Flächeninhalt und Umfang des Trapezes

Flächeninhalt und Umfang des Trapezes Übung

• Bestimme den Umfang und Flächeninhalt von Trapezen.

  Tipps

  Der Umfang eines Vierecks ist die Summe seiner Seitenlängen.

  In die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes gehen die beiden parallelen Seiten und die zugehörige Höhe ein.

  Bei diesem rechtwinkligen Trapez ist die Seite $d$ zugleich die Höhe zu den parallelen Seiten $a$ und $c$. Die Formel für den Flächeninhalt lautet daher:

  $A = \frac{1}{2} \cdot d \cdot (a+c)$

  Lösung

  Der Umfang eines Trapezes ist die Summe seiner vier Seitenlängen. Bezeichnet man die Seiten wie üblich mit $a$, $b$, $c$ und $d$, so gilt für den Umfang $U$ die Formel:

  $U = a+b+c+d$

  Ein Trapez mit den Seiten $a = 100~\text{km}$ und $b = d = 50~\text{km}$ und $c=40~\text{km}$ hat daher den Umfang:

  $U = 100~\text{km} + 50~\text{km} + 40~\text{km} + 50~\text{km} = 240~\text{km}$

  Um den Flächeninhalt eines Trapezes berechnen zu können, benötigt man die Länge der beiden parallelen Seiten und die zugehörige Höhe. Bezeichnet man die beiden parallelen Seiten mit $a$ und $c$ und die Höhe mit $h$, lautet die Formel für den Flächeninhalt:

  $A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (a+c)$

  Ein Trapez mit den parallelen Seiten $a = 100~\text{km}$ und $c = 40~\text{km}$ und der Höhe $h = 40~\text{km}$ hat daher den Flächeninhalt:

  $A = \frac{1}{2} \cdot 40~\text{km} \cdot (100~\text{km} + 40~\text{km}) = 2 800~\text{km}^2$

• Beschreibe die Berechnung von Umfang und Flächeninhalt des Trapezes.

  Tipps

  Der Umfang eines Vierecks ist die Strecke, die du zurückgelegt hast, wenn du alle Kanten abgelaufen bist.

  Bei einem Parallelogramm mit den nicht parallelen Seiten $a$ und $b$ ist der Umfang:

  $U = a+b+c+d = 2a +2b$

  Der Flächeninhalt eines Trapezes ist halb so groß wie der des Parallelogramms, das du aus zwei solcher Trapeze, die um $180^\circ$ gegeneinander verdreht sind, erhältst.

  Lösung

  Dr. Kepler baut mit ihrem Team einen Schutzschild gegen Meteoriteneinschläge. Sie hat herausgefunden, dass ein solcher Schutzschild die Form eines Trapezes haben sollte: Dies ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten. Man bezeichnet die Seiten eines Vierecks üblicherweise alphabetisch gegen den Uhrzeigersinn mit den Buchstaben $a$, $b$, $c$ und $d$. Der Umfang eines jeden Vierecks ist die Summe seiner Seitenlängen. Du kannst den Umfang $U$ des Trapezes mit den Seiten $a$, $b$, $c$ und $d$ daher mit folgender Formel berechnen:

  $U = a + b + c + d$

  Bei einem symmetrischen Trapez wie dem oben im ersten Bild sind stets zwei Seiten gleich lang, nämlich die beiden nicht parallelen Seiten. In dem Bild oben sind das die Seiten $b$ und $d$. Sind die Seiten $a = 100~\text{km}$ und $b = 50~\text{km}$ und $c=40~\text{km}$ gegeben, kannst du den Umfang bereits ausrechnen. Denn mit $d=b$ ist auch $d=50~\text{km}$. Der Umfang ist also:

  $U = 100~\text{km} + 50~\text{km} + 40~\text{km} + 50~\text{km} = 240~\text{km}$

  Um den Flächeninhalt eines Trapezes auszurechnen, musst du die Länge der beiden parallelen Seiten und ihren senkrechten Abstand kennen. Dieser senkrechte Abstand heißt Höhe des Trapezes. Der Flächeninhalt ist dann das Produkt der Höhe $h$ und der Hälfte der Summe der parallelen Seiten. Sind die Seiten $a$ und $c$ wie hier im Bild parallel, so lautet die Formel für den Flächeninhalt:

  $A = \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$

  Du kannst diese Formel begründen, indem du sie auf die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms oder eines Rechtecks zurückführst.
  Dazu drehst du eine Kopie des Trapezes um $180^\circ$ und legst sie an das vorgegebene Trapez wie im Bild. Zusammengelegt ergeben die beiden Trapeze ein Parallelogramm. Den Flächeninhalt des Parallelogramms kannst du ausrechnen, indem du an einer Ecke eine Höhe einzeichnest, die mit einer Seite, auf der sie nicht senkrecht steht, ein Dreieck bildet. Dieses Dreieck kannst du abschneiden und auf der anderen Seite des Parallelogramms gedreht wieder ansetzen. So erhältst du ein Rechteck. Dieses Rechteck hat den gleichen Flächeninhalt wie das Parallelogramm und es hat die Seiten $h$ und $(a+c)$. Da das Parallelogramm aus zwei Trapezen ohne Überdeckungen zusammengesetzt wurde, ist sein Flächeninhalt genau doppelt so groß wie der eines Trapezes.

• Bestimme den Umfang und Flächeninhalt.

  Tipps

  Bei einem rechtwinkligen Trapez ist eine der Seiten zugleich eine Höhe.

  Verwende zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes die Formel $A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (a+c)$. Hierbei sind $a$ und $c$ die zueinander parallelen Seiten und $h$ die zugehörige Höhe.

  Lösung

  Dr. Kepler und ihr Team benutzen für die Berechnung der Fläche $A$ und des Umfangs $U$ des Schutzschildes folgende Formeln:

  $U= a+b+c+d$

  $A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (a+c)$

  Mit diesen Formeln berechnen sie zu jedem der abgebildeten Trapeze den Umfang und Flächeninhalt:

  Rechtwinkliges Trapez

  Bei einem rechtwinkligen Trapez ist eine Seite zugleich eine Höhe, in diesem Bild die Seite $b$. Daher ist $A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (a+c)$ die angepasste Formel für den Flächeninhalt.

  Die Rechnungen lauten demnach:

  $U = 30 + 24 + 18 + 21 = 93$

  $A = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot (30 + 18) = 504$

  Symmetrisches Trapez horizontal

  Bei einem symmetrischen Trapez sind die beiden gegenüberliegenden, nicht parallelen Seite gleich lang. In diesem Bild sind dies die Seiten $b$ und $d$. Es ist also $b=d$ und die Formel für den Umfang lautet somit $U = a+b+c+b = a+2b+c$.

  Daher haben wir folgende Berechnungen:

  $U = a+b+c+d = 10+ 2 \cdot 7 + 5,5= 29,5$

  $A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (10 + 5,5) = 46,5$

  Symmetrisches Trapez vertikal

  Bei diesem symmetrischen Trapez sind die Seiten $b$ und $d$ parallel und die Seiten $a$ und $c$ gleich lang. Die Formel für den Umfang lautet daher $U = 2a + b + d$ und die Formel für den Flächeninhalt $A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (b+d)$.

  Wir haben dann diese Rechnungen:

  $U = 2 \cdot 7,5 + 5,5 + 11 = 31,5$

  $A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (5,5 + 11) = 49,5$

  Parallelogramm

  Bei einem Parallelogramm sind jeweils zwei sich gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Es ist also $a=c$ und $b=d$. Die Formel für den Umfang lautet daher $U = 2a + 2b$ und für den Flächeninhalt $A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (a+a) = h \cdot a$.

  $U = 2 \cdot 66 + 2 \cdot 99 = 330$

  $A = 66 \cdot 66 = 4 356$

• Ermittle jeweils den Umfang und Flächeninhalt der Trapeze auf zwei Nachkommastellen genau.

  Tipps

  Achte auf die Einheiten! Der Abbildung hier kannst du die Umrechnungszahlen für Längen- und Flächeneinheiten entnehmen.

  Du erhältst den Umfang eines Trapezes, indem du seine vier Seitenlängen summierst.

  Der Flächeninhalt entspricht der Hälfte des Produktes aus der Höhe und der Summe der zueinander parallelen Seiten.

  Lösung

  Du erhältst den Umfang eines Trapezes, indem du seine vier Seitenlängen summierst. Es gilt also:

  $U=a+b+c+d$

  Der Flächeninhalt entspricht der Hälfte des Produktes aus der Höhe und der Summe der zueinander parallelen Seiten, also:

  $A=\dfrac 12(a+c)h$

  Wir müssen hier allerdings beachten, dass wir Umfang und Flächeninhalt in der vorgegebenen Einheit angeben. Hierzu können wir die Seitenlängen vor dem Rechnen in die entsprechende Längeneinheit umwandeln und dann rechnen. Damit erhalten wir:

  Trapez

  Wir kennen folgende Maße:

  • $a=0{,}6~\text{dm}=6~\text{cm}$
  • $b=36{,}1~\text{mm}=3{,}61~\text{cm}$
  • $c=3~\text{cm}$
  • $d=31{,}6~\text{mm}=3{,}16~\text{cm}$
  • $h=3~\text{cm}$

  Mit diesen Angaben können wir den Umfang $U$ in $\text{cm}$ und Flächeninhalt $A$ in $\text{cm}^2$ wie folgt berechnen:

  $U=6~\text{cm}+3{,}61~\text{cm}+3~\text{cm}+3{,}16~\text{cm}=15{,}77~\text{cm}$

  $A = \dfrac 12\cdot (6~\text{cm}+3~\text{cm})\cdot 3~\text{cm} =13{,}5~\text{cm}^2$

  Symmetrisches Trapez

  Wir kennen folgende Maße:

  • $a=8~\text{cm}=80~\text{mm}=0{,}8~\text{dm}$
  • $b=d=44{,}7~\text{mm}=0{,}447~\text{dm}$
  • $c=4~\text{cm}=40~\text{mm}=0{,}4~\text{dm}$
  • $h=0{,}04~\text{m}=40~\text{mm}=0{,}4~\text{dm}$

  Mit diesen Angaben können wir den Umfang $U$ in $\text{mm}$ und Flächeninhalt $A$ in $\text{dm}^2$ wie folgt berechnen:

  $U=80~\text{mm}+36{,}1~\text{mm}+40~\text{mm}+36{,}1~\text{mm}=209{,}4~\text{mm}$

  $A = \dfrac 12\cdot (0{,}8~\text{dm}+0{,}4~\text{dm})\cdot 0{,}4~\text{dm} =0{,}24~\text{dm}^2$

  Rechtwinkliges Trapez

  Wir kennen folgende Maße:

  • $a=8~\text{cm}=80~\text{mm}=0{,}8~\text{dm}$
  • $b=72{,}1~\text{mm}=0{,}721~\text{dm}$
  • $c=4~\text{cm}=40~\text{mm}=0{,}4~\text{dm}$
  • $d=h=0{,}6~\text{dm}=60~\text{mm}$

  Mit diesen Angaben können wir den Umfang $U$ in $\text{dm}$ und Flächeninhalt $A$ in $\text{mm}^2$ wie folgt berechnen.

  $U=0{,}8~\text{dm}+0{,}721~\text{dm}+0{,}4~\text{dm}+0{,}6~\text{dm}=2{,}52~\text{dm}$

  $A = \dfrac 12\cdot (80~\text{mm}+40~\text{mm})\cdot 60~\text{mm} =3\,600~\text{mm}^2$

• Benenne die jeweiligen Trapeze.

  Tipps

  Ein Parallelogramm hat zwei Paare paralleler Seiten.

  Jedes Parallelogramm ist ein Trapez, aber nicht jedes Trapez ist ein Parallelogramm.

  Dieses Viereck ist kein Trapez, denn es hat keine zwei parallelen Seiten.

  Lösung

  Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten zueinander parallel sind. Bei einem allgemeinen Trapez sind genau zwei Seiten parallel zueinander, die beiden anderen nicht. Ein Trapez heißt symmetrisch, wenn es eine Symmetrieachse hat. Bei einem symmetrischen Trapez sind die beiden nicht parallelen Seiten gleich lang.

  Bei einem Viereck können höchstens zwei Seiten zueinander parallel sein. Hat ein Trapez mehr als zwei parallele Seiten, so muss es genau zwei Paare paralleler Seiten haben. Ein solches Trapez heißt Parallelogramm.

  Ein Trapez mit einem rechten Winkel heißt rechtwinkliges Trapez. Da bei einem Trapez zwei der gegenüberliegenden Seiten parallel sind, kann es nie nur einen rechten Winkel haben, sondern hat mindestens zwei.

  Hat ein Trapez mehr als zwei rechte Winkel, so sind alle seine Winkel rechte Winkel und es heißt Rechteck. Ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten heißt Quadrat.

  Die Bilder in der Aufgabe zeigen verschiedene Trapeze: Das Drachenviereck und die Raute sind im Allgemeinen keine Trapeze, da sie im Allgemeinen keine zwei zueinander parallele Seiten besitzen.

• Analysiere die Berechnungen.

  Tipps

  Bei einem symmetrischen Trapez sind zwei Seiten gleich lang.

  Eines der Bilder zeigt kein Trapez.

  Der Umfang jedes Vierecks ist die Summe seiner vier Seiten.

  Lösung

  Dr. Kepler kennt folgende Formeln für den Umfang $U$ und den Flächeninhalt $A$ eines Trapezes:

  • $U= a+b+c+d$
  • $A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (a+c)$

  Sie überprüft die Formeln zu den einzelnen Bildern:

  1. Das Bild zeigt ein verschränktes Trapez. Die Formel ist die für den Flächeninhalt des gewöhnlichen Trapezes, das entsteht, wenn du die Seiten $b$ und $d$ durch die Diagonalen $\overline{BD}$ bzw. $\overline{CA}$ ersetzt. Das verschränkte Trapez liegt im Inneren dieses anderen Trapezes. Der Flächeninhalt des verschränkten Trapezes ist deshalb viel kleiner als der durch die Formel angegebene.
  2. Die beiden parallelen Seiten $a$ und $c$ sind gleich lang. Daher ist der Flächeninhalt des Trapezes $A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (a+c) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot 2a = a \cdot h$.
  3. Die Seite $d$ ist eine Höhe des rechtwinkligen Trapezes. Darum lautet die Formel für den Flächeninhalt $A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (a+c) = \frac{1}{2} \cdot d \cdot (a+c)$.
  4. Bei dem symmetrischen Trapez sind die Seiten $b$ und $d$ gleich lang. Die Formel für den Umfang ist also $U = a+b+c+d = a+b+c+b = a+2b+c$.
  5. Bei dem Parallelogramm sind die Seiten $a$ und $c$ sowie $b$ und $d$ jeweils gleich lang, aber $a$ und $b$ verschieden lang. Die Formel für den Umfang lautet deswegen $U = a+b+c+d = a+b+a+b = 2a +2b \neq 2a + 2c$.
  6. Dieses Drachenviereck ist kein Trapez, da keine seiner Seiten zueinander parallel sind. Insbesondere hat es auch keine Höhe. Die angegebene Formel gehört zu dem Flächeninhalt eines Trapezes mit den parallelen Seiten $a$ und $c$, passt aber nicht zu dem Drachenviereck.
  7. Das Quadrat hat die Seiten $a=b=c=d$. Jede Seite ist auch eine Höhe. Daher hat es den Umfang $U = 4a$ und den Flächeninhalt $A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (a+c) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a = a \cdot a$. Löst man die Formel für den Umfang nach $a$, so erhält man $a = \frac{1}{4} \cdot U$. Eingesetzt in die Formel für den Flächeninhalt, erhält man die angegebene Formel $A = \frac{1}{4} \cdot U \cdot a$.