Quadratische Funktionen f(x) = (x + d)²
Quadratische Funktionen der Form $f(x) = (x + d)2$ können einfach grafisch dargestellt werden, indem man sich auf den Parameter $d$ konzentriert. Ein positives $d$ verschiebt die Parabel nach links, ein negatives nach rechts. Entscheidend ist der Scheitelpunkt bei $S(-d|0)$. Interessiert? Das und vieles mehr finden Sie im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Quadratische Funktionen f(x) = (x + d)²
Einführung: quadratische Funktionen der Form f(x) = (x + d)² einfach erklärt
Die Normalparabel ist die einfachste quadratische Funktion. Sie besitzt die Funktionsgleichung $f(x) = x^{2}$. Ihr Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(0 \vert 0)$. Die Normalparabel kann durch verschiedene Parameter verändert werden.
Im Folgenden betrachten wir quadratische Funktionen der Form $f(x) = (x + d)^{2}$. Dabei klären wir die Fragen:
- Welchen Einfluss hat der Parameter $d$ aus der quadratischen Funktion?
- Wie sieht eine Funktion der Form $f(x)=(x+d)^{2}$ aus?
Wie zeichnet man die Funktion f(x) = (x + d)²?
Funktionen lassen sich am einfachsten grafisch darstellen, indem man zunächst eine Wertetabelle aufstellt und im Anschluss die Werte in ein Koordinatensystem einträgt. So können wir auch bei Funktionen der Form $f(x)=(x+d)^{2}$ zunächst eine Wertetabelle aufstellen. Betrachten wir als Beispiel die Wertetabelle der quadratischen Funktion
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Eingetragen in ein Koordinatensystem sehen wir, dass die Funktion wie eine Normalparabel verläuft, die um eine Einheit nach links verschoben wurde. Der Scheitelpunkt dieser Funktion liegt bei $S_1(-1 \vert 0)$.
Betrachten wir als weiteres Beispiel die Funktion $f_2(x) = (x-1)^{2}$. Auch hier stellen wir zunächst eine Wertetabelle auf.
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Tragen wir die Werte in ein Koordinatensystem ein, so sehen wir, dass $f_2(x)$ ebenfalls wie eine Normalparabel verläuft. Allerdings ist sie um eine Einheit nach rechts verschoben. Ihr Scheitelpunkt liegt bei $S_2(1 \vert 0)$.
Beide Funktionen gehören zu den quadratischen Funktionen der Form $f(x) = (x+d)^{2}$. Bei der ersten Funktion ist $d$ größer als $0$ und die Funktion ist um $d$ Einheiten nach links verschoben. Bei der zweiten Funktion ist $d$ kleiner als $0$ und die Funktion ist um $d$ Einheiten nach rechts verschoben. Wir schließen daraus:
- Ist $\mathbf{d>0}$, dann ist die Parabel um $d$ Einheiten nach links verschoben.
- Ist $\mathbf{d<0}$, dann ist die Parabel um $d$ Einheiten nach rechts verschoben.
Der Funktionsgraph entspricht demnach einer verschobenen Normalparabel. Mit diesem Wissen benötigen wir keine Wertetabellen, um Funktionen der Form $f(x) = (x+d)^{2}$ grafisch darstellen zu können.
Funktionen der Form f(x) = (x + d)² ohne Wertetabelle zeichnen
Mit dem Wissen, dass $d$ die Funktion entlang der $x$-Achse verschiebt, diese jedoch weiterhin wie eine Normalparabel verläuft, können wir quadratische Funktionen der Form $f(x)=(x+d)^{2}$ ganz einfach ohne Wertetabelle zeichnen. Betrachten wir dafür zwei weitere Beispiele:
$f_3(x) = (x+2)^{2}$
$f_4(x) = (x-3)^{2}$
Da $d$ im Funktionsterm von $f_3(x)$ positiv ist, ist der Funktionsgraph der Parabel nach links verschoben. Ihr Scheitelpunkt befindet sich bei $S_3(-2 \vert 0)$.
Bei $f_4(x)$ ist $d$ hingegen negativ, weshalb der Graph der Funktion nach rechts verschoben ist. Ihr Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S_4(3 \vert 0)$.
Der Parameter $d$ verschiebt den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion. Dieser kann jedoch nicht nur aus dem Funktionsgraphen, sondern bereits aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion der Form $f(x)=(x+d)^{2}$ liegt immer bei:
$S(-d \vert 0)$
Die erste Koordinate entspricht dem Parameter $d$ jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen, da die Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung entlang der $x$-Achse stattfindet.
Funktionsgleichung von f(x) = (x + d)² aufstellen
Da wir aus der Funktionsgleichung den Scheitelpunkt ablesen können, lässt sich umgekehrt aus einer gegebenen Parabel die Funktionsgleichung ablesen. Betrachten wir dafür die folgenden beiden Parabeln:
Der Scheitelpunkt von $f_5(x)$ liegt bei $S_5(-3 \vert 0)$. Die Parabel ist also um drei Einheiten nach links verschoben. Daraus können wir die Funktionsgleichung ableiten:
$f_5(x)=(x - (-3))^{2} = (x+3)^{2}$
Der Scheitelpunkt von $f_6(x)$ liegt bei $S_6(1,5 \vert 0)$. Die Parabel ist also um $1,5$ Einheiten nach rechts verschoben. Daraus können wir die Funktionsgleichung ableiten:
$f_5(x)=(x-1,5)^{2}$
Allgemein gilt:
Für den Scheitelpunkt $S(x_s \vert 0)$ lässt sich die Funktionsgleichung $f(x) = (x - x_s)^{2}$ ableiten, mit $d=-x_s$.
Zusammenfassung: quadratische Funktionen der Form f(x) = (x + d)²
Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal die wichtigsten Eigenschaften von Funktionen der Form $f(x)=(x+d)^{2}$ zusammen.
- Quadratische Funktionen der Form $f(x)=(x+d)^{2}$ sind um $d$ Einheiten entlang der $x$-Achse verschoben.
- Für $d>0$ findet eine Verschiebung nach links und für $d<0$ eine Verschiebung nach rechts statt.
- Der Scheitelpunkt lässt sich direkt aus der Funktionsgleichung ablesen. Er liegt bei $S(-d \vert 0)$.
- Durch Ablesen des Scheitelpunkts aus dem Graphen lässt sich die Funktionsgleichung aufstellen. Dabei muss der Vorzeichenwechsel beachtet werden.
Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Quadratische Funktionen der Form $f(x)=(x+d)^{2}$.
Transkript Quadratische Funktionen f(x) = (x + d)²
Wusstest du, dass unsere Haut achtzig bis neunzig Prozent unseres Vitamin-D-Bedarfes durch Sonneneinstrahlung selbst bildet? Den restlichen Bedarf können wir mit der Nahrung aufnehmen. Vitamin D ist zum Beispiel in Fisch, Eiern oder Pilzen enthalten. Der Körper braucht Vitamin D vor allem für den Knochenaufbau. Wofür „quadratische Funktionen“ ein D brauchen, erfährst du hier. Fangen wir zunächst mit der Normalparabel an. Die Funktion „f von x gleich x Quadrat verläuft so.“ Sie hat ihren Scheitelpunkt in „null, null“. Bis hierhin sollte alles klar sein. Wir können den Funktionsterm nun abwandeln und zum Beispiel „f von x gleich x plus eins in Klammern zum Quadrat“ untersuchen. Schauen wir uns dazu zunächst einmal die Wertetabelle an. Du kannst an dieser Stelle das Video kurz pausieren und die Wertetabelle selbst ausfüllen. Das sind die entsprechenden Funktionswerte. Wenn wir diese in ein Koordinatensystem eintragen, sehen wir, dass wir eine Normalparabel erhalten, die um eine Einheit nach links verschoben wurde. Der Scheitelpunkt liegt nun bei „minus eins, null“. Lass uns das Ganze nun mit der Funktion „f von x gleich x minus eins in Klammern zum Quadrat“ versuchen. Auch hier stellen wir wieder eine Wertetabelle auf und ermitteln die Funktionswerte. Nun tragen wir die Werte wieder in ein Koordinatensystem ein und erkennen, dass die Parabel diesmal um eine Einheit nach rechts verschoben wurde. Der Scheitelpunkt dieser Funktion liegt bei „eins null“. Schauen wir uns beide Graphen noch einmal an. Der Graph der ersten Funktion, bei der das d größer als null war, ist nach links verschoben während der Graph der zweiten Funktion, bei der d kleiner als null ist, nach rechts verschoben ist. Obwohl also das d negativ ist, wird der Funktionsgraph in die positive Richtung der x-Achse verschoben, während bei positivem d der Graph in die negative Richtung verschoben wird. Die Verschiebung geht also in genau die entgegengesetzte Richtung als man intuitiv vermuten könnte. Mit diesem Wissen können wir weitere Funktionsgraphen zeichnen, ohne vorher eine Wertetabelle aufstellen zu müssen. Bei der Funktion „g von x“ sehen wir, dass das d positiv, also größer als null ist. Der Funktionsgraph ist also nach links verschoben. Und zwar um zwei Einheiten. Der Scheitelpunkt liegt dementsprechend bei „minus zwei, null“. Schon können wir die Parabel einzeichnen. Nehmen wir direkt ein weiteres Beispiel. Bei „h von x“ ist d negativ, also kleiner als null. Das bedeutet, es liegt eine Verschiebung nach rechts vor. Diesmal sind es drei Einheiten. Der Scheitelpunkt liegt also bei „drei null“. Und so sieht die Parabel aus. Das d verschiebt also den Scheitelpunkt. Statt in „null, null“ liegt der Scheitelpunkt dann nämlich in „minus d, null“. Die erste Koordinate entspricht also d, jedoch mit einem Vorzeichenwechsel, weil ja auch die Verschiebung immer in die entgegengesetzte Richtung geschieht. Dann können wir ja auch aus einer gegebenen Parabel den Funktionsterm ablesen! Schauen wir uns einmal diese beiden Funktionsgraphen an. Der Scheitelpunkt der ersten Funktion liegt bei „Minus drei, null“. Das heißt also, dass die Parabel um drei Einheiten nach links verschoben wurde. Der Funktionsterm lautet also „in Klammern x plus drei zum Quadrat“. Die zweite Funktion hat ihren Scheitelpunkt bei „eins Komma fünf, null“. Die Parabel wurde also um eins Komma fünf Einheiten nach rechts verschoben. Somit lautet der Funktionsterm „in Klammern x minus eins Komma fünf zum Quadrat“. Klasse, dann fassen wir alles noch einmal kurz zusammen. Funktionen der Form „x plus d in Klammern zum Quadrat“ sind entlang der x-Achse verschoben. Im Vergleich zur Normalparabel sind sie also nach links oder rechts verschoben. Anders als man im ersten Moment vermuten könnte, wird die Parabel bei d größer null nach links und bei d kleiner null nach rechts verschoben. Damit ändert sich auch der Scheitelpunkt. „Dieser liegt dann nämlich dann bei „minus d, null“.“ Anhand des Scheitelpunktes kann man anschließend gut den Funktionsterm ablesen. Man muss nur den Vorzeichenwechsel im Scheitelpunkt beachten. Manchmal ist es in der Mathematik eben so, wie im wahren Leben: Man bekommt das Gegenteil von dem was man erwartet. Bleibt nur noch die Frage: Wie decken Maulwürfe eigentlich ihren Vitamin D Bedarf?
Quadratische Funktionen f(x) = (x + d)² Übung
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Gib den Scheitelpunkt der verschobenen Normalparabeln $g$ und $h$ an.
TippsBei einem Punkt ist der erste Wert immer der $x$-Wert und der zweite Wert der $y$-Wert.
Die Parabeln wurden nur in $x$-Richtung verschoben.
Hier ist $S(-3|0)$.
LösungDer Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Wird die Normalparabel entlang der $x$-Achse nach links oder rechts verschoben, so hat die Funktionsgleichung die Form $f(x)=(x+d)^2$.
Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt der Normalparabel. Wir nennen ihn $S$. Er wird – wie alle Punkte in der Mathematik – in der Form $S(x_S \vert y_S)$ angegeben. Da die Parabel nicht in $y$-Richtung verschoben ist, ist der $y$-Wert $0$. Den $x$-Wert können wir direkt an der $x$-Achse ablesen. Er entspricht $-d$ aus der Funktionsgleichung.
Für $g(x)=(x+2)^2$ erhalten wir:
$S_1(-2\vert0)$
Für $h(x)=(x-3)^2$ erhalten wir:
$S_2(3\vert0)$
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Beschreibe die Verschiebung der Normalparabel.
Tipps$f(x)=(x+1)^2$
Der Scheitelpunkt der Funktion $f(x)=(x-d)^2$ lautet $S(d|0)$.
LösungDer Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.
Der Funktionsgraph der Funktion $f(x)=(x+d)^2$ ist die Normalparabel, welche nach rechts oder links, also entlang der $x$-Achse und nicht der $y$-Achse, verschoben wurde. Dies gilt auch für das Beispiel $f(x)=(x+3)^2$.
Für $f(x)=(x+d)^2$ gilt:
Ist $d<0$, wird die Normalparabel nach rechts verschoben.
Der Scheitelpunkt der Funktion $f(x)=(x-d)^2$ lautet $S(d|0)$.Ist $d>0$, wird die Normalparabel nach links verschoben.
Der Scheitelpunkt der Funktion $f(x)=(x+d)^2$ lautet $S(-d|0)$.Beispiele:
Der Funktionsgraph der Funktion $f(x)=(x+5)^2$ entspricht der Normalparabel, welche um $5$ Einheiten nach links verschoben wurde. Der Scheitelpunkt der Funktion lautet $S(-5|0)$.
Für die Beispielfunktion $f(x)=(x-4)^2$ ist der Scheitelpunkt also $S(4|0)$. -
Ermittle, welcher Funktionsgraph zu der Funktion $f(x)$ gehört.
TippsDiese Parabel gehört zu der Funktion $f(x) = (x-1)^2$.
$f(x)=(x+d)^2$
In der Klammer wird addiert, wenn die Parabel nach links verschoben ist, und subtrahiert, wenn die Parabel nach rechts verschoben ist.
LösungDer Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Wird die Normalparabel nur entlang der $x$-Achse nach links oder rechts verschoben, so lautet die zugehörige Funktionsgleichung $f(x)=(x+d)^2$. Dabei wird in der Klammer addiert, wenn die Parabel nach links verschoben ist, und subtrahiert, wenn die Parabel nach rechts verschoben ist.
Beispiel:
$f(x) = (x+2)^2$
Bei unserem Funktionsterm wird in der Klammer addiert, die Parabel ist also nach links verschoben. Da in der Klammer $2$ addiert wird, ist die Parabel um $2$ Einheiten nach links verschoben.
Der Scheitelpunkt der Funktion lautet $S(-2 \vert 0)$.
Die anderen dargestellten Parabeln gehören zu folgenden Funktionsgleichungen:
- $f(x) = (x+1)^2$
- $f(x) = (x-1,5)^2$
- $f(x) = (x-3)^2+2$
- $f(x) = (x-2)^2$
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Ordne jedem Funktionsgraphen die passende Funktionsgleichung zu.
TippsAchte darauf, dass in der Klammer addiert wird, wenn die Parabel nach links verschoben ist, und subtrahiert wird, wenn die Parabel nach rechts verschoben ist.
Die Parabel ist um $2$ Einheiten nach links verschoben, daher lautet der Funktionsterm $f(x)=(x+2)^2$.
LösungDer Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Wird die Normalparabel nur entlang der $x$-Achse nach links oder rechts verschoben, lautet die zugehörige Funktionsgleichung $f(x)=(x+d)^2$. Dabei wird in der Klammer addiert, wenn die Parabel nach links verschoben ist, und subtrahiert, wenn die Parabel nach rechts verschoben ist.
Somit ergeben sich die folgenden Funktionsgleichungen:
- Die Parabel ist um $1,5$ Einheiten nach rechts verschoben: $f(x)=(x-1,5)^2$.
- Die Parabel ist um $1$ Einheit nach links verschoben: $f(x)=(x+1)^2$.
- Die Parabel ist gar nicht verschoben: $f(x)=x^2$.
- Die Parabel ist um $1$ Einheit nach rechts verschoben: $f(x)=(x-1)^2$.
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Vervollständige die Wertetabelle der Funktion $f(x) = x^2$.
TippsDa es sich um eine quadratische Funktion handelt, musst du beim Ausfüllen der Wertetabelle quadrieren.
Hier ist der Funktionsgraph der gegebenen Funktion abgebildet. Man nennt den Graphen auch Normalparabel.
Wie du siehst, sind alle Funktionswerte, also alle $y$-Werte, positiv.Beispiel:
$f(x) = x^2$
$x=3$: $\quad y=3^2=9$
LösungBei der Funktion $f(x)=x^2$ handelt es sich um eine quadratische Funktion, welche nicht verschoben wurde. Ihren Funktionsgraphen nennt man Normalparabel: Der Scheitelpunkt der Funktion $f(x)$ ist $S(0|0)$.
Die weiteren Funktionswerte können wir durch quadrieren berechnen:- $x=-2$: $\quad y= (-2)^2 = 4$
- $x=-1$: $\quad y= (-1)^2 = 1$
- $x=0$: $\quad y= 0^2 = 0$
- $x=1$: $\quad y= 1^2 = 1$
- $x=2$: $\quad y= 2^2 = 4$
Somit ergibt sich folgende Wertetabelle:
$\begin{array}{rr} x& y\\ \hline -2& 4\\ -1& 1\\ 0 & 0\\ 1& 1\\ 2&4\\ \end{array}$
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Ermittle die Gleichung der Funktion, welche zu der Wertetabelle gehört.
TippsDie allgemeine Funktionsgleichung lautet $f(x)=(x+d)^2$.
Du musst den Wert für $d$ ermitteln.
Dir reicht ein Wertepaar der Wertetabelle aus, um $d$ zu bestimmen. Ein Wertepaar besteht aus einem $x$-Wert und einem $y$-Wert.
Setze das Wertepaar, das du gewählt hast, in die allgemeine Funktionsgleichung ein und löse sie nach $d$ auf.
Du kannst den $x$-Wert des Scheitelpunktes auch mittels der Symmetrie der Parabel bestimmen. Untersuche dafür die Wertetabelle auf Symmetrie.
LösungJede Funktion kann durch eine Wertetabelle, einen Funktionsgraphen oder auch durch eine Funktionsgleichung dargestellt werden.
Wir haben von der Funktion $f(x)$ die Wertetabelle gegeben. Außerdem wissen wir aufgrund der vorgegebenen Struktur der Funktionsgleichung, dass wir es mit einer quadratischen Funktion zu tun haben. Dabei handelt es sich beim Funktionsgraphen um eine Normalparabel, welche nach rechts oder links verschoben wurde. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet allgemein:
$f(x)=(x+d)^2$
Wir müssen also die Variable $d$ ermitteln. Dazu können wir eines der in der Wertetabelle gegebenen Wertepaare in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen und nach $d$ auflösen.
Wir wählen beispielhaft das Wertepaar $x=-1$ und $y=9$:$\begin{array}{rcll} y & = & (x+d)^2 & \\ 9 & = & (-1+d)^2 & \vert \sqrt{} \\ 3 & = & -1+d & \vert +1 \\ 4 & = & d & \end{array}$
Wir erhalten mit $d=4$ diese Funktionsgleichung:
$f(x)=(x+4)^2$
Alternativ können wir die Funktionsgleichung auch über die Symmetrie der Parabel bestimmen.
Wir untersuchen dazu die Wertetabelle auf Symmetrie: Der $y$-Wert $4$ taucht bei den beiden $x$-Werten $-6$ und $-2$ auf. Der $x$-Wert des Scheitelpunktes muss also in der Mitte zwischen $-6$ und $-2$ liegen:
$\frac{-6 + (-2)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Somit hat der Scheitelpunkt die Koordinaten $S(-4 \vert 0)$.
Als Funktionsgleichung ergibt sich erneut:
$f(x)=(x+4)^2$
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Hallo Elli, genau! Du kannst dir merken: Wenn du den Scheitelpunkt aus der Funktionsgleichung der Form f(x)=(x+d)^2 ablesen möchtest, entspricht die x-Koordinate d, allerdings mit "umgedrehten Vorzeichen". Liebe Grüße aus der Redaktion!
Super Video ! Könnte ich also hier sagen, dass die Vorzeichen umgedreht werden ?
tolles vid c: