Eigenschaften von Vielecken

Eigenschaften von Vielecken Übung

• Beschreibe regelmäßige und unregelmäßige Vielecke.

  Tipps

  Zähle die Ecken der Figuren.

  Beachte auch die Ecken der spitzen Winkel.

  Diese Figur ist ein unregelmäßiges Fünfeck, denn es hat fünf Ecken und die Winkel sind nicht alle gleich groß.

  Lösung

  1. Das erste Bild zeigt ein Achteck, denn die Figur hat $8$ Ecken und $8$ Seiten. Dieses Achteck ist regelmäßig. Das erkennst Du daran, dass seine Winkel alle gleich groß sind. Wie jedes regelmäßige Vieleck hat es genauso viele Symmetrieachsen wie Ecken.
  2. Die zweite Figur ist ein Sechseck, denn sie hat $6$ Ecken und $6$ Seiten. Obwohl alle Seiten gleich lang sind, ist das Sechseck unregelmäßig, denn nicht alle Winkel sind gleich groß.
  3. Das Andreaskreuz hat $12$ Ecken und $12$ Seiten und ist daher ein Zwölfeck. Da die Winkel und Verbindungsstrecken nicht alle gleich groß sind, ist es ein unregelmäßiges Vieleck. Das Andreaskreuz hat zwei Symmetrieachsen.

• Benenne die Eigenschaften von Vielecken.

  Tipps

  Ein gleichschenkliges Dreieck ist kein regelmäßiges Dreieck.

  Bei einem Parallelogramm müssen die Seiten nicht verschieden lang sein.

  Ein regelmäßiges Fünfeck ist nicht punktsymmetrisch, ein regelmäßiges Dreieck auch nicht.

  Lösung

  Folgende Sätze sind richtig:

  • „Sind bei einem $n$-Eck zwei Seiten unterschiedlich lang, so ist es unregelmäßig.“

  • „Ist ein regelmäßiges $n$-Eck punktsymmetrisch, so ist die Anzahl der Ecken gerade.“

  • „Ein regelmäßiges Dreieck ist dasselbe wie ein gleichseitiges Dreieck.“

  • „Die Anzahl der Seiten eines Vielecks ist gleich der Anzahl der Ecken.“

  Diese Sätze sind falsch:

  • „Bei einem unregelmäßigen $3$-Eck sind alle drei Seiten unterschiedlich lang.“ Gleichschenklige Dreiecke haben zwei gleich lange Seiten, die Schenkel, sind aber keine regelmäßigen Vielecke, denn dazu müssten alle drei Seiten gleich lang und alle drei Winkel gleich groß sein.

  • „Sind bei einem $n$-Eck alle Seiten gleich lang, so ist es ein regelmäßiges $n$-Eck.“ Es gibt unregelmäßige $n$-Ecke, bei denen alle Seiten gleich lang sind, aber die Winkel nicht alle gleich groß, z.B. Rauten mit vier gleich langen Seiten, die keine Quadrate sind oder Parallelogramme mit vier gleich langen Seiten.

  • „Ein regelmäßiges Fünfeck hat fünf Symmetrieachsen und ist punktsymmetrisch.“ Punktsymmetrisch zum Mittelpunkt sind nur die regelmäßigen $n$-Ecke mit einer geraden Anzahl an Ecken.

• Charakterisiere regelmäßige und unregelmäßige Vielecke.

  Tipps

  Eine Symmetrieachse eines Vielecks ist eine Gerade, an der Du das Vieleck spiegeln kannst, sodass das Spiegelbild mit dem ursprünglichen Vieleck deckungsleich ist.

  Ein regelmäßiges $n$-Eck hat genau $n$ Symmetrieachsen.

  Dies ist ein unregelmäßiges Fünfeck, denn es hat $5$ Ecken und keine Symmetrieachsen.

  Lösung

  Die Bilder zeigen ein regelmäßiges Siebeneck, ein regelmäßiges Achteck und ein unregelmäßiges Achteck. Das unregelmäßige Achteck hat ungleiche Winkel, die regelmäßigen Vielecke haben $7$ bzw. $8$ gleiche Winkel. Das regelmäßige Siebeneck hat $7$ Symmetrieachsen, das regelmäßige Achteck $8$ Symmetrieachsen. Das hier gezeigte unregelmäßigen Achteck hat keine Symmetrieachsen. Das regelmäßige Achteck ist zudem punktsymmetrisch zum Mittelpunkt, das Siebeneck nicht.

• Erschließe die Eigenschaften von Vielecken.

  Tipps

  An einer Spiegelachse kannst Du eine Figur so spiegeln, dass sie mit ihrem Spiegelbild deckungsleich ist.

  Eine Punktspiegelung ist dasselbe wie eine Drehung um $180^\circ$.

  Lösung

  Der Pfeil für die Einbahnstraße ist ein Fünfeck. Würde der Pfeil in beide Richtungen zeigen, so wäre er als Straßenschild witzlos, aber als Vieleck ein Sechseck, denn es würde nur eine weitere Ecke hinzukommen: die Spitze in der entgegengesetzten Richtung. Das Fünfeck ist unregelmäßig, denn seine Seiten sind nicht alle gleich lang. Sieh genau hin: es gibt bei diesem Schild genau $3$ verschiedene Seitenlängen, denn die beiden waagerechten Seiten sowie die beiden schrägen Seiten an der Spitze sind jeweils gleich lang. Dadurch ist das Schild nicht völlig asymmetrisch: es hat genau $1$ Symmetrieachse. Es ist aber nicht punktsymmetrisch.

  Das Andreaskreuz für den Bahnübergang ist ein Zwölfeck, denn es hat $12$ Ecken und $12$ Seiten. Das Andreaskreuz ist zwar nicht regelmäßig, es hat aber trotzdem nur $3$ verschiedene Winkel. Der rechte Winkel tritt sogar insgesamt $8$ mal auf.

  Wie der Pfeil ist auch das Andreaskreuz nicht völlig asymmetrisch: einerseits ist es punktsymmetrisch zum Mittelpunkt, andererseits hat es auch mehr als eine Symmetrieachse, nämlich $2$.

• Bestimme die Vielecke.

  Tipps

  Zähle die Seiten der Figuren.

  Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Winkel gleich groß.

  Das regelmäßige Achteck bedeutet im Straßenverkehr: STOP!

  Lösung

  1. Die Figur hat $4$ Ecken und keine Symmetrien. Es ist daher ein unregelmäßiges Viereck.
  2. Hier ist ein regelmäßiges Fünfeck zu sehen, denn alle $5$ Seiten und alle $5$ Winkel sind gleich groß.
  3. Diese Figur ist ebenfalls regelmäßig: alle $8$ Winkel und $8$ Seiten sind bei diesem Achteck gleich.
  4. Zähle genau: diese Figur hat $6$ Ecken. Auch die einspringende Ecke in der Einbuchtung zählt mit. Das Sechseck ist unregelmäßig, denn die Winkel sind nicht alle gleich.
  5. Hier ist noch einmal ein Sechseck zu sehen, dieses ist aber regelmäßig.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Winkel gleich groß. Überlege, welche Aussage bei einem unregelmäßigen Vieleck für die Winkel gilt.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Bei einem unregelmäßigen Vieleck gibt es mindestens zwei verschieden lange Diagonalen.“ Rechtecke sind ein gutes Gegenbeispiel: Hier sind die beiden Diagonalen gleich lang.

  • „Hat ein $n$-Eck mehrere Symmetrieachsen und ist punktsymmetrisch, so ist es ein regelmäßiges Vieleck mit einer geraden Anzahl an Ecken.“ Das Andreaskreuz ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt und hat zwei Symmetrieachsen, ist aber nicht regelmäßig. Die Aussage wäre richtig, wenn die Anzahl der Symmetrieachsen gleich der Anzahl der Ecken vorausgesetzt wäre.

  • „Es gibt kein unregelmäßiges Vieleck, bei dem die Winkel zwischen je zwei benachbarten Diagonalen alle gleich groß sind.“ Ein regelmäßiger Fünfstern ist ein gutes Gegenbeispiel. Der Fünfstern ist ein Zehneck mit fünf Symmetrieachsen. Die Winkel zwischen je zwei benachbarten Diagonalen sind gleich groß. Aber der Fünfstern ist kein regelmäßiges Zehneck.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Die Anzahl der Symmetrieachsen eines Vielecks ist höchstens so groß wie die Anzahl der Ecken.“ Verwendest Du mehr Spiegelachsen als Du Ecken hast, so entstehen bei der Spiegelung neue Ecken. Denn bei jeder neuen Spiegelung entsteht ein Spiegelbild der Ecke. Hast Du weniger Ecken als Spiegelachsen, so kommen durch die Spiegelung neue Ecken dazu. Das Prinzip kennst Du vielleicht vom Papierfalten.

  • „Hat ein Dreieck zwei Symmetrieachsen, so ist es regelmäßig.“ Ein regelmäßiges Dreieck hat drei Symmetrieachsen. Ein unregelmäßiges Dreieck kann aber höchstens eine Symmetrieachse haben, es ist dann gleichschenklig. Sobald eine zweite Symmetrieachse auftritt, müssen bereits alle drei Winkel gleich groß sein, d. h. das Dreieck ist gleichseitig, und es gibt notwendig eine dritte Symmetrieachse. Findest Du eine ähnliche Aussage für Vielecke? Versuche es erstmal mit Vierecken!

  • „Sind die Winkel zwischen je zwei benachbarten Diagonalen eines Vielecks gleich groß und alle Diagonalen gleich lang, so ist das Vieleck regelmäßig.“ Aus der Winkelgleichheit und der Gleichheit der Diagonalen kannst Du mit etwas Geschick folgern, dass auch alle Seiten gleich lang sein müssen.