Definitionsbereich von Funktionen

Definitionsbereich von Funktionen Übung

• Gib an, bei welchen Rechenoperationen der Definitionsbereich gegebenenfalls eingeschränkt wird.

  Tipps

  $\ln(x)$ ist die natürliche Logarithmusfunktion, die Umkehrfunktion zur natürlichen Exponentialfunktion $e^x$.

  Beachte: $e^x>0$ für alle $x\in\mathbb{R}$.

  Überlege dir jeweils, ob du ein Beispiel für eine Rechnung findest, welche nicht möglich ist.

  Zum Beispiel darfst du nicht durch $0$ dividieren.

  • Das Quadrat einer reellen Zahl ist immer größer oder gleich $0$.
  • Die Quadratwurzel ist die Umkehrung des Quadrierens.

  Lösung

  Schauen wir uns die einzelnen Rechenoperationen an:

  • Die Addition ($+$): Du darfst zwei beliebige Zahlen addieren. Es gibt also keine Einschränkung.
  • Ebenso kannst du mit jeder beliebigen Zahl eine Subtraktion ($-$) sowie Multiplikation ($\cdot$) durchführen.
  • Kommen wir nun zur Division ($:$). Du weißt sicher noch, dass das Dividieren durch $0$ nicht möglich ist. Hier musst du also aufpassen, dass der Term im Nenner nicht $0$ werden darf.
  • Das Ziehen einer Quadratwurzel ($\sqrt{~~}$): Du kannst nur aus Zahlen, welche größer oder gleich $0$ sind, die Quadratwurzel ziehen.
  • Das Logarithmieren hier am Beispiel des natürlichen Logarithmus $\ln(~~)$: Wenn wir die natürliche Logarithmusfunktion $\ln(x)$ betrachten, so wissen wir, dass diese die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion $e^x$ ist. Da diese immer positiv ist, kann umgekehrt die natürliche Logarithmusfunktion nur für positive Argumente, also $x>0$, definiert sein. Diese Einschränkung gilt auch für jeden anderen Logarithmus.

• Bestimme den jeweiligen Definitionsbereich.

  Tipps

  Der Definitionsbereich der Funktion $f(x)=\sqrt x$ ist $D=\{x\in\mathbb{R}~|~x\ge 0\}$.

  Der Definitionsbereich der Funktion $f(x)=\ln(x)$ ist $D=\{x\in\mathbb{R}~|~x> 0\}$.

  Schau dir ein Beispiel an: $f(x)=\sqrt{x+2}$.

  • Es muss gelten $x+2\ge 0$.
  • Subtrahiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung, so erhältst du $x\ge -2$.

  Damit ist $D=\{x\in\mathbb{R}~|~x\ge -2\}$.

  Lösung

  Beachte bei jeder der Funktionen, ob irgendwelche Rechenoperationen durchgeführt werden, welche zu Einschränkungen des Definitionsbereiches führen.

  Beispiel 1: $f(x)=3x^2-x^2+4$

  Hier gibt es keine Einschränkungen, also ist $D=\mathbb{R}$.

  Beispiel 2: $f(x)=\frac3x$

  • Das Dividieren durch $0$ ist nicht möglich. Die $0$ muss somit ausgeschlossen werden.
  • Damit ist $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

  Beispiel 3: $f(x)=\sqrt{6-x}$

  • Der Term unter der Wurzel, der Radikand, darf nicht negativ sein, also
  • $6-x\ge 0$.
  • Addition von $x$ auf beiden Seiten der Ungleichung führt zu $6\ge x$ oder äquivalent $x\le 6$.
  • Somit ist $D=\{x\in\mathbb{R}~|~x\le 6\}$.

  Beispiel 4: $f(x)=\ln(6-3x)$

  • Das Logarithmieren ist nur möglich, wenn der Term in der Klammer, der Numerus, größer ist als $0$:
  • $6-3x> 0$.
  • Addition von $3x$ auf beiden Seiten der Ungleichung führt zu $6> 3x$.
  • Division durch $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung führt zu $2>x$. Das Relationszeichen wird nicht vertauscht, da durch eine positive Zahl dividiert wird, denn es gilt $3>0$.
  • Äquivalent kannst du auch schreiben $x<2$.
  • Somit ist $D=\{x\in\mathbb{R}~|~x<2\}$.

• Beschreibe, wie der Definitionsbereich der Funktion ermittelt werden kann.

  Tipps

  Beachte, dass man nicht durch $0$ dividieren darf.

  Es ist übrigens $\frac0{x^2+2x+1}=0$.

  Du musst eine Gleichung lösen. Die Lösungen dieser Gleichung schließt du aus dem Definitionsbereich aus.

  Lösung

  Bei dieser Funktion schauen wir uns die beiden Terme im Zähler sowie im Nenner an:

  • Gibt es bei dem Term im Zähler $x+2$ Einschränkungen? Nein!
  • Der Term im Nenner darf nicht $0$ werden, da die Division durch $0$ nicht möglich ist.

  Wir lösen die folgende Gleichung $x^2-9=0$:

  $\begin{array}{rclll} x^2-9&=&0&|&+9\\ x^2&=&9&|&\sqrt{~~~}\\ x_1&=&3\\ x_2&=&-3 \end{array}$

  Für $x_1=3$ sowie für $x_2=-3$ wird der Term im Nenner $0$.

  Diese beiden Werte für $x$ müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Somit ist $D=\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}$.

• Ermittle den jeweiligen Definitionsbereich.

  Tipps

  Verwende:

  • $f(x)=\frac1x~\rightarrow~D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$
  • $f(x)=\sqrt x~\rightarrow~D=\{x\in \mathbb{R}~|~x\ge 0\}$
  • $f(x)=\ln x~\rightarrow~D=\{x\in \mathbb{R}~|~x> 0\}$

  Gegebenenfalls musst du Gleichungen oder Ungleichungen lösen.

  Kombiniert man die Rechenarten, bei denen Einschränkungen zu beachten sind, dann müssen alle Einschränkungen zusammengefasst werden.

  Unter dem Definitionsbereich wird insbesondere immer der größtmögliche Definitionsbereich verstanden.

  Lösung

  Im Folgenden verwenden wir die folgenden Einschränkungen bei den gegebenen Funktionen:

  • $f(x)=\frac1x~\rightarrow~D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$
  • $f(x)=\sqrt x~\rightarrow~D=\{x\in \mathbb{R}~|~x\ge 0\}$
  • $f(x)=\ln x~\rightarrow~D=\{x\in \mathbb{R}~|~x> 0\}$

  Beispiel 1: $f(x)=\frac{x+2}{x^2+2x+1}$

  • Untersucht wird der Term im Nenner $x^2+2x+1=(x+1)^2$.
  • Dieser darf nicht $0$ sein, also darf $x$ nicht $-1$ sein.
  • Somit ist $D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

  Beispiel 2: $g(x)=\frac{\sqrt x}{x+1}$

  • Unsere erste Einschränkung resultiert aus der Wurzelfunktion $\sqrt x$ im Zähler. Es folgt: $x\ge 0$.
  • Eine weitere Einschränkung erhalten wir dadurch, dass nicht durch $0$ dividiert werden darf, also $x\neq -1$ gelten muss. Diese Einschränkung ist jedoch durch die erste Einschränkung $x\ge 0$ bereits gegeben.
  • Nun werden die Einschränkungen zusammengefasst zu $D=\{x\in\mathbb{R}~|~x\ge 0\}$.

  Beispiel 3: $h(x)=\sqrt{1-x^2}$

  • Der Radikand $1-x^2$ muss größer oder gleich $0$ sein:
  • $1-x^2\ge 0$.
  • Addition von $x^2$ auf beiden Seiten der Ungleichung führt zu $x^2\le 1$.
  • Nun kannst du die Wurzel ziehen. Achte dabei auf das Verdrehen des Relationszeichens. Es ergibt sich die Einschränkung $x\ge -1$ sowie $x\le 1$.
  • Insgesamt erhalten wir den Definitionsbereich $D=\{x\in\mathbb{R}~|~-1\le x\le 1\}$.

  Beispiel 4: $k(x)=\ln(x^2+x)$

  • Hier muss der Numerus, der Term in den Klammern, positiv sein.
  • Wir bestimmen dessen Nullstellen:
  • $x^2+x=x(x+1)=0$, also $x_1=-1$ sowie $x_2=0$.
  • Außerhalb des Intervalls $[-1;0]$ nimmt der Term positive Werte an. Dies erkennst du, wenn du dir den Verlauf des Graphen zum Term $x^2+x$ anschaust: Dieser ist eine nach oben geöffnete Parabel.
  • Damit ist $D=\{x\in\mathbb{R}~|~x<-1 \text{ oder }x>0\}$.

• Beschreibe, was ein Definitionsbereich ist.

  Tipps

  Schau dir ein Beispiel für eine Funktionsgleichung an: $f(x)=x^2$.

  • $x$ wird als Argument bezeichnet.
  • $y=f(x)$ ist der Funktionswert.

  • Im Definitionsbereich werden alle Werte für $x$ gesammelt, die möglicherweise in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen.
  • Im Wertebereich werden alle Funktionswerte gesammelt, welche durch Einsetzen der im Definitionsbereich festgelegten $x$-Werte in die Funktionslgeichung herauskommen.

  Lösung

  Was ist ein Definitionsbereich?

  Der Definitionsbereich beantwortet die Frage, für welche $x$-Werte die Funktion definiert ist.

  Anders ausgedrückt: Welche Werte dürfen für $x$ eingesetzt werden, für die die Rechenvorschrift, welche in der Funktionsgleichung gegeben ist, grundsätzlich ausführbar ist?

  Der Definitionsbereich wird mit einem großen $D$ abgekürzt.

  Oftmals ist es sinnvoll zu schauen, welche Werte für $x$ nicht eingesetzt werden dürfen. Diese müssen dann aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.

• Leite den Definitionsbereich der Funktion her.

  Tipps

  Beachte, dass der natürliche Logarithmus nur definiert ist für positive ($>0$) Argumente.

  Das Dividieren durch $0$ ist nicht möglich.

  Du musst die Stellen suchen, an welchen der Term $\ln(x+2)$ den Wert $0$ hat. Diese musst du aus dem Definitionsbereich ausschließen.

  Schau dir ein Beispiel an: $\ln(x-3)=0$.

  $\begin{array}{rclll} \ln(x-3)&=&0&|&e^{(~~~)}\\ e^{\ln(x-3)} &=& e^0 \\ x-3&=&1&|&+3\\ x&=&4 \end{array}$

  Lösung

  Es soll der Definitionsbereich der Funktion $f(x)=\frac1{\ln(x+2)}$ bestimmt werden.

  • Zunächst einmal muss $x+2>0$ gelten.
  • Subtraktion von $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung führt zu $x>-2$.

  Nun musst du allerdings noch beachten, dass das Dividieren durch $0$ nicht möglich ist. Das bedeutet, dass $\ln(x+2)\neq 0$ sein muss.

  Wir lösen die Gleichung $\ln(x+2)=0$:

  $\begin{array}{rclll} \ln(x+2)&=&0&|&e^{(~~~)}\\ e^{\ln(x+2)} &=& e^0 \\ x+2&=&1&|&-2\\ x&=&-1 \end{array}$

  Diese Lösung muss zusätzlich noch aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden: Damit ist $D=\{x\in\mathbb{R}~|~x>-2\}\setminus\{-1\}$.