 2^2 &=& -1 & \\ & 4 \cdot a &=& -1 & \vert :4\\ & a &=& -\frac 14 & \end{array}$
LösungFunktionsgleichung der Parabel durch $P_1(-1 \mid 2)$:
Wir setzen den Punkt $P_1(-1 \mid 2)$ in die Funktionsgleichung $f(x)=ax^2$ ein und erhalten:
$ \begin{array}{lllll} & a \cdot (-1)^2 &=& 2 & \\ & 1 \cdot a &=& 2 & \\ & a &=& 2 & \end{array}$
Die Parabel zu der Funktionsgleichung $f(x)=2x^2$ ist die einzige Parabel der Form $f(x)=ax^2$, auf der der Punkt $P_1(-1 \mid 2)$ liegt.
Funktionsgleichung der Parabel durch $P_2(1 \mid 0,5)$:
Wir setzen den Punkt $P_2(1 \mid 0,5)$ in die Funktionsgleichung $f(x)=ax^2$ ein und erhalten:
$ \begin{array}{lllll} & a \cdot 1^2 &=& 0,5 & \\ & 1 \cdot a &=& 0,5 & \\ & a &=& 0,5 & \end{array}$
Die Parabel zu der Funktionsgleichung $f(x)=0,5x^2 $ ist die einzige Parabel der Form $f(x)=ax^2$, auf der der Punkt $P_2(1 \mid 0,5)$ liegt. Da $0 < a < 1$ gilt, ist die Parabel im Bezug auf die $y$-Achse gestaucht.
Funktionsgleichung der Parabel durch $P_3(2 \mid -4)$:
Wir setzen den Punkt $P_3(2 \mid -4)$ in die Funktionsgleichung $f(x)=ax^2$ ein und erhalten:
$ \begin{array}{lllll} & a \cdot 2^2 &=& -4 & \\ & 4 \cdot a &=& -4 & \vert :4 \\ & a &=& -1 & \end{array}$
Die Parabel zu der Funktionsgleichung $f(x)=-x^2$ ist die einzige Parabel der Form $f(x)=ax^2$, auf der der Punkt $P_3(2 \mid -4)$ liegt. Da $a < 0$ gilt, ist die Parabel nach unten geöffnet.
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Hallo Jin, um die Funktionswerte in der Wertetabelle nachzuvollziehen, musst du nur die entsprechenden x-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen. Diese werden zunächst quadriert und dann halbiert. Für x=2 erhalten wir also f(2)=0,5*2^2 und somit 2 als y-Wert. Ich hoffe das hilft dir weiter, liebe Grüße aus der Redaktion!
Gut beschrieben aber eine frage: bei 3:49, warum ist bei 2=2 aber 1=0,5 weil man muss doch alles mit 0,5 mal nehmen oder nicht? also waehre es nicht 2=1???
Schonmal danke fuer die erklaerung
Sehr gut erklärt, auch wenn ich manches noch nicht gleich verstehe
war ganz gut erklärt 👍🏻
tolles video