Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema

Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema Übung

• Beschreibe das Vorgehen, um Extremstellen zu bestimmen.

  Tipps

  Für die erste Ableitung schreiben wir: $f'(x)$

  Für die zweite Ableitung schreiben wir: $f''(x)$

  Nur wenn die erste Ableitung gleich Null ist und die zweite Ableitung ungleich Null, können wir mit Sicherheit sagen, dass eine Extremstelle vorliegt.

  Lösung

  Hochpunkte und Tiefpunkte einer Funktion nennt man auch die Extrema. Am Graphen können wir diese einfach ablesen. Wir können sie aber auch rechnerisch bestimmen:

  Notwendige Bedingung:
  Um die Extrema einer Funktion rechnerisch zu bestimmen, berechnen wir zuerst die erste Ableitung $f'(x)$, die das Monotonieverhalten der Funktion beschreibt. Die Nullstellen $x_E$ der ersten Ableitung können wir bestimmen, indem wir die erste Ableitung gleich Null setzen. Sie sind mögliche Extremstellen, da der Funktionsgraph bei einem Extremum eine waagrechte Tangente haben muss.

  Wir nennen $f'(x_E)=0$ auch notwendige Bedingung, da nur eine Extremstelle vorliegen kann, wenn der Graph eine waagrechte Tangente hat.

  Hinreichende Bedingung:
  Anschließend berechnen wir die zweite Ableitung, welche das Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen beschreibt. Wir setzen die Nullstellen $x_E$ der ersten Ableitung ein. Ist die zweite Ableitung an diesen Stellen ungleich Null, so handelt es sich um eine Extremstelle, da sich die Krümmung der Funktion nicht ändert. Wir überprüfen also, ob gilt: $f''(x_E) \neq 0$.

  Wir nennen $f'(x_E)=0$ und $f''(x_E) \neq 0$ die hinreichende Bedingung, da wir mit Sicherheit sagen können, dass die Funktion bei $x_E$ ein Extremum hat. Es ist allerdings auch möglich, dass bei $f''(x_E) = 0$ ein Extremum vorliegt.

• Vervollständige die Aussagen zu Extrempunkten.

  Tipps

  Die erste Ableitung beschreibt das Monotonieverhalten, die zweite Ableitung das Krümmungsverhalten einer Funktion.

  Lösung

  Um die Extrema einer Funktion rechnerisch zu bestimmen, verwenden wir die notwendige und die hinreichende Bedingung:

  Notwendige Bedingung:
  $f'(x_E)=0$

  Hinreichende Bedingung:
  $f'(x_E)=0$ und $f''(x_E) \neq 0$

  Wir können dies auch in Sätzen formulieren:

  • Wenn die erste Ableitung gleich Null ist, ist es möglich, dass an dieser Stelle ein Extremum vorliegt. (notwendige Bedingung)
  • Wenn die erste Ableitung ungleich Null ist, liegt kein Extremum vor. (notwendige Bedingung nicht erfüllt)
  • Wenn die erste Ableitung Null ist, und die zweite Ableitung an der Nullstelle der ersten Ableitung positiv ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt. (hinreichende Bedingung)
  • Wenn die zweite Ableitung kleiner Null ist, ist keine Aussage möglich. (da keine Informationen zur notwendigen Bedingung vorliegen)

• Überprüfe, bei welchen Stellen es sich sicher um Extremstellen der Funktion $f$ handelt.

  Tipps

  Bestimme zuerst die erste und die zweite Ableitung der Funktion.

  Setze die gegebenen $x$-Werte in die beiden Ableitungen ein und überprüfe, ob die notwendige und die hinreichende Bedingung erfüllt sind.

  Lösung

  Um zu überprüfen, ob es sich bei bestimmten $x$-Werten um Extremstellen handelt, verwenden wir die notwendige und die hinreichende Bedingung:

  notwendige Bedingung: $f'(x_E)=0$

  hinreichende Bedingung: $f'(x_E)=0$ und $f''(x_E) \neq 0$

  Wir bestimmen also zuerst die erste und zweite Ableitung der Funktion:

  $f(x)\ \ =x^5+5x^4+5x^3-8$
  $f'(x)\ =5x^4+20x^3+15x^2$
  $f''(x)~ =20x^3+60x^2+30x$

  Wir setzen nun ein und überprüfen:

  $x=-3$
  $f'(-3) = 5 \cdot (-3)^4 + 20 \cdot (-3)^3 + 15 \cdot (-3)^2 = 405 - 540 + 135 = 0$
  $\implies$ notwendige Bedingung erfüllt
  $f''(-3) = 20 \cdot (-3)^3 + 60 \cdot (-3)^2 + 30 \cdot (-3) = -540 + 540 -90 = -90 \neq 0$
  $\implies$ hinreichende Bedingung erfüllt
  Da beide Bedingungen erfüllt sind, handelt es sich um eine Extremstelle. Da $f'(x) <0$ handelt es sich um einen Hochpunkt.

  $x=0$
  $f'(0) = 5 \cdot 0^4 + 20 \cdot 0^3 + 15 \cdot 0^2 = 0+0+0 = 0$
  $\implies$ notwendige Bedingung erfüllt
  $f''(0) = 20 \cdot 0^3 + 60 \cdot 0^2 + 30 \cdot 0 = 0+0+0= 0$
  $\implies$ hinreichende Bedingung nicht erfüllt
  Da die hinreichende Bedingung nicht erfüllt ist, kann keine Aussage getroffen werden, ob es sich um eine Extremstelle handelt.

  $x=2$
  $f'(2) = 5 \cdot 2^4 + 20 \cdot 2^3 + 15 \cdot 2^2 = 80 + 160 + 60 = 300 \neq 0$
  $\implies$ notwendige Bedingung nicht erfüllt
  Da die notwendige Bedingung nicht erfüllt ist, handelt es sich um keine Extremstelle.

  $x=1$
  $f'(1) = 5 \cdot 1^4 + 20 \cdot 1^3 + 15 \cdot 1^2 = 5+20+15 = 40 \neq 0$
  $\implies$ notwendige Bedingung nicht erfüllt
  Da die notwendige Bedingung nicht erfüllt ist, handelt es sich um keine Extremstelle.

  $x=-1$
  $f'(-1) = 5 \cdot (-1)^4 + 20 \cdot (-1)^3 + 15 \cdot (-1)^2 = 5-20+15 = 0$
  $\implies$ notwendige Bedingung erfüllt
  $f''(-1) = 20 \cdot (-1)^3 + 60 \cdot (-1)^2 + 30 \cdot (-1) = -20+60-30=10 \neq 0$
  $\implies$ hinreichende Bedingung erfüllt
  Da beide Bedingungen erfüllt sind, handelt es sich um eine Extremstelle. Da $f'(x) >0$ handelt es sich um einen Tiefpunkt.

  $x=-2$
  $f'(-2) = 5 \cdot (-2)^4 + 20 \cdot (-2)^3 + 15 \cdot (-2)^2 = 80 - 160 + 60 = -20 \neq 0$
  $\implies$ notwendige Bedingung nicht erfüllt
  Da die notwendige Bedingung nicht erfüllt ist, handelt es sich um keine Extremstelle.

• Berechne die Extrempunkte der Funktion.

  Tipps

  Bestimme zuerst die Nullstellen der ersten Ableitung.

  Setze die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein. Es gilt:

  $f''(x)>0 \implies$ Minimum
  $f''(x)<0 \implies$ Maximum

  Lösung

  Um die Extrempunkte der Funktion $f(x)=x^3-6x^2+9x-8$ zu bestimmen, ermitteln wir zunächst die ersten beiden Ableitungen:

  • $f'(x)= 3x^2-12x+9$
  • $f''(x)=6x-12$

  Wir bestimmen nun die Nullstellen der ersten Ableitung:
  $3x^2-12x+9=0$
  $3(x^2-4x+3)=0$
  $x^2-4x+3=0$
  $x^2-4x+4-4+3=0$
  $(x-2)^2-4+3=0$
  $(x-2)^2-1=0$
  $(x-2)^2=1$
  $x-2=1$ oder $x-2=-1$
  $x_1=3$ und $x_2=1$

  Hinweise: Alternativ können die Nullstellen der ersten Ableitung auch mit der Lösungsformel bestimmt werden.

  Wir setzen nun die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein:
  $f''(3) = 6 \cdot 3 -12 = 18-12=6$
  $f''(1) = 6 \cdot 1 -12 = 6-12 = -6$

  Wir wenden nun die hinreichende Bedingung an und erkennen:
  $f''(3) >0 \quad \implies$ Minimum
  $f''(1) <0 \quad \implies$ Maximum

  Wir berechnen nun die $y$-Koordinate, indem wir die Extremstellen in die Funktionsgleichung einsetzen:
  $f(3) = 3^3-6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 -8 = -8$
  $f(1) = 1^3-6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 -8 = -4$

  Es gilt also:
  Maximum: $\quad H(1| {-}4)$
  Minimum: $~\quad T(3| {-}8)$

• Gib die erste und die zweite Ableitung der Funktionen an.

  Tipps

  Wir bilden die Ableitung, indem wir den Exponenten als Faktor nach vorne ziehen und den Exponenten dann um eins verringern.

  Beispiel:

  $f(x) = 2x^4-8$

  $f^\prime(x) = 8x^3$

  Die zweite Ableitung bilden wir, indem wir die erste Ableitung noch einmal ableiten.

  Lösung

  Um die Extrema einer Funktion rechnerisch zu ermitteln, müssen wir die erste und zweite Ableitung der Funktion bilden können:

  erste Ableitung: $f'(x)$
  zweite Ableitung: $f''(x)$

  Um die Ableitungen der Funktionen zu bilden, verwenden wir die Potenzregel: Wir bilden die Ableitung, indem wir den Exponenten als Faktor nach vorne ziehen und den Exponenten dann um eins verringern.

  Die zweite Ableitung bilden wir, indem wir die erste Ableitung noch einmal ableiten. Damit ergibt sich:

  1. Funktion: $f(x)= 3x^2+4x = 3x^2+4x^1$
  $f'(x)= 3 \cdot 2x^{2-1} + 4 \cdot 1x^{1-1} = 6x^1+4x^0=6x+4$
  $f''(x) = 6 \cdot 1 x^{1-1} = 6x^0=6$

  2. Funktion: $f(x)= 2x^3+x^2-4 = 2x^3+x^2-4x^0$
  $f'(x)= 2 \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot x^{2-1} -4 \cdot 0x^{0-1} = 6x^2+2x^1 - 0=6x^2+2x$
  $f''(x) = 6 \cdot 2 x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} = 12x^1+2x^0=12x+2$

  3. Funktion: $f(x)= 4x^2-6x+3 = 4x^2-6x^1+3x^0$
  $f'(x)= 4 \cdot 2x^{2-1} - 6 \cdot 1x^{1-1} + 3\cdot 0 x^{0-1} = 8x^1-6x^0 + 0 =8x-6$
  $f''(x) = 8 \cdot 1 x^{1-1} = 8x^0=8$

• Überprüfe die Aussagen über ganzrationale Funktionen.

  Tipps

  Der Grad einer Funktion ist der Exponent ihrer höchsten Potenz.

  Die Funktion $f(x)=4x^3+3x-5\ $ hat also beispielsweise den Grad $3$.

  Wenn wir die Ableitung der Funktion bilden, so ist ihr Grad um $1$ kleiner, als der Grad der Funktion selbst.

  Eine Funktion $n$-ten Grades hat maximal $n$ Nullstellen.

  Lösung

  Der Grad einer ganzrationalen Funktion ist der Exponent ihrer höchsten Potenz. Die Funktion
  $f(x)=4x^3+3x-5$ hat also beispielsweise den Grad $3$.

  Allgemein gilt:

  • Wenn wir die Ableitung der Funktion bilden, so ist ihr Grad um $1$ kleiner, als der Grad der Funktion selbst.
  • Der Grad einer Funktion gibt die maximale Anzahl ihrer Nullstellen an. Eine Funktion $3$. Grades hat also beispielsweise maximal $3$ Nullstellen.

  
  

  Mit diesen Informationen überprüfen wir die Aussagen:

  • Eine Funktion $4$. Grades hat maximal $3$ Extrema.

  Richtig. Die erste Ableitung einer Funktion $4$. Grades hat den Grad $3$. Die erste Ableitung kann also maximal $3$ Nullstellen haben. Diese sind nach der notwendigen Bedingung mögliche Extremstellen.

  • Die Ableitung einer Funktion hat immer weniger Nullstellen als die Funktion selbst.

  Falsch. Zwar verringert sich die maximale Zahl der Nullstellen durch den geringeren Grad der Ableitung, das muss aber nicht heißen, dass die Anzahl der tatsächlichen Nullstellen sinkt.

  Gegenbeispiel: Die Funktion $f(x)=x^2$ hat eine Nullstelle, und ihre Ableitung $f'(x)=2x$ hat ebenfalls eine Nullstelle.

  • Eine Funktion $6.$ Grades hat mindestens $5$ Stellen, die die notwendige Bedingung erfüllen.

  Falsch. Es kann nur maximal $\mathbf{5}$ Stellen geben, die die notwendige Bedingung erfüllen, da die erste Ableitung der Funktion maximal $5$ Nullstellen hat.

  • Wenn eine ganzrationale Funktion vom Grad $3$ einen Hochpunkt hat, dann hat sie auch einen Tiefpunkt.

  Richtig. Ihre Ableitung ist vom Grad $2$ und hat somit maximal zwei Nullstellen. Wir betrachten die verschiedenen Fälle: Hat sie keine Nullstellen, so hat die Funktion auch keine Extrema. Hat sie eine Nullstelle, so lautet die Funktionsgleichung der Ableitung $f'(x)=a(x-b)^2$. Es handelt sich also um eine Parabel mit Scheitelpunkt $S(b|0)$ auf der $x$-Achse. Somit ist auch die zweite Ableitung an dieser Stelle gleich Null. Da die dritte Ableitung $f'''(x) = 2a$ dann an dieser Stelle ungleich Null ist (für $a \neq 0$), handelt es sich um einen Sattelpunkt. Es bleibt also noch die Möglichkeit, dass die erste Ableitung zwei Nullstellen hat. In diesem Fall schneidet die Parabel die $x$-Achse zwei mal, wobei die zweite Ableitung, also die Steigung der Parabel, in einem Fall positiv und in dem anderen Fall negativ sein muss. Es handelt sich also um einen Tiefpunkt und um einen Hochpunkt.