Ellipsen im Koordinatensystem

Ellipsen im Koordinatensystem Übung

• Beschrifte die Ellipse.

  Tipps

  Die beiden Brennpunkte liegen auf der Hauptachse.

  Die Nebenachse steht senkrecht auf der Hauptachse.

  Die (vier!) Scheitelpunkte liegen auf dem Rand der Ellipse.

  Der Abstand vom Koordinatenursprung zu einem Brennpunkt wird als Exzentrizität bezeichnet.

  Lösung

  In diesem Bild sind alle Bezeichnungen zu sehen.

  Die Ellipse ist in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Dabei ist der Koordinatenursprung der Mittelpunkt der Ellipse. Dieser ist hier nicht eingezeichnet.

  Die horizontale Achse der Ellipse wird als Hauptachse bezeichnet, die vertikale als Nebenachse.

  Die Randpunkte, welche auf den Achsen liegen, werden als Scheitelpunkte bezeichnet. Die Scheitelpunkte auf der Hauptachse sind die Hauptscheitel, die auf der Nebenachse die Nebenscheitel.

  Die beiden Punkte auf der Hauptachse, welche nicht Scheitelpunkte sind, sind die Brennpunkte. Diese sind insofern von Bedeutung, als man mit diesen eine Ellipse konstruieren kann. Dies führt zu der sogenannten Gärtnerkonstruktion.

  Der Abstand eines der beiden Brennpunkte (hier im Bild des linken) zum Mittelpunkt der Ellipse wird als Exzentrizität bezeichnet. Je näher diese bei $0$ liegt, desto kreisförmiger wird die Ellipse. Wenn die Exzentrizität $0$ ist, liegt ein Kreis vor.

• Berechne die Exzentrizität.

  Tipps

  Betrachte zum Berechnen der konstanten Summe den rechten Hauptscheitel, dies ist der rechte Punkt der Hauptachse, welcher auf dem Ellipsenrand liegt.

  Wenn du den oberen Nebenscheitel betrachtest, erhältst du ein gleichschenkliges Dreieck.

  Die Hälfte dieses gleichschenkligen Dreiecks ist ein rechtwinkliges Dreieck.

  Verwende den Satz des Pythagoras: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse.

  Lösung

  Da die Summe der Abstände eines jeden Punktes des Ellipsenrandes zu den beiden Brennpunkten immer gleich ist, kann man diese Summe einmal für den rechten Hauptscheitel betrachten. Der rechte Hauptscheitel ist der rechte Punkt der Hauptachse, der auch auf dem Ellipsenrand liegt.

  Der Abstand dieses Punktes zu dem linken Brennpunkt beträgt $a+e$ und der zu dem rechten Brennpunkt $a-e$. Nun können diese beiden Abstände addiert werden zu $a+e+a-e=2a$. Das bedeutet, dass die konstante Summe immer gerade die Länge der Hauptachse ist.

  Somit ist auch die Summe der Abstände von dem oberen Nebenscheitel zu den Brennpunkten $2a$. Es entsteht also, wie in dem Bild zu sehen, ein gleichschenkliges Dreieck.

  Wenn man von diesem Dreieck nur eine Hälfte betrachtet, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck, in welchem $a$ die Hypotenusenlänge sowie $b$ und $e$ die Kathetenlängen sind.

  Es gilt somit mit dem Satz des Pythagoras

  $b^2+e^2=a^2$.

  Durch Subtraktion von $b^2$ sowie Ziehen der Wurzel kann diese Gleichung nach $e$ umgeformt werden:

  $e=\sqrt{a^2-b^2}$.

  Seien nun $a=5$ und $b=3$, dann gilt $e=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$.

• Gib die Mittelpunktgleichung der Ellipse an.

  Tipps

  Sei zum Beispiel $a=3$ und $b=2$, so erhältst du

  $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$.

  Diese Gleichung kann man auch mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von $9$ und $4$, also $36$, multiplizieren und erhält somit

  $4x^2+9y^2=36$.

  Wenn $a$ und $b$ identisch sind, erhältst du eine Kreisgleichung

  $x^2+y^2=r^2$.

  Lösung

  Wenn die halbe Länge der Hauptachse (Nebenachse) $a$ ($b$) gegeben, kann man diese in der allgemeinen Mittelpunktgleichung einsetzen.

  Für $a=5$ und $b=3$ erhält man also

  $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

  Für $a=4$ und $b=1$ erhält man also

  $\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{1^2}=\frac{x^2}{16}+y^2=1$.

  Wenn man diese Gleichung mit $16$ multipliziert, erhält man

  $x^2+16y^2=16$

  Für $a=4$ und $b=4$ erhält man also

  $\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{4^2}=\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{16}=1$.

  Wenn man diese Gleichung mit $16$ multipliziert, erhält man

  $x^2+y^2=16$.

  Dies ist eine Kreisgleichung eines Kreises mit dem Radius $r=\sqrt{16}=4$. In diesem Fall ist übrigens die Exzentrizität $e=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-16}=0$.

  Für $a=4$ und $b=5$ erhält man also

  $\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{5^2}=\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$.

• Berechne jeweils die fehlende Größe.

  Tipps

  Hier siehst du den Zusammenhang der drei Größen.

  Verwende den Satz des Pythagoras: Die Summe der beiden Kathetenquadrate ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse.

  Es gilt $b^2+e^2=a^2$.

  Forme diese Gleichung bei gegebenen Größen nach der fehlenden Größe um.

  Lösung

  Hier ist der Zusammenhang der drei Größen zu sehen. Es ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras

  $b^2+e^2=a^2$.

  Seien $a=10$ und $b=6$, dann gilt

  $6^2+e^2=10^2$, also $36+e^2=100$.

  Durch Subtraktion von $36$ ergibt sich $e^2=64$. Nun muss noch die Wurzel gezogen werden und man erhält $e=8$.

  Übrigens: Wenn $a=b$ ist, gilt $b^2+e^2=a^2$, also $e^2=a^2-b^2=a^2-a^2=0$. Somit ist $e=0$. Wenn die Exzentrizität $0$ ist, liegt ein Kreis vor.

  Sei $e=5$ und $b=12$, dann gilt $5^2+12^2=25+144=169=a^2$. Nun kann die Wurzel gezogen werden und man erhält $a=13$, also nicht $a=17$.

  Sei nun $a$ doppelt so groß wie $b$, also $a=2b$, dann erhält man

  $b^2+e^2=(2b)^2$.

  Mit $(2b)^2=4b^2$ sowie Subtraktion von $b^2$ gelangt man zu $e^2=3b^2$. Zuletzt wird die Wurzel gezogen, was zu $e=\sqrt3 b$ führt. Die entsprechende Aussage ist also nicht richtig, da $e=\sqrt3 a:2\approx 0,9 a$.

  Seien $a=17$ und $e=8$, dann ergibt sich $b^2=17^2-8^2=225$. Durch Ziehen der Wurzel erhält man $b=15$.

• Nenne das Verfahren, mit welchem eine Ellipse gezeichnet werden kann.

  Tipps

  Diese Konstruktion ist eine Methode, um eine Ellipse zu zeichnen. Man kann damit auch einen Kreis zeichnen.

  Der Name geht angeblich darauf zurück, dass damit ein (Blumen-)Beet in Form einer Ellipse angelegt werden kann.

  Lösung

  Ellipsen können mit Hilfe der Gärtnerkonstruktion gezeichnet werden. Dieser Name geht darauf zurück, dass diese Konstruktion zum Anlegen eines Ellipsen-förmigen Beetes in einem Garten verwendet wird.

  Dabei geht man folgendermaßen vor:

  1. Es werden Nägel in die Brennpunkte eingeschlagen.
  2. Nun wird ein Seil mit der doppelten Länge der Hauptachse ($2a$) an den beiden Brennpunkten befestigt.
  3. Wenn man mit einem Stift den Faden spannt, kann man mit dem Stift eine Ellipse zeichnen.

• Ermittle die Größen $a$, $b$ und $e$.

  Tipps

  Dies ist die allgemeine Darstellung einer Mittelpunktgleichung.

  Dividiere die obige Gleichung durch die rechte Seite. Dann steht auf der rechten Seite die $1$.

  Um $a$ und $b$ zu erhalten, musst du noch bei dem entsprechenden Nenner die Wurzel ziehen.

  Wenn du $a$ und $b$ kennst, kannst du diese in die Formel

  $e=\sqrt{a^2-b^2}$

  einsetzen.

  Lösung

  Wenn man in dieser Gleichung beide Seiten durch $30625$ dividiert, erhält man

  $\frac{x^2}{625}+\frac{y^2}{49}=1$.

  Dies entspricht der allgemeinen Darstellung einer Mittelpunktgleichung einer Ellipse

  $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

  Das bedeutet, dass $a^2=625$ ist und somit Ziehen der Wurzel $a=25$ ergibt. Ebenso erhalten wir $b^2=49$ und $b=7$.

  Nun kann die Gleichung zur Berechnung der Exzentrizität

  $e=\sqrt{a^2-b^2}$

  verwendet werden. Dies führt zu $e=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$.