Absolute und relative Häufigkeit – Überblick
Erfahre, wie absolute und relative Häufigkeit in der Mathematik funktionieren, anhand von Nussmischungen und Packungen. Die absolute Häufigkeit zeigt dir die konkrete Anzahl der Elemente, während die relative Häufigkeit ihren Anteil an der Gesamtmenge angibt. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.
- Absolute und relative Häufigkeit in der Mathematik
- Absolute Häufigkeit – Definition und Erklärung
- Relative Häufigkeit – Definition und Erklärung
- Absolute und relative Häufigkeit – Unterschied
- Absolute und relative Häufigkeit berechnen – Übung mit Aufgaben
- Ausblick – das lernst du nach Absolute und relative Häufigkeit – Überblick
- Zusammenfassung – Absolute und relative Häufigkeiten
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Absolute Häufigkeit
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Grundlagen zum Thema Absolute und relative Häufigkeit – Überblick
Absolute und relative Häufigkeit in der Mathematik
Du kennst das vielleicht: Du machst eine neue Packung Nussmischung auf und musst feststellen: Da sind ja viel zu viele Rosinen drin! Die größere Packung, die du das letzte Mal hattest, war viel besser: Im Vergleich zu den Nüssen gab es dort viel weniger Rosinen – obwohl es absolut mehr waren. Das klingt komisch? Nicht mehr lange! Im Folgenden wirst du erfahren, was es mit absoluter und relativer Häufigkeit auf sich hat!
Absolute Häufigkeit – Definition und Erklärung
Betrachten wir zwei Packungen Nussmischung, die jeweils Rosinen, Mandeln und Erdnüsse enthalten. Packung Nummer eins beinhaltet insgesamt $40$ Teile und Packung Nummer zwei beinhaltet $120$ Teile. Man nennt die Gesamtmenge auch die Grundmenge. Betrachtet man eine spezielle Sorte aus der Mischung, ist die absolute Häufigkeit per Definition die genaue Anzahl dieser Sorte. Um beispielsweise die absolute Häufigkeit der Rosinen zu ermitteln, müssen wir zählen, wie viele Rosinen sich in jeder Packung befinden.
| Packung Nummer eins | Packung Nummer zwei | ||
|---|---|---|---|
| Grundmenge | $40$ | $120$ | Gesamtanzahl der Teile in der Packung |
| absolute Häufigkeit Rosinen | $8$ | $20$ | Gesamtanzahl der Rosinen in der Packung |
In Packung Nummer eins befinden sich genau $8$ Rosinen und in Packung Nummer zwei gibt es $20$ Rosinen.
Die absolute Häufigkeit entspricht der konkreten Anzahl an Elementen einer Menge, die bestimmte Eigenschaften erfüllen.
Relative Häufigkeit – Definition und Erklärung
Die relative Häufigkeit entspricht dem Anteil, den eine Teilmenge mit bestimmten Eigenschaften an der Grundmenge hat.
Die relative Häufigkeit gibt also das Verhältnis zwischen absoluter Häufigkeit und Grundmenge an. Man kann also die relative Häufigkeit berechnen, indem man die absolute Häufigkeit durch die Grundmenge teilt. Das können wir auch für die Anzahl der Rosinen in den Nussmischungen machen:
| Packung Nummer eins | Packung Nummer zwei | ||
|---|---|---|---|
| Grundmenge | $40$ | $120$ | Gesamtanzahl an Teilen |
| absolute Häufigkeit Rosinen | $8$ | $20$ | Gesamtanzahl an Rosinen |
| relative Häufigkeit Rosinen | $\dfrac{8}{40} = 0{,}2$ | $\dfrac{20}{120} = 0{,}1\overline{6}$ |
Obwohl sich in Packung Nummer zwei absolut gesehen mehr Rosinen befinden, ist die relative Häufigkeit, also der Rosinenanteil, geringer – nämlich etwa $17\,\%$ im Vergleich zu $20\,\%$.
Wusstest du schon?
Häufigkeiten sind im Sport allgegenwärtig! Zum Beispiel wird die Trefferquote eines Basketballspielers oder einer Basketballspielerin als relative Häufigkeit angegeben. Wenn jemand $7$ von $10$ Würfen trifft, beträgt die Trefferquote $70\,\%$. So können Trainerinnen und Trainer die Leistung festhalten und für die Zukunft mit anderen Trefferquoten vergleichen!
Absolute und relative Häufigkeit – Unterschied
Während die absolute Häufigkeit die konkrete Anzahl angibt, mit der ein Ereignis auftritt, z. B. wie viele Rosinen sich genau in einer Packung befinden, setzt die relative Häufigkeit diese konkrete Zahl ins Verhältnis zur Gesamtzahl und gibt damit den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Grundmenge an.
-
Absolute Häufigkeit
Natürliche Zahl zwischen $0$ und der Gesamtzahl der Versuche -
Relative Häufigkeit:
Dezimal- oder Prozentzahl zwischen $0$ und $1$ bzw. $0\,\%$ und $100\,\%$
Absolute und relative Häufigkeit – Formel
Bei bekannter Grundmenge/Gesamtzahl können wir die relative Häufigkeit mithilfe der absoluten Häufigkeit berechnen und umgekehrt:
$\text{relative Häufigkeit} = \dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtzahl}}$
$\text{absolute Häufigkeit} = \text{relative Häufigkeit} \cdot \text{Gesamtzahl}$
Betrachten wir dies am Beispiel der Rosinen aus Packung Nummer eins:
$40 \cdot 0{,}2 = 8$
Für $20\,\%$ der $40$ Teile erhalten wir $8$ Rosinen in Packung Nummer eins.
Auch die Gesamtzahl kann aus absoluter und relativer Häufigkeit berechnet werden.
Angenommen wir wissen von einer dritten Packung, dass sie $12$ Rosinen enthält und der Rosinenanteil bei $30\,\%$ liegt.
Wir rechnen:
$\text{Gesamtzahl} = \dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{relative Häufigkeit}} = \dfrac{12}{0{,}3} = 40$
Packung Nummer drei ist also ebenfalls eine kleine Packung mit insgesamt $40$ Teilen.
Schlaue Idee
Beim Einkaufen kann es nützlich sein, die absolute und relative Häufigkeit von Sonderangeboten zu kennen, um zu entscheiden, wann die beste Zeit für Schnäppchen ist.Je nach Gesamtzahl können $20\,€$ oder $20\,\%$ mehr Rabatt bedeuten!
Absolute und relative Häufigkeit berechnen – Übung mit Aufgaben
Ausblick – das lernst du nach Absolute und relative Häufigkeit – Überblick
Vertiefe dein Wissen mit Kumulierten Häufigkeiten oder dem Gesetz der großen Zahlen. Diese Themen bauen auf dein Verständnis der absoluten und relativen Häufigkeit auf und bieten dir neue, spannende Einblicke.
Zusammenfassung – Absolute und relative Häufigkeiten
- Die absolute Häufigkeit beschreibt die konkrete Anzahl an Elementen in einer Menge, die bestimmte Eigenschaften erfüllen.
- Die relative Häufigkeiten beschreibt den Anteil zur Grundmenge, die bestimmte Eigenschaften erfüllen.
-
Mit der Gesamtanzahl an Elementen in der Grundmenge kann jede absolute Häufigkeit in eine relative Häufigkeit umgerechnet werden:
$\text{relative Häufigkeit} = \dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtanzahl}}$
Häufig gestellte Fragen zum Thema Absolute Häufigkeit
Transkript Absolute und relative Häufigkeit – Überblick
Viele kennen das Problem, man mag Rosinen nur bedingt und in Nussmischungen gibt es immer viel zu viele davon. Wir betrachten eine Packung eines Dreierpackt mit je 80 Gramm Inhalt und eine Familienpackungen mit 240 Gramm Inhalt, beide beinhalten Erdnüsse, Mandeln und Rosinen. Hmm... Es ergibt sich für beide Angebote doch dasselbe Gewicht. önnen sich die Angebote trotzdem in ihrer Zusammensetzung unterscheiden? m diese Frage zu beantworten, nutzen wir die absolute und relative Häufigkeit. afür betrachten wir jeweils den Inhalt einer kleinen Packung und den der großen Packung. Zunächst zählen wir alle Rosinen, die in den jeweiligen Nussmischungen enthalten sind. Wir erhalten für die kleine Packung eine Anzahl von 8 und für die Familienpackung eine Anzahl von 20 Rosinen, diese Anzahlen sind die jeweiligen absoluten Häufigkeiten. Die absolute Häufigkeit eines Objektes ist also gleich der Anzahl des jeweiligen Objektes in der Grundmenge, also in der gesamten Menge. In der kleinen Packung ist die Gesamtzahl von Nüsse und Rosinen 40, während es in der Familienpackung 120 sind. Können wir die absoluten Häufigkeiten nun direkt miteinander vergleichen? Nein, um zu bestimmen, in welcher Packung der ANTEIL an Rosinen größer ist, brauchen wir die jeweiligen relativen Häufigkeiten. Die relative Häufigkeit beschreibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Grundmenge und sie ist somit der Quotient aus der absoluten Häufigkeit und der Grundmenge. Zur Bestimmung der relativen Häufigkeiten teilen wir also 8 durch 40 beziehungsweise 20 durch 120. Somit erhalten wir für die kleine Packung eine relative Häufigkeit von acht Vierzigsteln. Die Familienpackung hat einen Rosinenanteil von zwanzig Hundertzwanzigsteln. Diese beiden Brüche können wir noch kürzen zu einem Fünftel beziehungsweise einem Sechstel. Um einen besseren Eindruck über die jeweiligen Anteile zu bekommen, können wir diese Brüche auch in Prozent angeben. Wir erhalten so 20 beziehungsweise 16 Komma Periode 6 Prozent. Diese Angaben können wir auch in Dezimalzahlen ausdrücken, also 0,2 beziehungsweise 0,16 Periode 6 — das sind kurz 0 Komma 1 Periode 6. Welches Angebot sollte man wählen, wenn man nicht so viele Rosinen mag? Die Familienpackung hat einen geringeren Rosinenanteil und ist dementsprechend besser geeignet. Statt der Rosinen können wir aber auch den Anteil der Nüsse in den Nussmischungen betrachten. Hierzu notieren wir uns die absoluten Häufigkeiten der Mandeln und die absoulute Häufigkeit der Erdnüsse. Wir zählen 12 Erdnüsse und 20 Mandeln in der kleinen Nussmischung beziehungsweise 36 Erdnüsse und 64 Mandeln in der Familienpackung. Unsere Grundmengen sind weiterhin die Gesamtzahlen in den jeweiligen Packungen, also 40 beziehungsweise 120. Da wir hier nicht den Anteil der jeweiligen Nussart, sondern der Nüsse generell betrachten möchten, können wir die absoluten Häufigkeiten der Erdnüsse und Mandeln addieren. Die Summe der absoluten Häufigkeiten nennt man auch die kumulierte absolute Häufigkeit, oder auch die aufsummierte absolute Häufigkeit. Unsere kumulierten absoluten Häufigkeiten sind 12 + 20, also 32 beziehungsweise 36 + 64, also 100. Um die beiden Anteile der Nüsse besser vergleichen zu können, bietet sich wieder die relative Häufigkeit an. Wir teilen also wieder die absoluten Häufigkeiten, diesmal aber die kumulierte absoluten Häufigkeiten, durch die dazugehörigen Grundmengen. Dadurch erhalten wir kumulierte relative Häufigkeiten, also aufsummierte relative Häufigkeiten. Für die kleine Nussmischung beträgt diese 32 Vierzigstel und für die große Packung 100 Hundertzwanzigsteln. Gekürzt ergibt das 2 Fünftel beziehungsweise 5 Sechstel Auch diese Brüche können wir in Prozent angeben, wir erhalten 80 beziehungsweise 83 Komma Periode 3 Prozent. Oder als Dezimalzahl ausgedrückt, 0,8 bzw. 0,83 Periode 3; kurz 0 Komma 8 Periode 3. Auch hier kann man sehen, dass sich die Familienpackung anbietet, wenn man möglichst wenige Rosinen, also möglichst viele Nüsse haben möchte. Fassen wir das Gelernte noch zusammen. Die absolute Häufigkeit eines Objektes entspricht der Anzahl dieses Objektes in der Grundmenge. Die absolute Häufigkeit ist stets eine ganze Zahl, die größer oder gleich Null und kleiner oder gleich der Grundmenge ist. Die relative Häufigkeit eines Objektes erhalten wir, indem wir die absolute Häufigkeit dieses Objektes durch die jeweilige Grundmenge teilen. Die relative Häufigkeit ist also gleichbedeutend mit dem Anteil eines Objektes in Bezug auf die Grundmenge. Die relative Häufigkeit ist stets eine Zahl zwischen Null und Eins. Sie kann als Bruch, Dezimalzahl oder in Prozent angegeben werden. Durch Aufsummieren von absoluten Häufigkeiten, beispielsweise wenn wir mehrere verschiedene Objekte in einer Grundmenge betrachten, erhalten wir die kumulierte absolute Häufigkeit. Man spricht auch von der aufsummierten absoluten Anzahl oder Häufigkeit. Merke dir: Die kumulierte absolute Häufigkeit aller Objekte, in unserem Beispiel aller Nüsse und Rosinen, entspricht der Grundmenge. Die kumulierte relative Häufigkeit erhalten wir, in dem wir das Verhältnis von der kumulierten absoluten Häufigkeit und der Grundmenge bilden. Die kumulierte relative Häufigkeit aller Objekte, also der Anteil aller Objekte an der Grundmenge, ist gleich Eins. Nun können wir endlich unsere Nussmischung genießen. Ach herrje... Was ist denn da los? Wir sind scheinbar nicht die einzigen, die Rosinen nur bedingt mögen.
Absolute und relative Häufigkeit – Überblick Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen zu Häufigkeiten.
TippsRelative Häufigkeiten dienen zum besseren Vergleich von absoluten Häufigkeiten unterschiedlicher Grundmengen.
Das Verb „kumulieren“ bedeutet „ansammeln“ oder „anhäufen“.
Es gilt:
$\text{relative H}\ddot{\text{a}}\text{ufigkeit} = \dfrac{\text{absolute H}\ddot{\text{a}}\text{ufigkeit}}{\text{Grundmenge}}$
Zwei Aussagen stimmen.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
- „Absoluten Häufigkeiten eigenen sich besonders, um Mengenverhältnisse zu vergleichen.“
Wenn absolute Häufigkeiten auf unterschiedlichen Grundmengen basieren, ist ein Vergleich schwierig. Relative Häufigkeiten dienen zum besseren Vergleich von absoluten Häufigkeiten unterschiedlicher Grundmengen. Hier teilst du durch die jeweilige Grundmenge, dieser Faktor wird also herausgerechnet.
- „Wenn etwas besonders oft vorkommt, liegt die relative Häufigkeit über $100\,\%$.“
Die relative Häufigkeit liegt immer zwischen $0$ und $1$, also zwischen $0\,\%$ und $100\,\%$. Wenn etwas sehr häufig vorkommt, kann die relative Häufigkeit nahe an $100\,\%$ liegen, aber niemals darüber.
Diese Aussagen sind richtig:
- „Eine relative Häufigkeit berechnet man aus der absoluten Häufigkeit und der Grundmenge.“
Es gilt: $\text{relative H}\ddot{\text{a}}\text{ufigkeit} = \dfrac{\text{absolute H}\ddot{\text{a}}\text{ufigkeit}}{\text{Grundmenge}}$
- „Kumulierte Häufigkeiten sind aufsummierte Häufigkeiten.“
Das Verb „kumulieren“ bedeutet „ansammeln“ oder „anhäufen“. Für kumulierte Häufigkeiten summierst du verschiedene absolute Häufigkeiten auf und teilst sie gegebenenfalls durch die Grundmenge.
- „Absoluten Häufigkeiten eigenen sich besonders, um Mengenverhältnisse zu vergleichen.“
-
Beschreibe die Berechnung von Häufigkeiten.
TippsAbsolute Häufigkeiten geben die Anzahl von zählbaren Objekten an.
Relative Häufigkeiten dienen zum besseren Vergleich von absoluten Häufigkeiten unterschiedlicher Grundmengen.
LösungDer Lückentext vervollständigt sich so:
Um die Anzahl von Rosinen in einer Nussmischung zu bestimmen, kannst du sie einfach zählen. In einer kleinen Packung befinden sich $8$ und in einer großen $20$ Rosinen. Die absolute Häufigkeit der Rosinen der kleinen Packung beträgt also $8$ und die der großen Packung $20$.
(Absolute Häufigkeiten geben die Anzahl von zählbaren Objekten an.)
Die Gesamtmenge an Nüssen und Rosinen beträgt $40$ in der kleinen und $120$ in der großen Packung. Diese Größe nennt man auch Grundmenge. Damit lässt sich die relative Häufigkeit bestimmen:
$\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}$
Mit der relativen Häufigkeit lassen sich absolute Häufigkeiten mit unterschiedlicher Grundmenge besser vergleichen. Die relative Häufigkeit von Rosinen in der kleinen Packung beträgt:
$\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}=\frac{8}{40}=\frac{1}{5}$
Die relative Häufigkeit von Rosinen in der großen Packung beträgt:
$\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$
Du kannst aber auch die Häufigkeiten der Nüsse bestimmen: In der kleinen Packung der Nussmischung befinden sich $12$ Erdnüsse und $20$ Mandeln. Um die Häufigkeit der Nüsse in der Packung zu berechnen, verwendest du kumulierte Häufigkeiten.
Diese summieren die einzelnen Werte auf. Die kumulierte absolute Häufigkeit der Nüsse in der Packung beträgt $32$. Auch hier lässt sich eine relative Häufigkeit bestimmen, indem du die absolute Häufigkeit durch die Grundmenge teilst. Die kumulierte relative Häufigkeit der Nüsse in der kleinen Packung beträgt also:
$\text{kumulierte relative Häufigkeit}=\frac{\text{kumulierte absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}=\frac{32}{40}=\frac{4}{5}$
-
Bestimme die relativen Häufigkeiten.
TippsUm Häufigkeiten verschiedener Grundmengen zu vergleichen, musst du relative Häufigkeiten berechnen.
Manchmal ist es nicht offensichtlich, welcher von zwei Brüchen größer ist. In solchen Fällen solltest du die zwei Brüche auf den gleichen Nenner bringen und die Zähler vergleichen oder die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln.
LösungUm die Anteile in die richtige Reihenfolge vom kleinsten bis zum größten Anteil zu bringen, musst du die relativen Häufigkeiten ausrechnen. Für den ersten Anteil geht das wie folgt:
$\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}\approx 0,14$
Die anderen Anteile kannst du analog berechnen. Damit ergibt sich folgende Reihenfolge der Anteile:
Die Nussmischung enthält $3$ Mandeln bei insgesamt $21$ Nüssen:
- relative Häufigkeit: $\frac{1}{7}\approx 0,14$
- relative Häufigkeit: $\frac{1}{5}= 0,2$
- relative Häufigkeit: $\frac{1}{3}\approx 0,33$
- relative Häufigkeit: $\frac{4}{7}\approx 0,57$
- relative Häufigkeit: $\frac{3}{5}=0,6$
- relative Häufigkeit: $\frac{2}{3}\approx 0,67$
-
Bestimme die Art der Häufigkeit.
TippsAbsolute Häufigkeiten geben die Anzahl zählbarer Objekten an.
Relative Häufigkeiten dienen zum besseren Vergleich absoluter Häufigkeiten unterschiedlicher Grundmengen.
LösungDie Aussagen können wie folgt zugeordnet werden:
Absolute Häufigkeit
- Es gibt $3$ blaue.
- $2$ sind gelb.
- Es gibt $4$ rote.
Relative Häufigkeit
- $\frac{1}{5}$ sind gelb.
- $4$ von $10$ sind rot.
- $30\,\%$ sind blau.
- $10\,\%$ sind grün.
Kumulierte absolute Häufigkeit
- $5$ sind rot oder grün.
- $6$ sind rot oder gelb.
-
Bestimme die Art der Häufigkeit.
TippsAbsolute Häufigkeiten geben die Anzahl zählbarer Objekte an.
Relative Häufigkeiten dienen zum besseren Vergleich von absoluten Häufigkeiten unterschiedlicher Grundmengen.
Bei kumulierten Häufigkeiten wird etwas zusammengezählt.
LösungDie Beispiele für Häufigkeiten werden wie folgt zugeordnet:
Absolute Häufigkeit
- In einer Nussmischung befinden sich $8$ Rosinen.
Relative Häufigkeit
- In einer Nussmischung mit insgesamt $120$ Teilen befinden sich $20$ Rosinen. Das ergibt einen Anteil von $\frac{1}{6}$.
Kumulierte absolute Häufigkeit
- In einer Nussmischung befinden sich $12$ Erdnüsse und $20$ Mandeln, also insgesamt $32$ Nüsse.
Kumulierte relative Häufigkeit
- Der Anteil von insgesamt $32$ Nüssen verschiedener Art an einer Nussmischung von $40$ Teilen beträgt $\frac{4}{5}$.
-
Bestimme die relativen Häufigkeiten.
TippsUm von der relativen auf die absolute Häufigkeit zurückzurechnen, musst du die Formel für die Berechnung der relativen Häufigkeit umstellen.
Möchte man den Anteil über beide befragten Gruppen bestimmen, muss man die absoluten Häufigkeiten und die Grundmenge kumulieren.
Hast du eine relative Häufigkeit und die Grundmenge gegeben, kannst du auf die absoluten Häufigkeiten zurückrechnen, indem du die Formel umstellt und die Werte einsetzt. Das Umstellen funktioniert so:
$\text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}$
Wir multiplizieren auf beiden Seiten der Gleichung mit der $\text{Grundmenge}$ und erhalten:
$\text{absolute Häufigkeit} = \text{relative Häufigkeit} \cdot \text{Grundmenge}$
LösungFolgendes wird richtig eingesetzt:
„In Berlin wurden $138$ Menschen befragt. Die kumulierten Häufigkeiten der Antworten sind:
- Hummus: $63$
- Marmelade: $54$
- Senf: $21$“
$\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}=\frac{63}{138}\approx0,46$
„Die relativen Häufigkeiten betragen damit:
- Hummus: $0,46$
- Marmelade: $0,39$
- Senf: $0,15$
- Hummus: $0,57$
- Marmelade: $0,20$
- Senf: $0,23$“
$\begin{array}{llll} \text{relative Häufigkeit}&=& \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}} & \vert \cdot \text{Grundmenge} \\ \text{absolute Häufigkeit}&=&\text{relative Häufigkeit} \cdot \text{Grundmenge} \\ \end{array}$
„Diese betragen:
- Hummus: $34$
- Marmelade: $12$
- Senf: $14$
- Berlin: $84$
- Karlsruhe: $48$“
„Mit den kumulierten relativen Häufigkeiten können die Forschenden bestimmen, welcher Anteil an Menschen keine süßen Brotaufstriche mag. Diese Häufigkeiten betragen in:
- Berlin: $0,61$
- Karlsruhe: $0,80$“
„Die Forscher*innen möchten jetzt noch feststellen, welcher Anteil an allen befragten Menschen gern Marmelade isst. Dazu berechnen sie die kumulierte relative Häufigkeit aller Befragten. Hier ergibt sich $0,33$.“
Diesen Wert bestimmst du, indem du die absoluten Häufigkeiten von Marmelade in beiden Städten addierst und durch die Summe der Grundmengen teilst:
$\frac{54+12}{138+60}\approx0,33$
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In den Studenten Futter sind so wenige Erdnüsse und Rosinen schade
Sehr gut erklärt und informierend, Vielen Dank an das Team Digital !
Rosinen sind viel besser als Nüsse !!!👌
sehr hilfreich☺️
Rosinen auf die 1