Berechnungen am Kegelstumpf

Berechnungen am Kegelstumpf Übung

• Gib die Formeln wieder, mit denen sich der Oberflächeninhalt des Kegelstumpfes berechnen lässt.

  Tipps

  Der Oberflächeninhalt eines Kegels lässt sich mit der Formel $A_O = \pi \cdot ( r^2 + R^2 + m (R + r))$ berechnen.

  Lösung

  Wir kennen die folgenden Größen beim Kegelstumpf $ R = 10cm$, $r = 4~cm$, $h = 8~cm$, $m = 10~cm$. Außerdem wissen wir, dass sich der Oberflächeninhalt eines Kegelstumpfes mit der folgenden Formel berechnen lässt $A_O =\pi \cdot ( r^2 + R^2 + m (R + r))$. Setzen wir diese Werte nun in die Formel ein, erhalten wir:

  $\begin{align} A_O& = \pi \cdot ( r^2 + R^2 + m (R + r)) \\ & = \pi \cdot ( (4~cm)^2 + (10~cm)^2 + 10~cm \cdot (10~cm + 4~cm)) \\ & = \pi \cdot ( 16~cm^2 + 100~cm^2 + 10~cm \cdot 14~cm) \\ & = \pi \cdot ( 16~cm^2 + 100~cm^2 + 140~cm^2) \\ & = \pi \cdot 256~cm^2 \\ A_O& \approx 804~cm^2 \end{align}$

• Berechne das Volumen des Kegelstumpfes.

  Tipps

  Die Formel zur Berechnung des Volumens lautet: $V = \frac{\pi}{3} \cdot h \cdot ( R^2 + R \cdot r + r^2)$

  Das Kommutativgesetz besagt, dass Zahlen die addiert werden untereinander vertauscht werden dürfen.

  $3~cm + 7~cm + 5~cm = 7~cm + 5~cm + 3~cm$

  Hier ein Zwischenergebnis bei der Berechnung des Volumens.

  $V=\frac{\pi}{3} \cdot 8~cm \cdot 156~cm^2$

  Lösung

  Wir wissen, dass der Kegelstumpf folgende Werte hat. $ R = 10cm, r = 4~cm, h = 8~cm, m = 10~cm$

  Setzen wir diese Werte in die Formel für $V$ ein, erhalten wir:

  $\begin{align} V &= \frac{\pi}{3} \cdot 8~cm \cdot ( (10~cm)^2 + 10~cm \cdot 4~cm + (4~cm)^2) \\ &= \frac{\pi}{3} \cdot 8~cm \cdot ( 100~cm^2 + 40~cm^2 + 16~cm^2) \\ &= \frac{\pi}{3} \cdot 8~cm \cdot 156~cm^2 \\ &=\pi \cdot 416~cm^3 \\ V& \approx 1307~cm^3 \end{align}$

• Prüfe, wie viel Papiermüll in Tatjanas Papierkorb hineinpasst.

  Tipps

  Drehe den Papierkorb auf den Kopf. Welche geometrische Form erkennst du in ihm?

  Hier kannst du die Skizze eines allgemeinen Kegelstumpfes erkennen. Welche Größen sind gegeben? Beachte, dass der Durchmesser eines Kreises doppelt so lang ist, wie der Radius.

  Wenn du den Papierkorb umdrehst, besitzt er die Form eines Kegelstumpfes. Die Grundfläche hat einen Durchmesser von $46~cm$. Die Deckfläche hat einen Durchmesser von $30~cm$. Außerdem ist die Höhe des Kegelstumpfes mit $50~cm$ gegeben.

  Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes lautet: $V = \frac{\pi}{3} \cdot h \cdot ( R^2 + R \cdot r + r^2)$.

  Lösung

  Wenn du den Papierkorb umdrehst, besitzt er die Form eines Kegelstumpfes. Die Grundfläche hat einen Durchmesser von $46~cm$. Die Deckfläche hat einen Durchmesser von $30~cm$. Außerdem ist die Höhe des Kegelstumpfes mit $50~cm$ gegeben. Wenn wir wissen wollen, wie viel Müll in ihn hineinpasst, müssen wir sein Volumen berechnen. Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius. Also müssen wir die Durchmesser der Grund- und Deckfläche halbieren. Für die Größen des Kegelstumpfes erhalten wir dann $ r = 15~cm$, $R = 23~cm$ und $h = 50~cm$. Das Volumen berechnen wir dann so.

  $\begin{align} V &= \frac{\pi}{3} \cdot h \cdot ( R^2+ R \cdot r + r^2) \\ &= \frac{\pi}{3} \cdot 50~cm \cdot ( (23~cm)^2 + 23~cm \cdot 15~cm + (15~cm)^2) \\ & = \frac{\pi}{3} \cdot 50~cm \cdot ( 529~cm^2 + 345~cm^2 + 225~cm^2 ) \\ & = \frac{\pi}{3} \cdot 50~cm \cdot 1099~cm^2 \\ & = \frac{\pi}{3} \cdot 18~316\frac23~cm^3 \\ V& \approx 57~544~cm^3 \end{align}$

  In Tatjanas Papierkorb passen ungefähr $57~544~cm^3$ Papier hinein. Das entspricht ungefähr $57,544$ Litern.

• Bestimme, wie viel Fläche Lisa bekleben muss.

  Tipps

  Der umgedrehte Blumentopf ist ein Kegelstumpf. Der Durchmesser der Grundfläche ist $28~cm$ lang und der der Deckfläche $16~cm$ lang. Die Höhe des Kegelstumpfes beträgt $20~cm$. Beachte, dass der Durchmesser doppelt so lang ist, wie der Radius.

  Die Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Kegelstumpfes lautet $A_M = \pi \cdot m ( R + r)$.

  Wir berechnen $m$ mit der Formel $m = \sqrt{ h^2 + (R -r)^2}$.

  Lösung

  Wenn du den Blumentopf auf den Kopf stellst, erkennst du, dass der Blumentopf die Form eines Kegelstumpfes hat. Um zu wissen, wie viel Fläche Lisa mit Servietten bekleben muss, müssen wir die Mantelfläche des Kegelstumpfes berechnen. Die Formel für den Flächeninhalt der Mantelfläche lautet: $A_M = \pi \cdot m ( R + r)$. $R$ ist $28~cm:2=14~cm$ lang und $r$ ist $16~cm:2=8~cm$ lang.

  Da wir noch nicht wissen, wie groß die Mantellinie $m$ ist, können wir diese mit der Formel $m = \sqrt{ h^2 + ( R -r)^2}$ berechnen. Wir kennen die folgenden Werte $ r = 8cm, R = 14~cm, h = 20~cm$. Wir rechnen.

  $\begin{align} m& = \sqrt{ (20~cm)^2 + (14~cm -8~cm)^2} \\ &= \sqrt{ 400~cm^2 + (6~cm)^2} \\ &= \sqrt{ 400~cm^2 + 36~cm^2} \\ &= \sqrt{ 436~cm^2} \\ m &\approx 21~cm \end{align}$

  Nun haben wir alle Werte um den Mantelflächeninhalt berechnen zu können.

  $\begin{align} A_M&= \pi \cdot 21cm \cdot ( 14~cm + 8~cm) \\ &= \pi \cdot 21cm \cdot 22~cm \\ &= \pi \cdot 462~cm^2 \\ & \approx 1451,4~cm^2 \\ \end{align}$

  Lisa muss ungefähr $1451,4~cm^2$ Fläche mit Servietten bekleben.

• Beschreibe die Formeln und Voraussetzungen beim Kegelstumpf.

  Tipps

  Hier kannst du die Skizze eines allgemeinen Kegelstumpfes erkennen. Ordne den Buchstaben die Begriffe Höhe, Mantellinie, Radius der Grundfläche und Radius der Deckfläche zu.

  Die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts lautet: $A_O = \pi \cdot ( r^2 + R^2 + m \cdot (R + r))$

  Die Formel zur Berechnung des Volumens lautet: $V = \frac{\pi}{3} \cdot h \cdot ( R^2 + R \cdot r + r^2)$

  Lösung

  Die Oberfläche eines Kegelstumpfes berechnet man mit der Formel $A_O = π \cdot ( r^2 + R^2 + m (R + r))$. Wie du schon an der Formel sehen kannst, benötigst du dafür den Radius der Grundfläche $R$ und der Deckfläche $r$. Außerdem benötigst du die Größe der Mantellinie $m$. Diese kannst du entweder durch Messen oder durch die Formel $m = \sqrt{ h^2 + (R -r)^2}$ bestimmen. Solltest du die Formel zur Bestimmung von $m$ nutzen, musst du zusätzlich wissen, wie hoch der Kegel ist. Das Volumen eines Kegels berechnest du mit der Formel $V = \frac{\pi}{3} \cdot h \cdot ( R^2 + R \cdot r + r^2)$. Wie du siehst, brauchst du hierfür die Mantellinie $m$ nicht. Allerdings musst du die Radien und die Höhe des Kegelstumpfes kennen.

• Bestimme das Volumen $V_K$ des Körpers.

  Tipps

  Das Volumen eines Kegelstumpfes berechnet man mit der Formel $V_{\text{Kegelstumpf}}=\frac{\pi}{3} \cdot h \cdot \left( R^2+R\cdot r + r^2 \right)$.

  Wenn der Radius der Deckfläche dem entsprechenden Radius der Grundfläche des Kegels entspricht, dann gilt für die gleichen Größen für das Volumen eine Kegels $V_{\text{Kegel}}=\frac{\pi}{3} \cdot h \cdot r^2$.

  Das Volumen des Körper berechnest du, in dem du das Volumen des Kegels von dem Volumen des Kegelstumpfes abziehst, da der Kegel aus dem Kegelstumpf heraus gebohrt werden soll. Es gilt dann:

  $V_K=V_{K1}-V_{K2}$.

  Hier findest du die Zwischenergebnisse für die Volumen des Kegels und des Kegelstumpfes. Der Einfachheit halber sind die Einheiten nicht mit angegeben.

  $V_{K1}=\pi \cdot 10791\frac23$ und $V_{K2}= \pi \cdot 2625$

  Lösung

  Um das Volumen unserer Figur zu bestimmen, müssen wir drei Rechnungen durchführen.

  1. Wir berechnen das Volumen des Kegelstumpfes $V_{K1}$.
  2. Wir berechnen das Volumen des kegelförmigen Kraters $V_{K2}$.
  3. Wir subtrahieren das Volumen des Kegels vom Volumen des Kegelstumpfes $ V_K = V_{K1} - V_{K2}$

  Das Volumen von einem Kegelstumpf berechnen wir mit der Formel $V = \frac{\pi}{3} \cdot h \cdot ( R^2 + R \cdot r + r^2 )$. Wir kennen die Größen $ R = 20~cm$, $r = 15~cm$ und h = 35~cm$. Wir setzen die Werte in die Formel ein. Der Einfachheit und Übersicht halber werden die Einheiten weggelassen.

  $\begin{align} V_{K1} &= \frac{\pi}{3} \cdot 35 \cdot ( 20^2+ 20 \cdot 15 + 15^2) \\ & = \frac{\pi}{3} \cdot 35 \cdot ( 400 + 300 + 225) \\ & = \frac{\pi}{3} \cdot 35 \cdot 925\\ & = \pi \cdot 10~791\frac23 \\ & \approx 3~3903~\left[ cm^3 \right] \\ \end{align}$

  Wir berechnen jetzt das Volumen des Kegels. Dazu nutzen wir die Formel: $ V = \frac{\pi}{3} \cdot r^2 \cdot h$. Da die Spitze des Kegels bis zum Mittelpunkt der Grundfläche des Kegelstumpfes geht, hat er genau die gleiche Höhe wie der Kegelstumpf. Der Radius des Kegels ist genauso groß, wie der Radius der Deckfläche des Kegelstumpfes. Es gilt also: $r_{K2} = r_{K1}$. Also können wir das Volumen ausrechnen.

  $\begin{align} V_{K2}& = \frac{\pi}{3} \cdot 15^2 \cdot 35 \\ &= \frac{\pi}{3} \cdot 225 \cdot 35 \\ &= \frac{\pi}{3} \cdot 7~875 \\ & = \pi \cdot 2~625 \\ & \approx 8~247 \left[ cm^3 \right] \end{align}$

  Zuletzt subtrahieren wir das Volumen des Kegels vom Kegelstumpf und erhalten das Volumen der Figur:

  $\begin{align} V_{K}& = V_{K1} - V_{K2} \\ & \approx 33~903~cm^3 - 8~247~cm^3 \\ & \approx 25~656~cm^3 \end{align}$

  Der Körper hat ein Volumen von $25~656~cm^3$.