Übergangsmatrizen – Beispiel Supermarkt

Übergangsmatrizen – Beispiel Supermarkt Übung

• Stelle die Übergangsmatrix zu dem Übergangsdiagramm auf.

  Tipps

  Auf der Diagonalen stehen die Zahlen, welche den Verbleib bei dem entsprechenden Supermarkt anzeigen.

  Beachte: Wenn du die Elemente spaltenweise addierst, erhältst du jedes Mal $1$.

  Achte darauf, dass zum Beispiel in der dritten Zeile, zweite Spalte die Zahl steht, die die Bewegung von B (zweite Spalte) nach C (dritte Zeile) steht.

  Lösung

  Auf der Diagonalen stehen die Zahlen, die den Verbleib bei dem jeweiligen Supermarkt beschreiben.:

  Nun können die übrigen Elemente eingetragen werden. Dies sei hier an zwei Beispielen dargestellt:

  • Von A nach C wandern $0,1$. Also gehört in die erste Spalte, dritte Zeile $0,1$.
  • Von C nach B wandern $0,2$. Also gehört in die dritte Spalte, zweite Zeile $0,2$.

  Gesamt sieht die Übergangsmatrix so aus:

  $D=\begin{pmatrix} 0,7&0,2&0,3 \\ 0,2&0,6&0,2\\ 0,1&0,2&0,5 \end{pmatrix}$

• Berechne die Anzahl der Kunden der drei Supermärkte nach einer Periode.

  Tipps

  Du musst die nebenstehende Multiplikation durchführen.

  Du multiplizierst also immer eine Zeile der linken Matrix mit dem rechten Vektor.

  Beachte: Die Gesamtzahl der Kunden darf sich nicht verändern.

  Lösung

  Der Sinn einer Übergangsmatrix ist, dass man mit Hilfe der Multiplikation Matrix mal Vektor die veränderte Verteilung nach einer (oder auch mehrerer) Perioden berechnen kann.

  Hierfür wird jeweils eine Zeile der Matrix $D$ mit dem Vektor (rechts) multipliziert:

  • Für A muss also die erste Zeile der Matrix mit dem Vektor multipliziert werden: $0,7\cdot 350+0,2\cdot 470+0,3\cdot 180=393$.
  • Für B wird die zweite Zeile mit dem Vektor multipliziert: $0,2\cdot 350+0,6\cdot 470+0,2\cdot 180=388$.
  • Zuletzt wird zur Bestimmung der Kunden von C nach einer Periode die dritte Zeile von $D$ mit dem Vektor multipliziert: $0,1\cdot 350+0,2\cdot 470+0,5\cdot 180=219$.

  Natürlich ändert sich die Anzahl der Kunden nicht:

  • $350+470+180=1000$
  • $393+388+219=1000$

• Gib die Übergangsmatrix an.

  Tipps

  Wenn du Prozente in Dezimalzahlen umrechnen möchtest, dividierst du durch $100$: Zum Beispiel sind $20\%$ gerade $0,2$.

  Auf der Diagonalen steht der Anteil der Schüler, die ihren Leistungskurs nicht wechseln.

  Die Summe der Elemente einer Spalte ist immer $1$. Dies muss für die Zeilen nicht gelten.

  Lösung

  Hier ist die komplette Übergangsmatrix zu sehen:

  1. Spalte

  • Bei A bleiben $0,5$, also $50\%$.
  • Von A zu B wechseln $0,3$ und
  • von A zu C $0,2$.

  2. Spalte

  • Von B zu A wechseln $0,2$.
  • Bei B bleiben $0,7$.
  • Von B zu C wechseln $0,1$.

  3. Spalte

  • Von C zu A wechseln $0,15$ und
  • nach B ebenfalls $0,15$.
  • Bei C bleiben $0,7$.

• Berechne die Anzahl der Schüler nach dem Wechsel.

  Tipps

  Die Zahl der Schüler ändert sich nicht.

  Die Ergebnisse sind jeweils ganze Zahlen.

  Multipliziere jede Zeile der Übergangsmatrix mit dem Vektor

  $\begin{pmatrix} 50 \\ 40 \\ 20 \end{pmatrix}$.

  Die Zahl der Mathematik-Leistungskurs Schüler wird kleiner und die der beiden anderen jeweils größer.

  Lösung

  Die Übergangsmatrix wird mit dem Vektor multipliziert, in welchem sich, von oben nach unten, die Anzahlen der Schüler in den entsprechenden Leistungskursen befinden.

  Eine solche Multiplikation wird so durchgeführt: Es wird jede Zeile der Matrix mit dem Vektor multipliziert. Hierfür werden die einander entsprechenden Koordinaten multipliziert und die Produkte addiert. Dies ist hier zu sehen:

  $\begin{pmatrix} 0,5&0,2&0,15 \\ 0,3&0,7&0,15\\ 0,2&0,1&0,7 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 50 \\ 40\\ 20 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,5\cdot 50+0,2\cdot 40+0,15\cdot 20 \\ 0,3\cdot 50+0,7\cdot 40+0,15\cdot 20 \\ 0,2\cdot 50+0,1\cdot 40+0,7\cdot 20 \end{pmatrix}$.

  Nun kann der Ergebnisvektor auch noch weiter berechnet werden und es ergibt sich

  $\begin{pmatrix} 0,5&0,2&0,15 \\ 0,3&0,7&0,15\\ 0,2&0,1&0,7 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 50 \\ 40\\ 20 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 36 \\ 46 \\ 28 \end{pmatrix}$.

  Nach dem Wechsel belegen noch $36$ Schüler den Mathematik-Leistungskurs, also weniger als zuvor. $46$ Schüler belegen den Englisch-Leistungskurs und weitere $28$ den Biologie-Leistungskurs.

• Beschreibe, wie die Zahl der Kunden vor einer Periode berechnet werden kann.

  Tipps

  Vor einer Periode waren $294$ Kunden in A, $675$ in B und $31$ in C.

  Stelle dir das ganze so vor, an einem Beispiel:

  $4x=8$.

  Was musst du machen, um den Wert für $x$ zu finden? Richtig: Du musst diese Gleichung lösen.

  Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen und mehreren Unbekannten.

  Lösung

  Hier ist ein lineares Gleichungssystem zu sehen. Es besteht aus drei Gleichungen und drei Unbekannten $x$, $y$ und $z$. Diese stehen für, in dieser Reihenfolge, die Zahl der Kunden von A, B und C vor einer Periode.

  Ein solches Gleichungssystem kann man zum Beispiel lösen, indem man die erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellt und das Gauß'sche Eliminationsverfahren anwendet.

  Übrigens: Es ist

  $\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 294 \\ 675 \\ 31 \end{pmatrix}$.

• Leite her, wie viele Zebras sich nach einer oder zwei Perioden in den jeweiligen Reservaten befinden.

  Tipps

  Hier siehst du die Übergangsmatrix.

  Berechne dieses Produkt Matrix mal Vektor.

  Exemplarisch siehst du hier die erste Zeile dieses Produktes:

  $0,5\cdot 1200+0,2\cdot 700+0,2\cdot 1000$.

  Setze die Anzahlen nach einer Periode in dem Vektor ein und rechne noch einmal Matrix mal Vektor.

  Lösung

  Dieses Produkt muss berechnet werden, um die jeweilige Anzahl der Zebras in den einzelnen Reservaten nach einer Periode zu erhalten.

  Die Rechnung ist hier zu sehen:

  $\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} 0,5&0,2&0,2 \\ 0,4&0,8&0,1\\ 0,1&0&0,7 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1200 \\ 700\\ 1000 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0,5\cdot 1200+0,2\cdot 700+0,2\cdot 1000 \\ 0,4\cdot 1200+0,8\cdot 700+0,1\cdot 1000 \\ 0,1\cdot 1200+0\cdot 700+0,7\cdot 1000 \end{pmatrix}\\\\ &=&\begin{pmatrix} 940\\ 1140 \\ 820 \end{pmatrix} \end{array}$.

  Das bedeutet, nach einer Periode befinden sich $940$ Zebras in Reservat A, $1140$ in B und $820$ in C.

  Ebenso können die Anzahlen nach einer weiteren Periode berechnet werden.

  $\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} 0,5&0,2&0,2 \\ 0,4&0,8&0,1\\ 0,1&0&0,7 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 940 \\ 1140\\ 820 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0,5\cdot 940+0,2\cdot 1140+0,2\cdot 820 \\ 0,4\cdot 940+0,8\cdot 1140+0,1\cdot 820 \\ 0,1\cdot 940+0\cdot 1140+0,7\cdot 820 \end{pmatrix}\\\\ &=&\begin{pmatrix} 862\\ 1370 \\ 668 \end{pmatrix} \end{array}$.

  Also befinden sich nach zwei Perioden $862$ Zebras in Reservat A, $1370$ in B und $668$ in C.