Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen

Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen Übung

• Vervollständige das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz.

  Tipps

  $5 + 12 = 12 + 5$

  Hier wurde das Kommutativgesetz angewendet.

  Das Assoziativgesetz kann Rechnungen vereinfachen:

  $\frac{3}{8} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} + \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{8} + 1 = 1\frac{3}{8}$

  Lösung

  Das Assoziativ- und das Kommutativgesetz können uns dabei helfen, Terme möglichst geschickt zu berechnen.

  Kommutativgesetz
  Das Kommutativgesetz wird auch Vertauschungsgesetz genannt.
  Es besagt, dass wir bei der Addition Summanden beliebig vertauschen können:
  $7 + 24 + 13= 24 + 7 + 13$

  Bei der Multiplikation können wir Faktoren beliebig vertauschen:
  $5 \cdot 13 \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot 13$

  Das Kommutativgesetz gilt zudem beim Rechnen mit Brüchen.

  Assoziativgesetz
  Das Assoziativgesetz wird auch Verknüpfungsgesetz genannt.
  Es besagt, dass wir bei der Addition und bei der Multiplikation beliebig Klammern setzen oder weglassen dürfen:
  $5 \cdot 2 \cdot 13 = (5 \cdot 2) \cdot 13 = 10 \cdot 13 = 130$

  $24 + 7 + 13 = 24 + (7+13) = 24+20=44$

  Das Assoziativgesetz gilt zudem beim Rechnen mit Brüchen.

• Gib an, ob richtig gerechnet wurde.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz besagt, dass bei der Addition die Summanden beliebig vertauscht werden können. Gleiches gilt für die Faktoren der Multiplikation.

  Das Kommutativgesetz kann auch für Brüche angewendet werden.

  $\left(\frac{5}{4} + \frac{3}{4}\right)+ \frac{1}{4} =\frac{5}{4} + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})$

  Lösung

  Wir prüfen, ob die Gesetze richtig angewendet wurden:

  Folgende Rechnungen sind richtig:

  • $\frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} =\frac{1}{8} \cdot \left(\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}\right) = \frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8}$

  Hier wurde das Assoziativgesetz angewendet. Dadurch konnten die Brüche $\frac{3}{4}$ und $\frac{4}{3}$ zuerst zusammengefasst werden. Sie lassen sich kürzen.

  • $\frac{1}{3} + \frac{3}{5} + \frac{2}{3} + \frac{7}{5} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{7}{5} = \left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{3}{5} + \frac{7}{5}\right) = 1 + 2 = 3$

  Bei dieser Rechnung wurde zunächst das Kommutativgesetz angewendet. Durch die geschickte Vertauschung der Summanden konnte anschließend das Assoziativgesetz angewendet werden. Somit mussten nur noch Brüche mit gleichem Nenner addiert werden.

  • $\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}\right) \cdot \frac{5}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$

  Hier wurde das Assoziativgesetz angewendet. Die ersten beiden Brüche in der Klammer wurden zusammengefasst und anschließend mit dem dritten Bruch multipliziert.

  
  Folgende Rechnungen sind falsch:

  • $\left(\frac{5}{4} + \frac{3}{4}\right)+ \frac{1}{4} =\frac{5}{4} + \left(\frac{3}{4}+ \frac{1}{4}\right) \neq \frac{5}{4} + \mathbf{\frac{4}{4} + \frac{4}{4}} = {\frac{13}{4}}$

  In dem Fall wurde die bereits berechnete Summe fälschlicherweise zweimal addiert. Korrekt muss die Rechnung lauten:

  $\left(\frac{5}{4} + \frac{3}{4}\right)+ \frac{1}{4} =\frac{5}{4} + \left(\frac{3}{4}+ \frac{1}{4}\right) = \frac{5}{4} + \frac{4}{4} = \frac{9}{4}$

  • $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \neq \frac{1}{3} \cdot \mathbf{\frac{3}{2}} = {\frac{1}{2}}$

  Hier wurde fälschlicherweise mit dem Kehrwert multipliziert. Doch dies ist nicht möglich, denn wir können nur die beiden Faktoren vertauschen:

  $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$

• Wende das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz zur Vereinfachung der Rechenausdrücke an.

  Tipps

  Bei der Multiplikation kannst du die Faktoren vertauschen, bei der Addition die Summanden.

  Achte darauf, die Rechenzeichen nicht zu ändern!

  Lösung

  Da das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz auch für Brüche gelten, wenden wir sie an, um die Rechenausdrücke zu vereinfachen. Danach können wir die Ausdrücke leichter berechnen:

  • $\frac{7}{9} + \frac{3}{4} + \frac{1}{9} = \frac{7}{9} + \frac{1}{9} + \frac{3}{4} = \frac{7+1}{9} + \frac{3}{4} = \frac{8}{9} + \frac{3}{4} = \frac{32}{36} + \frac{27}{36} = \frac{59}{36}$

  • $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{5} \cdot \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$

  • $\frac{1}{6} + \frac{3}{4} + \frac{5}{6} + \frac{7}{4} = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{3}{4} + \frac{7}{4} = \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}\right) + \left(\frac{3}{4} + \frac{7}{4}\right) = \frac{1+5}{6} + \frac{3+7}{4} = 1 + \frac{10}{4} = 3\frac{1}{2}$

  • $\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} = \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$

• Wende das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz an, um das Ergebnis zu bestimmen.

  Tipps

  Versuche, beim Multiplizieren so zu vereinfachen, dass du geschickt kürzen kannst.

  Achte bei der Addition darauf, Brüche mit gleichem Nenner zusammenzufassen. Diese kannst du besonders einfach addieren.

  Lösung

  Beispiel 1:
  $\frac{3}{4} + \frac{2}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3}{4} + \left(\frac{2}{7} + \frac{1}{7}\right) = \frac{3}{4} + \frac{3}{7} = \frac{33}{28}$

  Wir wenden zuerst das Assoziativgesetz an, um die beiden Brüche mit gleichem Nenner zusammenzufassen. Danach addieren wir das Ergebnis mit dem ersten Bruch.

  Beispiel 2:
  $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{3} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$

  Wir wenden zunächst das Kommutativgesetz an, um den ersten und den letzten Bruch multiplizieren zu können. Diese können wir vor dem Multiplizieren geschickt kürzen. Zum Schluss multiplizieren wir das Ergebnis noch mit $\frac{1}{4}$.

• Gib jeweils an, welches Gesetz angewendet wurde.

  Tipps

  Assoziativgesetz = Verbindungsgesetz

  Kommutativgesetz = Vertauschungsgesetz

  $4 + 18 + 26 = 4 + 26 + 18 = 48$

  Hier wurde das Kommutativgesetz zur geschickten Berechnung angewendet.

  Lösung

  Das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz gelten auch für Brüche. Wir überprüfen also, ob mit dem Kommutativgesetz vertauscht wurde oder ob mit dem Assoziativgesetz verknüpft wurde:

  Hier wurde das Assoziativgesetz angewendet:

  • $\left(\frac{5}{4} + \frac{3}{4}\right)+ \frac{1}{4} =\frac{5}{4} + \mathbf{\left(\frac{3}{4}+ \frac{1}{4}\right)} = \frac{5}{4} + 1 = \frac{9}{4}$

  • $\frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} =\frac{1}{8} \cdot \mathbf{\left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}\right)} = \frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8}$

  Hier wurde das Kommutativgesetz angewendet:

  • $\frac{1}{3} + \frac{3}{5} + \frac{2}{3} + \frac{7}{5} = \frac{1}{3} + \mathbf{\frac{2}{3} + \frac{3}{5}} + \frac{7}{5} = 1 + 2 = 3$

  • $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{2}{9}$

  • $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3} = \mathbf{\frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4}} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8}$

• Berechne möglichst geschickt.

  Tipps

  Beispiel:

  $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}\right) = \frac{2}{5} \cdot 1 = \frac{2}{5}$

  Bei der Addition kannst du die Summanden vertauschen. Dies ist besonders vorteilhaft, wenn du dadurch Summanden mit gleichem Nenner zusammenfassen kannst.

  Lösung

  Wir können das Vertauschungsgesetz und das Verknüpfungsgesetz zum geschickten Berechnen der Rechenausdrücke verwenden:

  Beispiel 1:

  $\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{4}{5}= \dfrac{1}{5} + \underbrace{\frac{4}{5} + \frac{2}{3} + \frac{2}{6}}_{\text{Kommutativgesetz}} = \underbrace{\left(\frac{1}{5} + \frac{4}{5}\right)}_{\text{Assoziativgesetz}} + \underbrace{\left(\frac{2}{3} + \frac{2}{6}\right)}_{\text{Assoziativgesetz}} = \dfrac{5}{5} + \dfrac{6}{6} =1+1= 2$

  Wir wenden erst das Kommutativgesetz an und anschließend das Assoziativgesetz.

  Beispiel 2:

  $\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{4}{7} \cdot \underbrace{\dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{9}{2}}_{\text{Kommutativgesetz}} = \underbrace{\left(\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{7}{3}\right)}_{\text{Assoziativgesetz}} \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{9}{2} = 6$

  Wir wenden zunächst das Kommutativgesetz an und danach das Assoziativgesetz.

  Beispiel 3:

  $\dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{2} \cdot \underbrace{\left(\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{6}\right)}_{\text{Assoziativgesetz}} = \dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = 1$

  Wir wenden das Assoziativgesetz an.

  Beispiel 4:

  $\dfrac{8}{4} + \dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{7} = \dfrac{8}{4} + \underbrace{\left(\frac{3}{7} + \frac{4}{7}\right)}_{\text{Assoziativgesetz}} = \dfrac{8}{4} + \dfrac{3+4}{7} = 3$

  Wir wenden das Assoziativgesetz an.