Extremwert – Exkurs

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Extremwert

In der Analysis werden Funktionsgleichungen und ihre Graphen auf vorgegebene Kriterien untersucht. Dies nennt man Kurvendiskussion.

Bei einer Kurvendiskussion spielt die Bestimmung von Extremwerten (auch: Extrema) eine wichtige Rolle: Der Funktionsgraph nimmt an diesen Stellen einen Hochpunkt (Maximum) oder einen Tiefpunkt (Minimum) ein.

Legt man an die Hoch- oder Tiefpunkte eines Funktionsgraphen eine Tangente an, so verläuft diese waagerecht zur $x$-Achse, hat also keine Steigung. Die Tangentensteigung kannst du als erste Ableitung im Berührpunkt sehen, also lassen sich mögliche Extrema bestimmen durch:

$f’(x) = 0$

Dies ist die notwendige Bedingung für die Existenz von Extrema. Da noch nicht bekannt ist, ob es sich bei den Werten um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, wird in einem zweiten Schritt die hinreichende Bedingung hinzugezogen. Hierzu setzt du in die zweite Ableitung den ermittelten Extrempunkt ein:

• $f’’(x) \lt 0\qquad$ Es handelt sich um einen Hochpunkt.

• $f’’(x) \gt 0\qquad$ Es handelt sich um einen Tiefpunkt.

Um schließlich die $y$-Koordinate eines Extrempunktes zu bestimmen, wird der $x$-Wert in die ursprüngliche Funktionsgleichung eingesetzt.