Antiproportionale Zuordnungen

Antiproportionale Zuordnungen Übung

• Beschreibe die Zuordnung.

  Tipps

  Nimmt der Wert von $y$ im gleichen Maß ab, wie der Wert von $x$ zunimmt, so stehen $x$ und $y$ in einer antiproportionalen Zuordnung.

  Mit dem Dreisatz kannst du ausrechnen, wie lange die Ernte für $7$ Helfer dauert, wenn du weißt, wie lange $3$ Helfer dafür brauchen.

  Multiplizierst du die Anzahl der Helfer mit der Dauer der Ernte, so erhältst du immer denselben Wert $p$. Denn wenn sich die Zahl der Helfer verdoppelt, halbiert sich gleichzeitig die Dauer.

  Lösung

  Die Dauer der Ernte hängt von der Anzahl der Helfer ab: Je mehr Helfer es sind, desto kürzer ist die Erntedauer. Genauer gesagt, ist die Erntedauer zur Anzahl der Helfer antiproportional. Das bedeutet: Wenn sich die Anzahl der Helfer verdoppelt, halbiert sich zugleich die Dauer der Ernte.

  Brauchen $2$ Arbeiter für eine Arbeit $12$ Tage, so genügen für $4$ Arbeiter bereits $6$ Tage. Sechs Arbeiter sind dreimal so viel wie zwei Arbeiter. Daher brauchen sechs Arbeiter für dieselbe Arbeit nur ein Drittel der Zeit von zwei Arbeitern.

  Allgemeiner verkürzt sich die Arbeitsdauer bei einer beliebigen Zahl von $n$ Arbeitern auf das $\frac{1}{n}$-fache der Dauer für einen einzigen Arbeiter. Ausgehend von einem bekannten Wertepaar für die Anzahl der Arbeiter und der Dauer der Arbeit kannst du mithilfe des Dreisatzes die Dauer für jede andere Zahl von Arbeitern ausrechnen: Multipliziert er die Arbeitsdauer für $2$ Arbeiter mit $2$, so findet er die Dauer derselben Arbeit für einen Arbeiter. Dividiert er diesen Wert durch die Anzahl $n$ der Arbeiter, so findet er die Arbeitsdauer für $n$ Arbeiter.

  Diesen Zusammenhang kannst du auch mit dem Antiproportionalitätsfaktor $p$ formulieren: Das Produkt aus der Arbeiterzahl und der Arbeitsdauer ist immer gleich. Für verschiedene zugehörige Paare $(x|y)$ von Anzahl $x$ der Arbeiter und Dauer $y$ der Arbeit ist also $p = x \cdot y$ konstant.

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Drei Arbeiter brauchen für dieselbe Arbeit dreimal so lange wie neun Arbeiter.

  Die Dauer $y$ für $x$ Arbeiter kannst du mithilfe des Antiproportionalitätsfaktors bestimmen.

  Wenn $x=7$ Arbeiter $y=10$ Stunden für eine Arbeit brauchen, so ist $p = x \cdot y = 70$.

  Lösung

  Bei einer antiproportionalen Zuordnung wird der Wert $x$ eines Wertepaares $(x|y)$ um denselben Faktor größer wie der Wert $y$ kleiner wird. Dieser konstante Faktor heißt Antiproportionalitätsfaktor $p$. Es ist daher $p = x \cdot y$ für ein Wertepaar $(x|y)$ einer antiproportionalen Zuordnung konstant. Mit diesen Überlegungen findest du die folgenden korrekten Sätze:

  • Verdoppelt sich der Wert für $x$, ... so halbiert sich der Wert für $y$.

  • Halbiert sich der Wert für $x$, ... so verdoppelt sich der Wert für $y$.

  • Multipliziert man die Werte für $x$ und $y$, ... so erhält man den Antiproportionalitätsfaktor $p$.

  • Dividiert man den Antiproportionalitätsfaktor $p$ durch $x \neq 0$, ... so erhält man den zugehörigen Wert $y$.

  • Dividiert man den Antiproportionalitätsfaktor $p$ durch $y \neq 0$, ... so erhält man den zugehörigen Wert $x$ zurück.

• Erschließe die Punkte im Koordinatensystem.

  Tipps

  Die Antiproportionalitätskonstante $p$ entspricht dem Pauschaulpreis für den Flughafen.

  Für jeden Punkt $(x|y)$ der Zuordnung gilt $x \cdot y = p$.

  Der Punkt $(x|y)=(1|5)$ gehört nicht zum Graphen der Zuordnung, da für diesen Punkt gilt:

  $x\cdot y = 5 \neq 6$.

  Lösung

  Da die Gesamtkosten des Tunnelbaus konstant sind, ist die Relation zwischen den monatlichen Baukosten und der Dauer des Baus in Monaten eine antiproportionale Zuordnung. Der Antiproportionalitätsfaktor $p$ ist identisch mit den Gesamtkosten von $6$ Millionen €. Jedes passende Paar aus der Gesamtbauzeit $x$ (in Monaten) und den monatlichen Kosten $y$ (in Millionen Euro pro Monat) ergibt den Wert $p = 6$ Millionen €. Alle Punkte $(x|y)$ mit $x \cdot y = p$ gehören zu dieser antiproportionalen Zuordnung und müssen markiert werden. Alle Punkte $(x|y)$ mit $x \cdot y \neq p$ gehören nicht dazu. Punkte $(x|y)$ mit $x \cdot y > p$ sollten die Bauträger hellhörig machen, denn hierbei sind die Gesamtkosten höher als in der Pauschale $p$ vereinbart. Punkte $(x|y)$ mit $x \cdot y < p$ sind ein Schnäppchen für die Stadt, denn hierbei liegen die tatsächlichen Gesamtkosten unter dem vereinbarten Pauschalpreis.

  Folgende Punkte im Diagramm gehören zu der antiproportionalen Zuordnung mit dem Antiproportionalitätsfaktor $p = 6$:

  $(1|6)$, $(1,5|4)$, $(2|3)$, $(3|2)$, $(4|1,5)$, $(6|1)$

  Alle anderen Punkte $(x|y)$ gehören nicht zu der Zuordnung, denn für sie ist $x \cdot y \neq 6$.

  Im Bild siehst du die korrekten Punkte der antiproportionalen Zuordnung mit $p = 6$. Sie liegen alle auf der Hyperbel, die durch die Gleichung $x \cdot y = 6$ bestimmt wird.

• Bestimme die Wertepaare.

  Tipps

  Der Antiproportionalitätsfaktor $p$ ist das Produkt aus zwei zueinander gehörenden Werten $x$ und $y$.

  Die Wertepaare $(2|10)$ und $(4|12)$ gehören nicht zu derselben antiproportionalen Zuordnung, da sie verschiedene Antiproportionalitätsfaktoren ergeben.

  Lösung

  Bei einer antiproportionalen Zuordnung der Werte $x$ und $y$ ist das Produkt $p = x \cdot y$ konstant. Diese Konstante heißt Antiproportionalitätsfaktor. Du kannst die Wertepaare dem passenden Antiproportionalitätsfaktor zuordnen, indem du sie multiplizierst. Du erhältst dann folgende Zuordnung:

  $p=85$:

  • $x=2,5$, $y=34$, denn $2,5 \cdot 34 = 85$.
  • $x=10$, $y=8,5$, denn $10 \cdot 8,5 = 85$.
  • $x=4,25$, $y=20$
  • $x=17$, $y=5$

  $p=100$:

  • $x=16$, $y=6,25$, denn $16 \cdot 6,25 = 100$.
  • $x=25$, $y=4$, denn $25 \cdot 4 = 100$.
  • $x=8$, $y=12,5$
  • $x=125$, $y=0,8$

  $p=60$

  • $x=12$, $y=5$, denn $12 \cdot 5 = 60$.
  • $x=8$, $y=7,5$, denn $8 \cdot 7,5 = 60$.
  • $x=0,75$, $y=80$
  • $x=2,5$, $y=24$

• Bestimme die Zahlen.

  Tipps

  Zwei Arbeiter brauchen für dieselbe Arbeit halb so viel Zeit wie einer alleine.

  Braucht $x=1$ Arbeiter $y=24$ Tage, so ist $p = 1 \cdot 24 = 24$. Du kannst die Gleichung $x \cdot y = 24$ nach $x$ oder nach $y$ auflösen, um weitere Werte auszurechnen.

  Für den Wert $y = 10$ findest du $x = \frac{24}{10} = 2,4$.

  Lösung

  Zwei Arbeiter brauchen für dieselbe Arbeit nur halb so viel Zeit wie ein Arbeiter allein und sie brauchen doppelt so lange wie vier Arbeiter. Solche Zuordnungen wie die zwischen der Anzahl der Arbeiter und der Arbeitsdauer heißen antiproportional.

  Braucht $1$ Arbeiter $24$ Tage, so schaffen zwei Arbeiter dieselbe Arbeit in der halben Zeit, also in $12$ Tagen. Vier Arbeiter sind doppelt so viele wie zwei Arbeiter. Sie brauchen daher nur halb so viel Zeit, also $6$ Tage.

  Das Produkt aus der Anzahl $x$ der Arbeiter und der Dauer $y$ der Arbeit ist konstant. Man nennt $p = x \cdot y$ den Antiproportionalitätsfaktor. Diese Gleichung kannst du nach $x$ oder $y$ auflösen, um jeden fehlenden Wert zu berechnen.

  Mit $x= 1$ und $y = 24$ findest du $p = 24$. Für den Wert $y = 4,8$ kannst du also $x = \frac{24}{4,8} = 5$ ausrechnen. Analog erhältst du für $x = 6$ Arbeiter die Dauer $y = \frac{24}{6} = 4$ Tage. Das ist richtig, denn $6$ Arbeiter sind dreimal so viele wie $2$ Arbeiter und brauchen daher nur ein Drittel von $12$ Tagen.

• Ermittle die fehlenden Werte.

  Tipps

  $5$ Arbeiterinnen und Arbeiter brauchen bei $5$ Stunden täglicher Arbeit insgesamt $40$ Tage.

  Hier liegt eine antiproportionale Zuordnung vor. Je mehr Arbeiterinnen und Arbeiter bei der Fertigstellung des Dachs beteiligt sind, desto schneller ist es konstruiert. Zweimal mehr Arbeiterinnen und Arbeiter haben das Dach in der Hälfte der Zeit bei gleicher täglicher Arbeitszeit fertiggestellt.

  Der Antiproportionalitätsfaktor berechnet sich auch bei drei Werten stets aus dem Produkt aller zugehörigen Werte und ist konstant.

  $x \cdot y \cdot z = p$

  Lösung

  In der folgenden Tabelle steht $P$ für die beteiligten Personen, also die Anzahl an Arbeiterinnen und Arbeitern, $h$ steht für tägliche Anzahl an Arbeitsstunden pro Arbeiterin und Arbeiter und $d$ steht für die Anzahl an benötigen Tagen zur Fertigstellung.

  $ \begin{array}{c|c|c} P&h&d\\ \hline 10&5&20\\ \hline 10&10&10\\ \hline 5&2&100\\ \hline 5&5&40\\ \hline 25&8&5 \end{array}$

  In der Tabelle lassen sich die Anzahl an Arbeiterinnen und Arbeitern, täglicher Arbeitszeit und benötigten Tagen ablesen. Auch bei dieser zusammengesetzten Variante der Zuordnung handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung mit einem konstanten Antiproportionalitätsfaktor $p$. In diesem Fall ist $P \cdot h \cdot d = p = 1000$.

  Auch diese Formel lässt sich nach einer Variablen umstellen. Es gilt beispielsweise $h = \dfrac{p}{P \cdot d}$

  Im zweiten Abschnitt ist die Anzahl an Tagen gesucht, die $5$ Arbeiterinnen und Arbeiter bei täglich $2$ Stunden Arbeit für die Fertigstellung des Dachs benötigen. Für $p=1000$ lässt sich also rechnen:

  $ \begin{array}{rcc} d&=&\dfrac{1000}{5 \cdot 2}\\ &=&100 \end{array}$

  Analog dazu lassen sich alle anderen fehlenden Werte berechnen.