Die n-te Wurzel – Einführung

Die n-te Wurzel – Einführung Übung

• Beschreibe die zweite Wurzel.

  Tipps

  Eine Potenz ist ein Term der Form

  $a^n$,

  dabei ist

  • $a$ die Basis, welche mit
  • $n$, dem Exponenten, potenziert wird.

  „Radizieren“ kommt von „Radix“, lateinisch für „Wurzel“.

  Wenn $2^2=4$ ist, so gilt $\sqrt 4 =2$.

  Die Wurzel einer Zahl $a$ ist die nichtnegative Zahl, welche quadriert $a$ ergibt.

  Lösung

  Um von einem $x$ zu $x^2$ zu kommen

  • potenziert man mit $2$,
  • man sagt auch Quadrieren dazu.

  Um von dem $x^2$ wieder zurück zu dem $x$ zu kommen

  • zieht man die $2$-te Wurzel oder auch Quadratwurzel oder einfach Wurzel,
  • man sagt auch Radizieren dazu.

  „Radizieren“ kommt von „Radix“, lateinisch für „Wurzel“.

• Gib wieder, weshalb $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ gilt.

  Tipps

  Du kannst die folgenden Potenzregeln anwenden:

  • $a^1=a$ sowie
  • $\left( a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

  Wenn zwei positive Zahlen mit dem gleichen Exponent potenziert den gleichen Wert liefern, so müssen die Zahlen übereinstimmen.

  Die $n$-te Wurzel kehrt das Potenzieren mit $n$ um.

  Zum Beispiel kehrt die dritte Wurzel das Potenzieren mit $3$ um:

  $\sqrt[3]{27}=3$ , da $3^3=27$ gilt.

  Lösung

  Zum Nachweis der Identität $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ beginnt man mit $a=a^1=a^{\frac nn}$.

  Nun können Regeln für das Rechnen mit Potenzen angewendet werden:

  $\begin{align*} a^{\frac nn}&=a^{\frac1n \cdot n}\\ &=\left( a^{\frac1n}\right)^n. \end{align*}$

  Da die $n$-te Wurzel die Umkehrung des Potenzierens mit $n$ ist, gilt

  $\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$.

  Da die Werte der beiden Potenzen übereinstimmen, müssen auch die Basen übereinstimmen. Es gilt also

  $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$.

  Da $\frac1{a^n}=a^{-\frac1n}$ ist, kann auch

  $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$

  abgeleitet werden.

• Berechne die Wurzel $\sqrt[4] {625}$.

  Tipps

  Das Ergebnis ist eine ganze Zahl.

  Die vierte Wurzel kehrt das Potenzieren mit $4$ um.

  Überlege dir, welche Zahl hoch $4$ $625$ ergibt.

  Lösung

  Die vierte Wurzel kehrt das Potenzieren mit $4$ um. Man kann sich also fragen, welche Zahl mit $4$ potenziert $625$ ergibt. Da die Einer-Zahl $5$ ist, muss auch die Zahl, welche potenziert wird als Einer eine $5$ haben.

  Es gilt $5^4=625$.

  Deshalb ist $\sqrt[4]{625}=5$.

• Leite den Wert der Potenz $0,25^{-\frac12}$ her.

  Tipps

  Es gilt

  $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

  Wird ein Bruch mit einer negativen Zahl potenziert, so kann man auch den Kehrwert des Bruches mit der positiven Zahl potenzieren:

  $\left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n$.

  Die Quadratwurzel kann als Potenz geschrieben werden:

  $\sqrt a=a^{\frac12}$.

  Es gilt: $\frac{1}{3}^{-\frac{1}{3}}=3 ^{\frac{1}{3}}$.

  Lösung

  Es gilt

  $0,25^{-\frac12}=\left(\frac14\right)^{-\frac12}$.

  Nun kann entweder sowohl der Zähler als auch der Nenner mit dem Exponenten potenziert werden:

  $\left(\frac14\right)^{-\frac12}=\frac1{4^{-\frac12}}=\frac1{\frac1{4^{\frac12}}}=\frac1{\frac12}=2$

  oder der Bruch mit der negativen Zahl potenziert werden, indem der Kehrwert des Bruches mit der positiven Zahl potenziert wird:

  $\left(\frac14\right)^{-\frac12}=\left(\frac41\right)^{\frac12}=4^{\frac12}=2$.

• Fasse zusammen, wie die $n$-te Wurzel als Potenz geschrieben werden kann.

  Tipps

  Es gilt $\left(a^{\frac1n}\right)^n=a$.

  Es gilt $\frac1{a^n}=a^{-n}$.

  Wenn $2^2=4$ ist, so gilt $\sqrt 4=2$.

  Lösung

  Die Wurzeln sind wie folgt definiert:

  • $x=\sqrt a$ ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat $a$ ergibt. Man nennt $x$ die Quadratwurzel aus $a$.
  • Gilt $a≥0$ und $a\in \mathbb{R}$ und $n>0$, $n\in \mathbb{N}$, dann bezeichnet man mit $x=\sqrt[n] a$ diejenige nichtnegative Zahl $x$, welche mit $n$ potenziert $a$ ergibt.

  Dabei ist in der zweiten Definition $n$ der Wurzelexponent und $a$ der Radikand, die Zahl aus der die Wurzel gezogen wird.

  Wurzeln können auch als Potenzen geschrieben werden:

  • $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
  • $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$.

• Ermittle den Wert von $0,0016^{\frac14}$.

  Tipps

  Das Erebnis ist eine Dezimalzahl mit einer Nachkommastelle.

  Es gilt $\sqrt[4]{625}=5$ und $0,0016=\frac1{625}$.

  In der Basis $0,0016$ ist die Zahl $16$ enthalten. Welche Zahl hoch $4$ ergibt $16$?

  Lösung

  Die Basis der Potenz ist $0,0016$.

  Es gilt $2^4=16$. Die Zahl $16$ ist bereits in der Basis zu finden. Die Basis ist eine Dezimalzahl handelt, welche auch so

  $0,0016=1,6\cdot 10^{-3}=16\cdot 10^{-4}$.

  Nach den Regeln zum Rechnen mit Potenzen gilt

  $\begin{align*} 0,0016^{\frac14} &=\left(16\cdot 10^{-4}\right)^{\frac14}\\ &=16^{\frac14}\cdot \left(10^{-4}\right)^{\frac14}\\ &=2\cdot 10^{-4\cdot \frac14}\\ &=2\cdot 10^{-1}\\ &=2\cdot 0,1\\ &=0,2. \end{align*}$