Beidseitiger Hypothesentest

Beidseitiger Hypothesentest Übung

• Vervollständige die Testparameter.

  Tipps

  Das Signifikanzniveau von $5\,\%$ halbieren wir beim beidseitigen Test.

  Die Ungleichheitszeichen haben folgende Bedeutung:

  • $\leq$: kleiner oder gleich
  • $\geq$: größer oder gleich

  Lösung

  Aufgabe: Ein Onlinehändler weiß aufgrund einer geführten Statistik, dass zuletzt fünf Prozent der Personen, die seine Website besuchen, dort auch ein Produkt gekauft haben. Nachdem die Website überarbeitet wurde, fragt sich der Händler, ob sich dieser Anteil signifikant geändert hat.

  Um dies zu untersuchen, soll eine Stichprobe von $500$ Personen auf ihr Kaufverhalten hin untersucht werden. Als Signifikanzniveau werden $5\,\%$ gewählt.

  
  

  Wir formulieren zunächst die Nullhypothese:

  Fünf Prozent der Personen, welche die Website eines Onlinehändlers besuchen, kaufen dort auch ein Produkt.

  Somit gilt für die Trefferwahrscheinlichkeit:

  $H_0$: $p=0{,}05$

  Da getestet werden soll, ob diese Zahl nach oben oder nach unten korrigiert werden muss, handelt es sich um einen beidseitigen Hypothesentest. Die Alternativhypothese lautet also:

  Der Anteil an tatsächlicher Kundschaft beträgt nicht fünf Prozent. $\quad \Rightarrow \quad H_1$: $p \neq 0{,}05$

  Die Stichprobe besteht aus $500$ Personen, also:

  $n=500$

  Das Signifikanzniveau von $5\,\%$ halbieren wir beim beidseitigen Test. Damit ergibt sich als:

  • Bedingung für die untere Grenze: $P(X \leq a) \leq 0{,}025$
  • Bedingung für die obere Grenze: $P(X \leq b) \geq 1 - 0{,}025 = 0{,}975$

  Wir erhalten für die beiden Werte mithilfe der Tabelle für kumulierte Wahrscheinlichkeiten:

  $a=15$ und $b=35$

  Damit ergibt sich ein Annahmebereich von $[16;34]$.

• Bestimme Annahmebereich und Ablehnungsbereich.

  Tipps

  Der Wert $a$ ist der letzte Wert, für den die Wahrscheinlichkeit noch kleiner als $0{,}025$ ist.

  Für den Wert $b$ hingegen ist der erste Wert der, für den die Wahrscheinlichkeit größer als $0{,}975$ ist.

  Lösung

  Wir betrachten wieder das Beispiel des Onlinehändlers:

  • Nullhypothese: $5\,\%$ der Personen, welche die Website besuchen, kaufen dort auch ein Produkt.
    $\quad \Longrightarrow H_0$: $p=0{,}05$
  • Alternativhypothese: Der Anteil an tatsächlicher Kundschaft beträgt nicht $5\,\%$.
    $\quad \Longrightarrow H_1$: $p \neq 0{,}05$

  
  

  Da das Signifikanzniveau $5\,\%$ betragen soll, ergibt sich als:

  • Bedingung für die untere Grenze: $P(X \leq a) \leq 0{,}025$
  • Bedingung für die obere Grenze: $P(X \leq b) \geq 1 - 0{,}025 = 0{,}975$

  
  

  Lösung der Aufgabe:

  Wir können aus der Tabelle ablesen:

  $\Rightarrow a=15$

  Das ist der letzte Wert, für den die Wahrscheinlichkeit noch kleiner als $0{,}025$ ist.

  $\Rightarrow b=35$

  Das ist der erste Wert, für den die Wahrscheinlichkeit größer als $0{,}975$ ist.

  Wir können mithilfe dieser beiden Werte nun den Annahmebereich und die beiden Ablehnungsbereiche bestimmen. Der Wert $a$ ist die obere Grenze des linken Ablehnungsbereichs, der Wert $b$ ist die untere Grenze des rechten Ablehnungsbereichs. Somit ergibt sich:

  • linker Ablehnungsbereich: $[0;15]$
  • Annahmebereich: $[16;34]$
  • rechter Ablehnungsbereich: $[35;500]$

• Entscheide, ob es sich um einen beidseitigen Hypothesentest handelt.

  Tipps

  Die Begriffe „mindestens“ und „höchstens“ deuten auf einen linksseitigen oder rechtsseitigen Hypothesentest hin.

  Bei zwei der Beispiele handelt es sich um einen beidseitigen Hyopthesentest.

  Lösung

  Ein Hypothesentest kann verwendet werden, um Zweifel an einer gängigen Annahme zu bestätigen oder auszuräumen.

  Zur Konstruktion eines Hypothesentests wird zuerst eine sogenannte Nullhypothese $\boldsymbol{H_0}$ benötigt. Dies ist eine Annahme über den Wert der Trefferwahrscheinlichkeit $p$. In dem Hypothesentest wird diese Annahme bestätigt oder verworfen.

  Der Verdacht, dass die Annahme falsch ist, wird als Alternativhypothese $\boldsymbol{H_1}$ formuliert.

  Je nachdem, ob die Werte nur in eine Richtung oder in beide Richtungen abweichen können, sprechen wir von einem einseitigen (rechtsseitig oder linksseitig) oder einem beidseitigen Hypothesentest.

  
  

  Beispiel 1:
  

  • Ein Gemüsehändler garantiert, dass höchstens fünf Prozent seiner Äpfel wurmstichig sind. Ein Sack mit $25$ Äpfeln soll auf Wurmbefall hin untersucht werden.

  Die Nullhypothese lautet also:

  $H_0$: $p \leq 0{,}05$

  Die Alternativhypothese lautet:

  $H_1$: $p > 0,05$

  Da der Ablehnungsbereich der Nullhypothese in diesem Beispiel auf der rechten Seite der Binomialverteilung liegt, ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.

  
  

  Beispiel 2:
  

  • Chan behauptet, dass $30$ Prozent aller Schülerinnen und Schüler mit Sofatutor lernen. Vanja möchte diese Hypothese überprüfen, indem sie eine Umfrage in ihrer Jahrgangsstufe durchführt.

  Die Nullhypothese lautet also:

  $H_0$: $p = 0{,}3$

  Die Alternativhypothese lautet:

  $H_1$: $p \neq 0{,}3$

  Da der Ablehnungsbereich in diesem Beispiel rechts und links vom Annahmebereich liegt, ist es ein beidseitiger Hypothesentest.

  
  

  Beispiel 3:
  

  • Um zu überprüfen, ob ein Würfel fair ist, wird er $1\,000$-mal geworfen und die Anzahl der geworfenen Sechsen wird notiert.

  Die Nullhypothese lautet also:

  $H_0$: $p = \dfrac{1}{6}$

  Die Alternativhypothese lautet:

  $H_1$: $p \neq \dfrac{1}{6}$

  Da der Ablehnungsbereich in diesem Beispiel rechts und links vom Annahmebereich liegt, ist es ein beidseitiger Hypothesentest.

  
  

  Beispiel 4:
  

  • Eine Privatschule möchte ihren Sekundarschulzweig nur ausbauen, wenn mindestens $60$ Prozent der Schülerinnen und Schüler aus der Grundschule in den Sekundarschulzweig der Privatschule wechseln würden. Es wird eine Umfrage in der Grundschule durchgeführt.

  Die Nullhypothese lautet also:

  $H_0$: $p \geq 0{,}6$

  Die Alternativhypothese lautet:

  $H_1$: $p < 0,6$

  Da der Ablehnungsbereich der Nullhypothese in diesem Beispiel auf der linken Seite der Binomialverteilung liegt, ist es ein linksseitiger Hypothesentest.

• Analysiere die Situation mithilfe eines Hypothesentests.

  Tipps

  Verwende $p=0{,}35$ und $n=100$, um eine Tabelle zu den kumulierten Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung zu erstellen.

  Mithilfe eines Taschenrechners ergeben sich folgende kumulierte Wahrscheinlichkeiten:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} k & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\ \hline P(X \leq k) & 0{,}012 & 0{,}021& 0{,}035 & 0{,}056 & 0{,}085 \\ \end{array}$

  Mithilfe eines Taschenrechners ergeben sich folgende kumulierte Wahrscheinlichkeiten:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} k & 41 &42 & 43& 44 & 45 \\ \hline P(X \leq k) & 0{,}912 & 0{,}941& 0{,}961 & 0{,}975 & 0{,}985 \\ \end{array}$

  Lösung

  Vor einem Monat hat eine Umfrage zur Europawahl in einem Ort ergeben, dass Partei B einen Stimmenanteil von $35$ Prozent erhält. In einer neuen Umfrage soll nun untersucht werden, ob sich der Stimmenanteil signifikant geändert hat. Dazu werden $100$ Bürgerinnen und Bürger befragt.

  Wir formulieren zunächst die Nullhypothese:

  $35\,\%$ der Bürgerinnen und Bürger entschieden sich für Partei B.

  Somit gilt für die Trefferwahrscheinlichkeit:

  $H_0$: $p=0{,}35$

  Da getestet werden soll, ob diese Zahl nach oben oder nach unten korrigiert werden muss, handelt es sich um einen beidseitigen Hypothesentest. Die Alternativhypothese lautet also:

  Der Anteil der Bürgerinnen und Bürger, die sich für Partei B entscheiden, ist nicht $35\,\%$. $\Rightarrow H_1$: $p \neq 0{,}35$

  Die Stichprobe umfasst $100$ Personen, also:

  $n=100$

  Das Signifikanzniveau von $10\,\%$ halbieren wir beim beidseitigen Test. Damit ergibt sich als:

  • Bedingung für die untere Grenze: $P(X \leq a) \leq 0{,}05$
  • Bedingung für die obere Grenze: $P(X \leq b) \geq 1 - 0{,}05 = 0{,}95$

  Wir erzeugen eine Tabelle zu den entsprechenden kumulierten Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Binomialverteilung und betrachten die entsprechend relevanten Abschnitte:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} k & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\ \hline P(X \leq k) & 0{,}012 & 0{,}021& 0{,}035 & 0{,}056 & 0{,}085 \\ \end{array}$

  Wir erhalten aus diesem Abschnitt folgenden Wert:

  $a=26$

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} k & 41 &42 & 43& 44 & 45 \\ \hline P(X \leq k) & 0{,}912 & 0{,}941& 0{,}961 & 0{,}975 & 0{,}985 \\ \end{array}$

  Wir erhalten aus diesem Abschnitt diesen Wert:

  $b=43$

  Damit ergibt sich ein Annahmebereich von $[27; 42]$ und ein Ablehnungsbereich von $[0; 26] \cup [43; 100]$.

• Gib die Signifikanzniveaus an.

  Tipps

  Bei einem beidseitigen Hypothesentest werden die Ablehnungsbereiche mithilfe des Signifikanzniveaus auf beiden Seiten gebildet.

  Um anhand der gegebenen Diagramme das Signifikanzniveau zu bestimmen, musst du die für die Ablehnungsbereiche auf beiden Seiten gegebenen Wahrscheinlichkeiten addieren.

  Lösung

  Ein Hypothesentest kann verwendet werden, um Zweifel an einer gängigen Annahme zu bestätigen oder auszuräumen.

  Zur Konstruktion eines Hypothesentests wird zuerst eine sogenannte Nullhypothese benötigt. In dem Hypothesentest wird diese Annahme bestätigt oder verworfen. Der Verdacht, dass die Annahme falsch ist, wird als Alternativhypothese formuliert.

  Bei der Durchführung eines Hypothesentests wird eine Stichprobe aus erhobenen Daten oder Beobachtungen gebildet. Die Feststellung, ob die Stichprobe zum Annahmebereich oder Ablehnungsbereich des Tests gehört, ergibt das Testergebnis.

  Vor der Durchführung des Tests wird das Signifikanzniveau $\boldsymbol{S}$ festgelegt, das besagt, welcher Anteil der Ergebnisse höchstens zum Ablehnungsbereich der Nullhypothese gehören darf.

  Bei einem beidseitigen Hypothesentest wird das Signifikanzniveau halbiert. Es entstehen somit zwei Ablehnungsbereiche, die im Bild rot markiert sind. Allgemein gilt bei einem Signifikanzniveau $S$:

  $\Rightarrow$ Bedingung für die untere Grenze: $P(X \leq k) \leq \dfrac{S}{2}$

  $\Rightarrow$ Bedingung für die obere Grenze: $P(X \geq k) \leq \dfrac{S}{2}$

  Um aus den gegebenen Diagrammen das Signifikanzniveau zu bestimmen, verdoppeln wir also die für die Ablehnungsbereiche gegebenen Wahrscheinlichkeiten:

  Beispiel 1: $\quad \dfrac{S}{2} = 10\,\% \quad \Longrightarrow \quad S=20\,\%$

  Beispiel 2: $\quad \dfrac{S}{2} = 5\,\% \quad \Longrightarrow \quad S=10\,\%$

  Beispiel 3: $\quad \dfrac{S}{2} = 2{,}5\,\% \quad \Longrightarrow \quad S=5\,\%$

  Beispiel 4: $\quad \dfrac{S}{2} = 1\,\% \quad \Longrightarrow \quad S=2\,\%$

• Entscheide, ob das Testergebnis bei dem gegebenen Signifikanzniveau im Annahmebereich oder im Ablehnungsbereich liegt.

  Tipps

  Es gilt:

  $p = \dfrac{1}{6}$ und $n=200$

  Berechne für dieses Experiment die kumulierte Wahrscheinlichkeit für $P(X\leq25)$.

  Für den beidseitigen Hypothesentest gilt:

  • Bedingung für die untere Grenze: $P(X \leq 25) \leq \dfrac{S}{2}$

  Lösung

  Um zu überprüfen, ob ein Würfel fair ist, wird er $200$-mal geworfen. Dabei werden $25$ Sechsen geworfen.

  Wir formulieren zunächst die Nullhypothese:

  Bei $\dfrac{1}{6}$ der Würfe zeigt der Würfel eine $6$.

  Somit gilt für die Trefferwahrscheinlichkeit:

  $H_0$: $p=\dfrac{1}{6}$

  Da getestet werden soll, ob diese Zahl nach oben oder nach unten abweicht, handelt es sich um einen beidseitigen Hypothesentest.

  Die Alternativhypothese lautet also:

  Der Anteil der Sechsen beträgt nicht $\dfrac{1}{6}$. $\quad \Rightarrow \quad H_1$: $p \neq \dfrac{1}{6}$

  Die Stichprobe beträgt $200$ Würfe, also:

  $n=200$

  Wir berechnen die kumulierte Wahrscheinlichkeit für $P(X\leq25)$ und erhalten:

  $P(X\leq25)= 0{,}0648$

  Da es sich um einen beidseitigen Test handelt, müssen wir das Signifikanzniveau $\boldsymbol{S}$ halbieren und erhalten allgemein als Bedingung für die untere Grenze a:

  $P(X \leq a) \leq \dfrac{S}{2}$

  Das bedeutet für einen durchgeführten Test mit Trefferzahl $k$:

  • Ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit für $P(X \leq k)$ größer als $\frac{S}{2}$, wird $H_0$ beibehalten (Annahmebereich).
  • Ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit für $P(X \leq k)$ kleiner als $\frac{S}{2}$, wird $H_0$ zugunsten von $H_1$ verworfen (Ablehnungsbereich).

  Wir betrachten damit die gegebenen Signifikanzniveaus und entscheiden, ob das Ergebnis im Annahmebereich oder im Ablehnungsbereich liegt:

  • Signifikanzniveau $S=2\,\% \Longrightarrow \dfrac{S}{2} = 0{,}01 \quad \Rightarrow \quad P(X\leq25) = 0{,}0648 > 0{,}01$
    $\Rightarrow~$ Annahmebereich
  • Signifikanzniveau $S=4\,\% \Longrightarrow \dfrac{S}{2} = 0{,}02 \quad \Rightarrow \quad P(X\leq25) = 0{,}0648 > 0{,}02$
    $\Rightarrow~$ Annahmebereich
  • Signifikanzniveau $S=5\,\% \Longrightarrow \dfrac{S}{2} = 0{,}025 \quad \Rightarrow \quad P(X\leq25) = 0{,}0648 > 0{,}025$
    $\Rightarrow~$ Annahmebereich
  • Signifikanzniveau $S=10\,\% \Longrightarrow \dfrac{S}{2} = 0{,}05 \quad \Rightarrow \quad P(X\leq25) = 0{,}0648 > 0{,}05$
    $\Rightarrow~$ Annahmebereich
  • Signifikanzniveau $S=12\,\% \Longrightarrow \dfrac{S}{2} = 0{,}06 \quad \Rightarrow \quad P(X\leq25) = 0{,}0648 > 0{,}06$
    $\Rightarrow~$ Annahmebereich
  • Signifikanzniveau $S=20\,\% \Longrightarrow \dfrac{S}{2} = 0{,}1 \quad \Rightarrow \quad P(X\leq25) = 0{,}0648 ~ \color{red}{\not{\!>}} \color{black} ~ 0{,}1$
    $\Rightarrow~$ Ablehnungsbereich