Dreisatz bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen

Dreisatz bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen Übung

• Bestimme die Werte der Zuordnungen.

  Tipps

  Ein Holzscheit verbrennt schneller als zwei Holzscheite, da die Scheite nacheinander abbrennen.

  Je mehr Leute beim Holzsammeln helfen, desto schneller ist der Karren voll.

  Ein Holzsammler braucht für dieselbe Menge Holz doppelt so lange wie zwei Holzsammler.

  Lösung

  Die Brenndauer des Holzes ist eine proportionale Zuordnung, wenn man z. B. annimmt, dass die Holzscheite nacheinander abbrennen bzw. dass der Materialverbrauch beim Verbrennen konstant ist. Beim Erledigen einer festgelegten Aufgabe ist die Anzahl der Helfer antiproportional zur Dauer.

  Beide Zuordnungen kannst du mit dem Dreisatz berechnen. Der erste Schritt ist die Fixierung eines relevanten Wertepaares von $x$ und $y$. Im zweiten Schritt rechnest du die Zuordnung auf den $x$-Wert $1$ „herunter“. Bei einer proportionalen Zuordnung teilst du den vorgegebenen $y$-Wert durch $x$. Im dritten Schritt multiplizierst du diesen zuletzt erhaltenen Wert mit einem neuen $x$-Wert, um den zugehörigen $y$-Wert zu erhalten. Bei einer antiproportionalen Zuordnung vertauscht sich die Rolle der Division und Multiplikation.

  Du erhältst dann folgende Tabelle für die Zuordnungen:

  $\begin{array}{|r|c|r|c|} \hline % \multicolumn{4}{l}{Brenndauer} \\ \hline \text{Brenndauer} &&& \\ \hline 3 & \text{brennen} & 6 & \text{Stunden} \\ \hline 1 & \text{brennt} & 2 & \text{Stunden} \\ \hline 10 & \text{brennen} & 20 & \text{Stunden} \\ % \hline \multicolumn{4}{l}{S} \\ \hline \text{Sammeldauer} &&& \\ \hline 2 & \text{sammeln} & 60 & \text{Minuten} \\ \hline 1 & \text{sammelt} & 120 & \text{Minuten} \\ \hline 3 & \text{sammeln} & 40 & \text{Minuten} \\ \hline \end{array} $

• Bestimme die $y$-Werte zur gegebenen antiproportionalen Zuordnung.

  Tipps

  Bei einer antiproportionalen Zuordnung verdoppelt sich der $y$-Wert, wenn sich der $x$-Wert halbiert.

  $3$ Schüler brauchen für $12$ Mathematikaufgaben zusammen $6$ Minuten. $6$ Schüler brauchen für dieselben Aufgaben zusammen nur $3$ Minuten. Die Zuordnung der Schülerzahl zu der Bearbeitungsdauer ist antiproportional.

  Dem $n$-fachen Wert von $x$ entspricht bei einer antiproportionalen Zuordnung der $n$-te Teil von $y$.

  Lösung

  Antiproportionale Zuordnungen lassen sich mit dem Dreisatz berechnen. Nimmt der Wert von $y$ im selben Maße ab, wie der Wert von $x$ wächst, so heißt die Zuordnung antiproportional. Etwas genauer gesagt: Bei einer antiproportionalen Zuordnung entspricht dem $n$-fachen Wert von $x$ der $\frac{1}{n}$-fache Wert von $y$ bzw. der $n$te Teil des Wertes von $y$.

  Wie der Name schon sagt, ist der Dreisatz ein Spiel in drei Sätzen: Als Erstes wählst du ein Wertepaar $x$ und $y$. Als Zweites rechnest du auf den $x$-Wert $1$ zurück. Du bestimmst also den $y$-Wert, der dem $x$-Wert $1$ zugeordnet wird. Bei einer antiproportionalen Zuordnung multiplizierst du dazu den gegebenen Wert $y$ mit dem zugehörigen $x$. Das Ergebnis ist der dem $x$-Wert $1$ zugeordnete $y$-Wert. Im dritten Schritt schließlich rechnest du zu einem neuen Wert für $x$ den zugehörigen $y$-Wert aus, indem du den $y$-Wert zum $x$-Wert $1$ durch den gegebenen $x$-Wert dividierst.

  In der Aufgabe sind zwei $x$-Werte gegeben, die noch das $x$ als Unbestimmte enthalten, nämlich $2x$ und $nx$. Dem Doppelten jedes $x$-Wertes entspricht der halbierte zugehörige $y$-Wert $\frac{1}{2}y$ und dem $n$-fachen jedes $x$-Wertes der $n$-te Teil $y:n$ des Wertes $y$.

  Bei einer antiproportionalen Zuordnung gehört zu dem kleinsten $x$-Wert der größte $y$-Wert, also hier der $y$-Wert $120$ zu dem $x$-Wert $1$. Die anderen $y$-Werte kannst du ausrechnen, indem du diesen Wert $120$ durch die gegebenen $x$-Werte dividierst.

  So erhältst du folgende Zuordnung:

  $\begin{array}{|c|c|} \hline 2 x & \frac{1}{2} y \\ \hline nx & y:n \\ \hline 2 & 60 \\ \hline 1 & 120 \\ \hline 3 & 40 \\ \hline \end{array}$

• Bestimme die Wertepaare und den entsprechenden Antiproportionalitätsfaktor.

  Tipps

  Ordne zuerst den Antiproportionalitätsfaktor zu.

  Anschließend kannst du die einzelnen Wertepaare auf ihren jeweiligen Antiproportionalitätsfaktor überprüfen und dann zuordnen.

  Existiert eine antiproportionale Zuordnung mit dem Wertepaar $x=20$ und $y=4$, so ist der Antiproportionalitätsfaktor $x \cdot y= 80$. Alle Wertepaare, die denselben Antiproportionalitätsfaktor besitzen, gehören zu dem Wertepaar.

  Lösung

  Mit dem Dreisatz kannst du proportionale und antiproportionale Zuordnungen berechnen. Von einem Paar von $x$- und $y$-Werten ausgehend, berechnest du zunächst den $y$-Wert zu dem $x$-Wert $1$. Daraus kannst du dann zu beliebigen $x$-Werten die zugehörigen $y$-Werte berechnen. Je nachdem, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt, musst du bei der Berechnung zuerst dividieren und dann multiplizieren oder umgekehrt.

  Proportionale und antiproportionale Zuordnungen werden auch durch den Proportionalitäts- bzw. Antiproportionalitätsfaktor charakterisiert: Bei einer proportionalen Zuordnung ist das Verhältnis $\frac{x}{y}$ für alle Werte von $x$ und $y$ außer für $(0\vert 0)$ das gleiche, bei antiproportionalen Zuordnungen das Produkt $x \cdot y$.

• Bestimme die passenden Wertepaare.

  Tipps

  Eine der beiden Zuordnungen ist proportional, die andere antiproportional.

  • antiproportionale Zuordnung: $x \cdot y = \text{konstant}$

  • proportionale Zuordnung: $\dfrac{x}{y} = \text{konstant}$

  Berechne die Anzahl $y$ der Tage, die Lasse arbeiten muss, um $x=1$ Urlaubstag zu bekommen.

  Lösung

  Die Zuordnung der Urlaubstage zu den Arbeitstagen ist proportional: je mehr Arbeitsmonate, desto länger der Urlaub. Das Verhältnis von Arbeitsmonaten zu Urlaubstagen ist $x:y = 2:5 = 0,4$. Du suchst demnach ein Paar von $x$- und $y$-Werten, bei dem der $x$-Wert das $0,4$-fache des $y$-Wertes ist. Dies ist bei $x=3$ und $y = 7,5$ der Fall sowie bei $x=8$ und $y=20$.

  Die Zuordnung der Lebensdauer zur Dicke der Linse ist antiproportional. Die Referenzlinse der Dicke $1,8~\text{cm}$ mit der Lebensdauer $20~\text{Jahre}$ führt auf die Lebensdauer $1,8 \cdot 20 = 36$ für Linsen der Dicke $1$. Du suchst demnach ein Wertepaar, bei dem das Produkt der Werte $36$ ist. Das ist für $x=1$ und $y= 36$ und für $x=4,5$ und $y=8$ der Fall.

  Tatsächlich kannst du bei einer antiproportionalen Zuordnung stets die Rollen der beiden Variablen vertauschen. Dasselbe Paar von Zahlenwerten kannst du also auch als $x=36$ und $y=1$ verstehen. Das wäre eine sehr dicke Linse mit sehr kurzer Lebenserwartung.

• Bestimme die Operationen und die Werte der Zuordnungen.

  Tipps

  Bei einer antiproportionalen Zuordnung wächst $y$ mit sinkendem $x$.

  Vervierfachst du den Wert von $x$, so viertelt sich bei einer antiproportionalen Zuordnung der zugehörige Wert von $y$.

  Bei einer antiproportionalen Zuordnung steht dem Wert $n \cdot x$ der Wert $\frac{1}{n} \cdot y$ gegenüber.

  Lösung

  Bei einer proportionalen Zuordnung wächst der $y$-Wert im selben Maße wie der $x$-Wert: Verdreifacht sich $x$, verdreifacht sich auch $y$. Dem $n$-fachen Wert von $x$ entspricht der $n$-fache Wert von $y$.

  Bei einer antiproportionalen Zuordnung sinkt der $y$-Wert im selben Maße wie der $x$-Wert steigt: Verdoppelt sich $x$, halbiert sich $y$. Dem $n$-fachen Wert von $x$ entspricht der $n$-te Teil des Wertes $y$, also $\frac{1}{n} \cdot y$.

  So erhältst du folgende Tabellen:

  proportionale Zuordnung

  $\begin{array}{c|c} n \cdot x & n \cdot y \\ \hline x & y \\ \hline 2x & 2y \\ \hline 3x & 3y \\ \end{array}$

  antiproportionale Zuordnung

  $\begin{array}{c|c} n \cdot x & y : n \\ \hline x & y \\ \hline 2x & \frac{1}{2} y \\ \hline 3x & \frac{1}{3} y \\ \end{array}$

• Prüfe die Beispiele auf die Art der Zuordnung.

  Tipps

  Periodische Vorgänge sind weder proportional noch antiproportional.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Bei einer antiproportionalen Zuordnung ist das Produkt aus zugehörigen $x$- und $y$-Werten konstant.

  Bei einer Erhöhung des $x$-Wertes auf das $n$-fache sinkt der $y$-Wert auf das $\frac{1}{n}$-fache. Diese Veränderung kürzt sich in dem Produkt der Werte heraus. Das Produkt der Werte ist daher konstant.

  • Die Geschwindigkeit von Lasses Boot ist proportional zur Länge. Bei $3~\text m$ Länge kommt er auf $2,4~\text{kn}$. Das ergibt eine Rumpfgeschwindigkeit von $0,8~\text{kn}$ pro $\text m$ Rumpflänge.

  In diesem Modell für die Rumpfgeschwindigkeit ist das Verhältnis der Geschwindigkeit zur Rumpflänge konstant, nämlich $2,4:3 = 0,8$. Dies entspricht dem Geschwindigkeitswert für die Bootslänge $1$, den du bei der Anwendung des Dreisatzes zuerst ausrechnest.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn sie nicht proportional ist.

  Zuordnungen können auch weder proportional noch antiproportional sein. Zum Beispiel ist der Flächeninhalt eines Quadrates weder proportional noch antiproportional zur Seitenlänge.

  • Je mehr Kaninchen auf Lasses Insel leben, desto schneller vermehren sie sich. Der Zuwachs an Kaninchen ist proportional zur Zeit.

  Da der Zuwachs der Kaninchenanzahl von der aktuellen Anzahl abhängt, vermehren sie sich umso schneller, je mehr es bereits sind. Die Kaninchenanzahl wächst daher mit der Zeit wesentlich schneller als bei einer proportionalen Zuordnung.

  • Lasse kocht sich Eier. Zwei Eier brauchen sieben Minuten bis sie hart gekocht sind. Vier Eier brauchen vierzehn Minuten, denn die Zuordnung ist proportional.

  Die Eier werden gekocht, bis sie hart sind, und das dauert sieben Minuten. Die Dauer hängt nicht von der Anzahl der Eier ab.