Was ist eine Ellipse?
Die Ellipse ist eine geschlossene Kurve, die entsteht, wenn ein Kegel von einer Ebene geschnitten wird. Sie hat Brennpunkte, eine Haupt- und Nebenachse sowie Hauptscheitel und Nebenscheitel. Lerne mehr über die faszinierende Ellipse und ihre mathematischen Formeln! Interessiert? Finde weitere Informationen im folgenden Text.
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Grundlagen zum Thema Was ist eine Ellipse?
Einführung: Ellipse
Was ist eine Ellipse?
Eine Ellipse erhält man, indem man den Schnitt eines Kegels mit einer Ebene durchführt. Wenn dabei eine geschlossene Kurve herauskommt, handelt es sich um eine Ellipse. Daher handelt es sich bei einer Ellipse um einen Kegelschnitt.
Auch wenn man schräg auf einen Kreis schaut, sieht man eine Ellipse.
Ellipsen kommen auch in der Natur vor: Die Planeten unseres Sonnensystems umlaufen die Sonne bspw. auf elliptischen Bahnen.
Bezeichnungen und Eigenschaften
Eine Ellipse kann auch konstruiert werden. Eine Möglichkeit dazu ist die sogenannte Gärtnerkonstruktion: Eine Schnur wird an zwei Punkten $A$ und $B$ festgemacht. Nun spannt man einen Stift in die Schnur. Wenn man den Stift bei gespannter Schnur bewegt, erhält man eine Kurve. Diese hat die Form einer Ellipse.
Definition Ellipse
Aus der Gärtnerkonstruktion folgt direkt die Definition der Ellipse: Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, bei denen die Summe der Abstände zu zwei Punkten $A$ und $B$ immer gleich ist. Die beiden Punkte $A$ und $B$ werden Brennpunkte der Ellipse genannt.
Die Strecke, welche von einem Ellipsenrand durch diese beiden Punkte zu dem gegenüberliegenden Ellipsenrand verläuft, wird als Hauptachse bezeichnet.
Die Schnittpunkte von Hauptachse und Ellipsenrand werden Hauptscheitel genannt.
Genau in der Mitte der Hauptachse wird eine Senkrechte von einem Ellipsenrand zu dem gegenüberliegenden Ellipsenrand gezeichnet. Dies ist die Nebenachse.
Die Schnittpunkte von Nebenachse und Ellipsenrand werden Nebenscheitel genannt.
Die Haupt- und die Nebenachse schneiden sich im Mittelpunkt $M$ der Ellipse.
Der Abstand dieses Mittelpunktes zu jedem der Brennpunkte ist die lineare Exzentrizität $e$ der Ellipse.
Die Halbachsen liegen zwischen dem Mittelpunkt und jeweils einem der Hauptscheitel. Sie sind halb so lang wie die Hauptachse und werden mit $a$ gekennzeichnet. Die halbe Nebenachse wird mit $b$ eingetragen.
Berechnung Ellipse
Mit den nun bekannten Größen können verschiedene Berechnungen an Ellipsen durchgeführt werden.
Betrachten wir zunächst einen der beiden Hauptscheitel $S_H$: Vom Brennpunkt $A$ ist er $a-e$, vom Brennpunkt $B$ ist er $a+e$ weit entfernt. Die Summe der beiden Strecken beträgt:
$\overline{AS_H}+\overline{S_H B}= a-e+a+e=2a$
Aus Symmetriegründen ergibt sich auch für den anderen Hauptscheitel dieses Ergebnis.
Aus der Definition der Ellipse folgt für zwei beliebige Punkte $P_1$ und $P_2$ unmittelbar:
$\overline{AP_1}+\overline{P_1B}=\overline{AP_2}+\overline{P_2B}$
Da dies insbesondere auch für die Hauptscheitel gilt, bedeutet das, dass für jeden beliebigen Punkt $P$ auf der Ellipse die folgende Beziehung aufgestellt werden kann:
$\overline{AP}+\overline{PB}= 2a$
Damit kommen wir nun zu den Nebenscheiteln $S_N$. Beide sind von den Brennpunkten $A$ und $B$ gleich weit entfernt. Die Summe der beiden Abstände ist wie bei allen Punkten der Ellipse gleich $2a$. Damit folgt für die Abstände der Nebenscheitel zu den Brennpunkten:
$\overline{S_N A} = \overline{S_N B}= a$
Betrachten wir nun das rechtwinklige Dreieck $\Delta_{AMS_N}$ mit dem Brennpunkt $A$, dem Mittelpunkt $M$ und einem Nebenscheitel $S_N$, so erhält man mit dem Satz des Pythagoras:
$e^2+b^2=a^2 ~\rightarrow~ e^2=a^2-b^2 ~\rightarrow~ e=\sqrt{a^2-b^2}$.
Das bedeutet, dass die Exzentrizität umso größer ist, je größer der Unterschied zwischen $a$ und $b$ ist.
Insbesondere ist für $a=b$ die Exzentrizität gleich $0$. Das entspricht dann dem Kreis. Da sind die Brennpunkte identisch und bilden den Mittelpunkt des Kreises. Es ist dann $r=a=b$ der Radius des Kreises.
Fläche Ellipse
Zur Berechnung des Flächeninhaltes einer Ellipse verwendet man die Formel $A=\pi\cdot a\cdot b$.
Auch hier: Für $a=b$, erhält man $A=\pi\cdot a^2=\pi\cdot r^2$, die Flächenformel für einen Kreis.
Ellipsengleichung
Liegt eine Ellipse in einem kartesischen Koordinatensystem und der Mittelpunkt im Koordinatenursprung, so gilt für alle Punkte $P(X|Y)$ auf dem Ellipsenrand die folgende Gleichung:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Ellipse – Grundbegriffe – Tabellarischer Steckbrief
| Grundbegriff | Bedeutung |
|---|---|
| Brennpunkte | definieren die Ellipse: die Summe der Abstände jedes Punktes auf der Ellipse zu den beiden Brennpunkten ist immer gleich |
| Mittelpunkt | der Punkt, der die Strecke zwischen beiden Brennpunkten genau halbiert |
| lineare Exzentrizität | Abstand vom Mittelpunkt zu jedem der beiden Brennpunkte |
| Hauptachse | eine Symmetrieachse der Ellipse: verläuft durch beide Brennpunkte von Ellipsenrand zu Ellipsenrand |
| Hauptscheitel | Schnittpunkte von Hauptachse und Ellipsenrand |
| Nebenachse | zweite Symmetrieachse der Ellipse: steht auf dem Mittelpunkt der Ellipse senkrecht auf der Hauptachse und verläuft von Ellipsenrand zu Ellipsenrand |
| Nebenscheitel | Schnittpunkte von Nebenachse und Ellipsenrand |
| große Halbachse | Strecke zwischen einem der Hauptscheitel und dem Mittelpunkt |
| kleine Halbachse | Strecke zwischen einem der Nebenscheitel und dem Mittelpunkt |
Transkript Was ist eine Ellipse?
Hallo und herzlich willkommen zu diesem Video über Geometrie. Aus dem Kapitel Kreise beschäftigen wir uns heute mit der Ellipse. Wir lernen heute, was eine Ellipse ist. Welche Eigenschaften sie hat. Und welche Formeln ich für sie kennen sollte. Dann wollen wir mal. Ergibt der Schnitt eines Kegels mit einer Ebene eine geschlossene Kurve, so nennt man dies eine Ellipse. Ihr könnt euch das so vorstellen, wie im Bild rechts. Eine weitere Methode schnell eine Ellipse zu erhalten, ist einfach schräg auf einen Kreis zu schauen. Ich kann euch das wahrscheinlich am schnellsten zeigen, mit meiner Kaffeetasse. Schaut einfach hier. Ich halte sie schräg. Und ich erhalte eine Ellipse. Ellipsen sind auch in der Natur von großer Bedeutung. Zum Beispiel die Planeten unseres Sonnensystems kreisen auf elliptischen Bahnen um die Sonne. Welche Eigenschaften so eine Ellipse nun hat, das heißt, mit welchen Größen ich sie beschreiben kann, das sehen wir uns im nächsten Kapitel an. Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Ellipse zu definieren. 2 hatten wir gerade schon gehört. Eine Ellipse ist also ein Kegelschnitt, der eine geschlossene Kurve ergibt. Oder sie ist die Projektion eines Kreises. Also ein Schrägbild wie man das auch nennt. Eine weitere und deutlich praktischere Definition lernen wir, wenn ich euch zeige, wie man eine Ellipse sehr einfach zeichnen kann. Wir nehmen einfach eine Schnur. Befestigen sie an 2 Punkten, ich mache das mit Tesafilm und benutzen die Schnur dann wie einen Zirkel. So, sehr schön. Ich markiere noch die beiden Punkte mit A und B und dann kann ich mir folgende Definition aufschreiben. Die Schnur ist ja festgemacht. Ich habe also immer die gleiche Länge an Schnur zur Verfügung. Damit ist also für jeden Punkt auf meiner Ellipse die Entfernung von A zum Punkt B gleich. Eine Ellipse ist also auch die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu 2 Punkten A und B gleich ist. A und B nennt man übrigens die Brennpunkte der Ellipse. Als Nächstes ziehen wir eine Gerade durch A und B. Und dann genau in der Hälfte zwischen A und B zeichnen wir eine Mittelsenkrechte. Die Linie, die durch A und B geht, nennt man die Hauptachse. Die die senkrecht dazu steht ist die sogenannte Nebenachse der Ellipse. Passend dazu nennt man die beiden Punkte, an denen die Hauptachse die Ellipse schneidet, die Hauptscheitel. Und die beiden Punkte, an denen die Nebenachse die Ellipse schneidet, die Nebenscheitel. Der Abstand zwischen dem Schnittpunkt der beiden Achsen und den Brennpunkten A und B, denn der ist ja auf beiden Seiten gleich groß, bekommt den Buchstaben e und heißt lineare Exzentrizität der Ellipse. So, wir sind fast am Ende. Jetzt geben wir nur noch der Hälfte der Hauptachse den Buchstaben a. Und der Hälfte der Nebenachse den Buchstaben b. Außerdem merken wir uns noch der Vollständigkeit halber. Der Schnittpunkt unserer beiden Achsen ist natürlich der Mittelpunkt der Ellipse. Im letzten Kapitel wollen wir uns jetzt noch ansehen, mit welchen Formeln ich diese Ellipse beschreiben kann. Wir zeichnen noch mal schnell eine kleine Ellipse und markieren a,b und die Exzentrizität e. Wir haben ja gerade gehört, für alle Punkte auf der Ellipse ist die Summe der Abstände zu A und B gleich. Wir können also schreiben. AP1->+P1B->=AP2->+P2B->=AP3->+P3B->. Wie groß diese Summe nun genau ist, lässt sich leicht herausfinden, wenn man einen der beiden Hauptscheitel betrachtet. Wir laufen von A ganz nach rechts bis an den Rand der Ellipse und dann zurück nach B. Dabei fällt auf, das Stück vom Rand zu B ist doppelt, aber genauso groß wie das Links fehlende Stück vom Rand zu A. Das heißt AP1->+P1B->=AP2->+P2B-> und so weiter =2×a. Die Summe der beiden Abstände ist also immer genauso lang, wie die Hauptachse unserer Ellipse. Die Summe ist also 2a. Das ist natürlich besonders spannend wenn wir das Dreieck zwischen A, P2 und dem Mittelpunkt der Ellipse betrachten. Dieses Dreieck ist rechtwinklig und da AP2-> genauso groß wie P2B-> sein muss, ist es die Hälfte von 2a. Also a. Damit gilt nach Pythagoras. a2=b2+e2. Oder umgestellt nach e, e2=a2-b2. Aus dieser Formel lassen sich einige interessante Sachen ablesen. Wir merken uns aber erst mal nur Folgendes. Je größer die lineare Exzentrizität e ist, desto größer ist der Unterschied zwischen A und B. Den Flächeninhalt der Ellipse können wir mit der schönen, einfachen Formel A=π×a×b berechnen. Eine weitere wichtige Formel zur mathematischen Beschreibung der Ellipse ist die sogenannte Ellipsengleichung. In einem kartesischen Koordinatensystem, der Mittelpunkt der Ellipse muss dabei im Ursprung, also bei 0 0 liegen, kann ich die Ellipse mit folgender Gleichung beschreiben. Die x2÷a2+y2÷b2 muss =1 sein. Zum Schluss wollen wir noch folgende Anmerkung machen. Wenn wir unser Bild betrachten und überlegen was passiert, wenn e=0 ist, dann stellen wir fest. Die beiden Brennpunkte rutschen zu einem zusammen und damit wird a=b=r. Denn damit wird unsere Ellipse zu einem Kreis. Wir können das sicher leicht nachvollziehen, wenn ihr euch überlegt, dass wir vorher die Summe der Abstände eines Punktes zu 2 verschiedenen Punkten und für e=0 die Summe des Abstandes hin und zurück zu nur einem Punkt haben. Und das ist ja genau der Radius eines Kreises. Wir wollen noch mal wiederholen was wir heute gelernt haben. Die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu 2 Punkten A und B gleich ist, heißt Ellipse. Die beiden Punkte A und B heißen Brennpunkte der Ellipse. e, der Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt, ist die lineare Exzentrizität. Die Hauptachse, die die Länge 2a hat, und die Nebenachse mit der Länge 2b, halbieren sich gegenseitig und stehen im rechten Winkel zueinander. Die Fläche der Ellipse A=π×a×b. Außerdem hatten wir gehört, die Exzentrizität zum Quadrat ist a2-b2. Und die Ellipsengleichung für das kartesische Koordinatensystems lautet x2÷a2+y2÷b2=1. So das wars schon wieder für heute. Ich hoffe ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle.
Was ist eine Ellipse? Übung
-
Gib die Eigenschaften einer Ellipse an.
TippsDie schwarz eingezeichnete Strecke ist nicht die Hälfte der waagerechten Achse.
Die Scheitel sind benannt nach der Achse, auf welcher sie liegen.
Die Hauptachse verläuft durch die drei Punkte innerhalb der Ellipse.
Die Scheitel liegen auf dem Ellipsenrand.
LösungEs gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Ellipse zu definieren:
- als Kegelschnitt,
- als Schrägbild, der Projektion eines Kreises.
- Man nimmt eine Schnur,
- befestigt diese an zwei Punkten und
- benutzt die Schnur wie einen Zirkel.
Die beiden Punkte, an welchen die Schnur festgemacht wird, seien $A$ und $B$. Da die Schnur immer gleich lang ist, kann man feststellen, dass für alle Punkte $P$ der Ellipse Folgendes gilt: Die Summe der Abstände eines Punktes $P$ auf dem Ellipsenrand zu den beiden Punkten $A$ und $B$ ist immer gleich. Die Abstände sind mit den gestrichelten Linien angedeutet.
Die beiden Punkte $A$ und $B$ heißen Brennpunkte der Ellipse.
Die Gerade durch die beiden Brennpunkte heißt Hauptachse.
Die Gerade, welche durch den Mittelpunkt $M$ von $\overline{AB}$ geht und senkrecht zur Hauptachse verläuft, heißt Nebenachse.
Die Punkte der Hauptachse, welche auf der Ellipse liegen, sind die Hauptscheitel, $Q$ und $S$, die der Nebenachse sind die Nebenscheitel, $R$ und $T$.
Der Abstand vom Mittelpunkt der Hauptachse zu den beiden Brennpunkten, $e$, wird als lineare Exzentrizität bezeichnet.
Der Schnittpunkt der Haupt- und Nebenachse ist der Mittelpunkt der Ellipse.
-
Stelle die Zusammenhänge der einzelnen Größen in einer Ellipse dar.
TippsBetrachte die Summe der Abstände eines Hauptscheitels, $Q$ oder $S$, zu den Brennpunkten.
$P_2$ ist ein Nebenscheitel. Dieser bildet mit den beiden Brennpunkten, $A$ und $B$, ein gleichschenkliges Dreieck.
Das Dreieck mit den Seiten $b$, $e$ und $a$ ist rechtwinklig.
Wende in diesem Dreieck den Satz des Pythagoras an.
LösungNach einer möglichen Definition einer Ellipse gilt:
$\overline{AP_1}+\overline{P_1B}=\overline{AP_2}+\overline{P_2B}=\overline{AP_3}+\overline{P_3B}$.
Wenn man sich einen Hauptscheitel anschaut, erkennt man, dass die Summe dieser Abstände gerade $e+a+a-e=2a$ ist.
Das Dreieck $\Delta_{ABP_2}$ ist gleichschenklig, da $P_2$ ein Nebenscheitel ist. Das bedeutet, dass jeder der beiden Schenkel die Länge $a$ hat.
Wenn man dieses Dreieck halbiert, gilt mit dem Satz des Pythagoras:
$a^2=e^2+b^2$.
Diese Gleichung kann nach $e^2$ umgestellt werden zu
$e^2=a^2-b^2$.
Das bedeutet,
- je größer die lineare Exzentrizität ist, desto größer ist der Unterschied zwischen $a$ und $b$.
- je kleiner die lineare Exzentrizität ist, desto kleiner ist der Unterschied zwischen $a$ und $b$.
- Wenn die lineare Exzentrizität $0$ ist, ist $a=b$ und damit liegt ein Kreis vor.
In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung kann die Ellipse mit Hilfe der Ellipsengleichung angegeben werden:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.
-
Ermittle jeweils die fehlende Größe.
TippsVerwende die oben angegebenen Formeln.
Für den Flächeninhalt benötigst du $a$ und $b$. Wenn nur eine der beiden Größen sowie $e$ gegeben sind, musst du zunächst die fehlende berechnen.
Stelle die Formel $a^2-b^2=e^2$ entsprechend der fehlenden Größe um.
LösungDer Zusammenhang zwischen $a$, der halben Länge der Hauptachse, und $b$, der halben Länge der Nebenachse, sowie der linearen Exzentrizität ist gegeben durch $a^2-b^2=e^2$.
Der Flächeninhalt der Ellipse wird mit der Formel $A=\pi\cdot a\cdot b$ berechnet.
- $a=10$ und $b=6$ gegeben:
$A=\pi\cdot a \cdot b = \pi\cdot 10\cdot 6\approx 188,5$.
- $a=12$ und $e=8$ gegeben:
Damit kann dann auch die Fläche berechnet werden: $A=\pi\cdot a \cdot b = \pi\cdot 12\cdot \sqrt{80}\approx 337,2$.
- $b=7$ und $e=8$ gegeben:
Damit kann dann auch die Fläche berechnet werden: $A=\pi\cdot a \cdot b = \pi\cdot \sqrt{113}\cdot 7\approx 233,8$.
-
Prüfe, welche der Punkte innerhalb, auf oder außerhalb der Ellipse liegen.
TippsIn dieser Ellipse ist $a=6$ und $b=4$.
Die Ellipsengleichung lautet
$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$.
Der Mittelpunkt $(0|0)$ liegt innerhalb der Ellipse:
$\frac0{36}+\frac0{16}=0<1$.
Der Punkt $(6|4)$ liegt sicher außerhalb der Ellipse:
$\frac{36}{36}+\frac{16}{16}=1+1=2>1$.
Man kann allgemein feststellen: Wenn für $P(x|y)$ der Term $\large\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$
- kleiner ist als $1$, liegt $P$ innerhalb,
- gleich $1$ ist, liegt $P$ auf, und
- größer $1$ ist, liegt $P$ außerhalb der Ellipse.
LösungDie Ellipsengleichung $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ besagt, dass für jeden Punkt auf der Ellipse mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung Gleichheit gilt.
Falls $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}<1$ gilt, liegt der Punkt innerhalb der Ellipse.
Falls $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}>1$ gilt, liegt der Punkt außerhalb der Ellipse.
Nun kann jeder der angegebenen Punkte in der Ellipsengleichung eingesetzt werden:
- $P_1(3\sqrt3|2)$: $\frac{(3\sqrt3)^2}{36}+\frac{2^2}{16}=\frac{27}{36}+\frac4{16}=\frac34+\frac14=1$. Dieser Punkt liegt auf der Ellipse.
- $P_2(4|0)$: $\frac{4^2}{36}+\frac{0^2}{16}=\frac{16}{36}<1$. Dieser Punkt liegt innerhalb der Ellipse.
- $P_3(4|2)$: $\frac{4^2}{36}+\frac{2^2}{16}=\frac{16}{36}+\frac4{16}=\frac{16}{36}+\frac9{36}=\frac{25}{36}<1$. Dieser Punkt liegt innerhalb der Ellipse.
- $P_4(0|6)$: $\frac{0^2}{36}+\frac{6^2}{16}=\frac{36}{16}>1$. Dieser Punkt liegt außerhalb der Ellipse.
- $P_5(0|4)$: $\frac{0^2}{36}+\frac{4^2}{16}=\frac{16}{16}=1$. Dieser Punkt liegt auf der Ellipse.
-
Ergänze die Erklärung zu Ellipsen.
TippsStell dir vor, du schneidest mit einem scharfen Messer schräg durch einen Kegel. Was erhältst du dann als Begrenzung der Schnittfläche?
- Du erhältst entweder eine Ellipse oder
- eine Parabel oder
- eine Hyperbel.
In dem obigen Bild kannst du die Sonne sehen.
LösungWas ist eine Ellipse?
Eine Ellipse ist der Schnitt einer Ebene mit einem Kegel, sofern dies eine geschlossene Kurve ist.
Die Planeten des Sonnensystems kreisen auf elliptischen Bahnen um die Sonne.
Die Ellipse zählt neben der Parabel und der Hyperbel zu den Kegelschnitten. Die letzten beiden wären nicht geschlossene Kurven. Eine anschauliche Definition ist die Definition der Ellipse als Punktmenge. Dabei haben alle Punkte gewisse Eigenschaften.
Wenn man Schrägbilder von Kreisen zeichnet, werden häufig Ellipsen benötigt.
-
Bestimme die Koordinaten der beiden Brennpunkte.
TippsBeide Brennpunkte liegen auf der $x$-Achse. Sie unterscheiden sich also nur in der $x$-Koordinate.
$a$ ist die Hälfte der Länge der Hauptachse und $b$ die Hälfte der Länge der Nebenachse.
Beide Längen kannst du ablesen.
Hast du "$e$" bereits berechnet, so überlege dir, welche Strecke "$e$" darstellt.
LösungWenn man $a$ und $b$ kennt, kann man $l$ mit der Formel $e^2=a^2-b^2$ berechnen. Aus dem Bild kann $a=6$ und $b=4$ abgelesen werden. Damit ist $e^2=6^2-4^2=36-10$ und damit $e=\sqrt{20}\approx 4,5$.
Die beiden Brennpunkte liegen auf der x-Achse, haben also beide die y-Koordinate $0$. Es ist
- $A(-4,5|0)$ und
- $B(4,5|0)$.
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ein bisschen zu schnell und vielleicht nicht so viel Stoff auf einmal in einem Video erklären. Wäre besser wenn auf die einzelnen Themen genauer eingegangen würde und dafür den Stoff auf zwei Videos verteilen! ansonsten ganz gut!😃😌😏
Mir hat es auch geholfen
ich habe immer die punkte vergessen
ist sehr gut erklärt danke hat mir geholfen
Gutes Video hat mir weitergeholfen 👍