Nullstellen durch Substitution bestimmen

Nullstellen durch Substitution bestimmen Übung

• Beschreibe die Substitution.

  Tipps

  Ein Polynom $n$-ten Grades kann bis zu $n$ Nullstellen haben.

  Bei der Polynomfunktion $ f(x)=x^4+2x^2+3 $ kannst du Substitution anwenden, um sie zu lösen.

  Lösung

  Um bei Polynomen höheren Grades die Nullstellen zu bestimmen, kann man die Substitution zu Hilfe nehmen. Substituieren bedeutet, dass man größere Potenzen von $x$ durch kleinere Potenzen ersetzt, zum Beispiel: $x^2 \to z$. Dann können die Nullstellen der substituierten Funktion mit der Mitternachtsformel berechnet werden.

  Dafür gibt es einige Voraussetzungen:

  • Die Umwandlung muss in sich stimmig sein und am Ende wieder rückgängig gemacht werden.

  • Alle Exponenten müssen im Verhältnis $2:1$ zueinander sein.

  Aus der Substitution werden die Werte für $z$ berechnet und durch die Resubstitution $\pm \sqrt z \to \pm x$ werden dann die Nullstellen der Funktion abgeleitet. Dabei kann ein Polynom $n$-ten Grades bis zu $n$ Nullstellen haben.

  Folgende Aussagen sind korrekt:

  • Du kannst die Substitution anwenden, wenn eine Funktion als Polynom vorliegt, bei dem alle Exponenten von $x$ im Verhältnis $2:1$ stehen.
  • Durch Resubstitution werden aus den Lösungen dann die Nullstellen der ursprünglichen Funktion abgeleitet.

  Folgende Aussagen sind nicht korrekt:

  • Die Nullstellen einer Polynomfunktion können direkt mit der Mitternachtsformel berechnet werden.

  $\rightarrow$ Das Polynom muss zunächst durch Substitution in die Form einer quadratischen Gleichung überführt werden. Anschließend werden die Nullstellen mit der Mitternachtsformel berechnet.

  • Eine Polynomfunktion hat ausschließlich $2$ Nullstellen.

  $\rightarrow$ Ein Polynom $n$-ten Grades kann bis zu $n$ Nullstellen haben.

• Gib den Funktionsterm nach der Substitution an.

  Tipps

  Es gilt: $ x^{2n} = (x^n)^2 $.

  Zum Beispiel kannst du bei der Polynomfunktion $f(x)=5x^4+2x^2+3$ das $x^2$ mit $z$ substituieren und erhältst $f(z)=5z^2+2z+3$.

  Lösung

  Bei der Substitution ersetzt man hohe Exponenten von $x$ mit kleinen Exponenten so, dass eine Funktion der Form $ax^2+bx+c=0$ entsteht. Diese Funktion kann dann mithilfe der Mitternachtsformel gelöst werden und die Nullstellen berechnet. Dabei wird im Allgemeinen $x^n = z$ und $x^{2n} = (x^n)^2 = z^2$ substituiert. Anschließend musst du resubstituieren, indem du $\sqrt[n]{z} = \pm x$ berechnest.

  Die Funktionen wurden folgendermaßen substituiert:

  • $2x^4+3x^2+7$ wird mit $x^2=z$ und $x^4=z^2$ zu: $~2z^2+3z+7$.
  • $2x^3+3x^6+7$ wird mit $x^3=z$ und $x^6=z^2$ zu: $~2z+3z^2+7$.
  • $2x^8+3+7x^4$ wird mit $x^4=z$ und $x^8=z^2$ zu: $~2z^2+3+7z$.
  • $2+3x^5+7x^{10}$ wird mit $x^5=z$ und $x^{10}=z^2$ zu: $~2+3z+7z^2$.

• Berechne die Nullstellen der Polynomfunktion.

  Tipps

  Die Mitternachtsformel lautet:

  $z_{1/2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

  Beachte, dass beide Vorzeichen beim Resubstituieren vorkommen. Beispiel: $\sqrt{25}=\pm5$

  Du erhältst also für jeden Wert von $z$ zwei Lösungen der Gleichung für $x$.

  Lösung

  Wir berechnen die Nullstellen über eine Substitution:
  $f(x)=-2x^4+34x^2-32$

  Wir substituieren mit $x^2=z$.
  Dabei wird $x^4 = (x^2)^2$ zu $z^2$.

  $f(x)=-2z^2+34z-32$

  Die Nullstellen sind die Lösungen der Gleichung $-2z^2 + 34 z - 32 = 0$. Wir können diese zunächst vereinfachen, indem wir durch $-2$ teilen und erhalten: $z^2 - 17z + 16$
  Mit der Mitternachtsformel berechnen wir die Lösungen:

  $z_{1/2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

  Also: $z_{1/2}=\dfrac{17 \pm \sqrt{(-17)^2-4 \cdot 16}}{2} =\dfrac{17 \pm 15}{2}$

  Daraus ergibt sich $z_1= \dfrac {2}{2} = 1$ und $z_2= \dfrac {32}{2} = 16$.

  Resubstitution:

  $\sqrt{z}=\pm~{x}$

  $\Rightarrow \quad \sqrt{z_1} = \sqrt{16}=\pm 4$

  $\Rightarrow \quad \sqrt{z_2} = \sqrt{1}=\pm 1$

  Die Polynomfunktion hat $4$ Nullstellen. $ \rightarrow ~ N_1(4\vert0)$ und $N_2(-4\vert0)$ und $N_3(1\vert0)$ und $N_4(-1\vert0)$

• Bestimme die Nullstellen der Polynomfunktion durch Substitution mit $z$.

  Tipps

  Beachte, dass man bei $x^3 = z$ bei der Resubstitution die $3$te-Wurzel ziehen muss. Dabei hat $\sqrt[3]{64}$ nur das Ergebnis $4$ und nicht $\pm4$, da bei einer ungeraden Potenz das Vorzeichen erhalten bleibt.

  Wenn man zum Beispiel aus der Resubstitution $z_1\rightarrow ~ x_1=5$ und $x_2=-5$ erhält, dann ergeben sich daraus die Nullstellen $(5\vert0)$ und $(-5\vert0)$.

  Lösung

  Um die Nullstellen des Polynoms $f(x) = x^6-35x^3+216$ zu bestimmen, muss die Gleichung $f(x) = 0$ gelöst werden.

  Hier: $x^6-35x^3+216 = 0$

  Da die Gleichung die Potenzen $x^6$ und $x^3$ enthält, substituieren wir zunächst mit $x^3 = z$ und erhalten:

  $h(x)=z^2-35z+216$

  Mit der Mitternachtsformel ergeben sich folgende Werte:

  $z_{1/2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

  $\Rightarrow \quad z_{1/2}=\dfrac{35 \pm \sqrt{35^2-4 \cdot 1 \cdot 216}}{2 \cdot 1}= \dfrac{35 \pm 361}{2}$

  Daraus ergeben sich $z_1=\dfrac{54}{2}=27$ und $z_2=\dfrac{16}{2}=8$.

  Nun führen wir die Resubstitution durch:

  Aus $z_1=27$ erhalten wir $x_1 = \sqrt[3]{27} = 3$ und aus $z_2=8$ erhalten wir $x_2 = \sqrt[3]{8} = 2$.

  Beachte, dass bei der $3$ten-Wurzel kein $\pm$ vor der Lösung steht, wir also für jeden Wert von $z$ nur einen Wert von $x$ erhalten. Dies liegt daran, dass bei ungeraden Potenzen wie $x^3$ das Vorzeichen erhalten bleibt.

  Die Nullstellen von $f(x)$ sind also:

  $N_1(3\vert0)$ und $N_2(2\vert0)$

• Benenne die Funktionen, deren Nullstellen durch Substitution bestimmt werden können.

  Tipps

  Man kann eine Polynomfunktion nur mit Substitution lösen, wenn ihre Exponenten im Verhältnis $2:1$ stehen.

  Bei der Polynomfunktion $\dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{1}{3}x^2+3$ können die Nullstellen durch Substitution bestimmt werden.

  Bei der Polxnomfunktion $\dfrac{1}{2}x^7+\dfrac{1}{3}x^6+3$ können die Nullstellen nicht durch Substitution bestimmt werden.

  Lösung

  Um Nullstellen von Polynomfunktionen zu bestimmen, kann man die Substitution zu Hilfe nehmen. Man kann sie aber nur substituieren, wenn ihre Exponenten im Verhältnis $2:1$ stehen.

  Bei diesen Polynomen kann man Nullstellen mit Substitution bestimmen:

  • $h(x)=\dfrac{1}{16}x^8-\dfrac{17}{16}x^4+1$

  Da die Exponenten $8$ und $4$ im Verhältnis $2:1$ zueinander stehen.

  $x^4=z~\rightarrow~f(z)=\dfrac{1}{16}z^2-\dfrac{17}{16}z+1$

  • $h(x)=\dfrac{1}{16}x^2-\dfrac{17}{16}x^4+1$

  Da die Exponenten $4$ und $2$ im Verhältnis $2:1$ zueinander stehen.

  $x^2=z~\rightarrow~f(z)=\dfrac{1}{16}z-\dfrac{17}{16}z^2+1$

  Bei diesen Polynomen kann man keine Nullstellen mit Substitution bestimmen:

  • $h(x)=\dfrac{1}{16}x^6-\dfrac{17}{16}x^4+1$

  Da die Exponenten $6$ und $4$ nicht im Verhältnis $2:1$ zueinander stehen.

  • $h(x)=\dfrac{1}{16}x^8-\dfrac{17}{16}x^3+1$

  Da die Exponenten $8$ und $3$ nicht im Verhältnis $2:1$ zueinander stehen.

• Ermittle die Nullstellen der Exponentialfunktion durch Substitution mit $z$.

  Tipps

  Potenzgleichungen können durch Logarithmen gelöst werden.

  Beispiel:

  $e^x=5 ~ \Leftrightarrow ~ x=\ln{5}$

  Es gilt:

  $e^{2x} = \left(e^x\right)^2$

  Lösung

  Um die Nullstellen der Exponentialfunktion $f(x)=e^{2x}-5e^x+6$ zu berechnen, muss die Gleichung $f(x) = 0$ gelöst werden.

  Wir berechnen die Nullstellen über eine Substitution. Dazu substituieren wir mit $e^x=z$.
  Wir können $e^{2x} = e^{2 \cdot x} = e^{x \cdot 2} = (e^x)^2$ umschreiben und dadurch kannst du $e^{2x}$ mit $z^2$ ersetzen.

  Daraus ergibt sich $f(z)=z^2-5z+6$.

  Mit der Mitternachtsformel erhält man folgende Werte:

  $z_{1/2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

  $\Rightarrow \quad z_{1/2}=\dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1 } = \dfrac{5 \pm 1}{2} $

  Das ergibt $z_1= \dfrac {6}{2} = 3$ und $z_2= \dfrac {4}{2} = 2$.

  Resubstitution:

  $z_1 = e^{x_1} = 3 ~ \rightarrow ~ x_1 = \ln({3})$
  $z_2 = e^{x_2} = 2 ~ \rightarrow ~ x_2 = \ln({2})$

  Die Funktion hat $2$ Nullstellen. $ \rightarrow ~ N_1(\ln({3})\vert0)$ und $N_2(\ln({2})\vert0)$