Fibonacci-Folge
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Lerntext zum Thema Fibonacci-Folge
Fibonacci-Folge – Einführung
Hast du dich schon einmal gefragt, was eine Folge ist? Vielleicht hast du auch schon einmal den Namen Fibonacci gehört. Erst einmal vorweg: Nein, das ist kein italienisches Nudelgericht, sondern war ein bedeutender Mathematiker. Nach Leonardo Fibonacci ist eine von ihm im Mittelalter angewandte Zahlenfolge benannt, die bis heute eine wichtige Rolle in der Mathematik spielt – die Fibonacci-Folge.
Eine Zahlenfolge $(a_n)$ ist eine Funktion, die ein Muster beschreibt, das in einer Aneinanderreihung von Zahlen auftritt. Die einzelnen Glieder der Zahlenfolge sind dabei eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet.
Die Fibonacci-Folge ist eine unendliche Abfolge an Zahlen – dabei sehen die ersten Glieder wie folgt aus:
$0;1;1; 2; 3; 5; 8; 13$
Ein nachfolgendes Glied wird immer aus der Summe der zwei vorherigen Zahlen gebildet. Dies kann unendlich oft weitergeführt werden. Das nächste Glied würde demnach berechnet werden mit:
$8+13=21$
Geschichtlicher Hintergrund – das Kaninchenproblem
Was hat die Fibonacci-Folge mit Kaninchen zu tun? Der Mathematiker Leonardo Fibonacci entdeckte die Zahlenfolge, während er das Wachstum einer Kaninchenpopulation beobachtete. Dabei stellte er Folgendes fest:
Wenn Kaninchen sich vermehren, dann kann ein erwachsenes Paar jeden Monat ein neues Kaninchenpaar zeugen. Die jungen Kaninchenpaare müssen dann erst einen Monat lang erwachsen werden, bevor sie sich selbst vermehren können.
Wenn man nun das Wachstum einer neuen Kaninchenpopulation beschreiben möchte, kann man also die Fibonacci-Folge zu Hilfe nehmen:
Man geht davon aus, dass am Anfang noch kein Kaninchenpaar vorhanden ist und dieses erst zu Beginn des zweiten Monats angeschafft wird. Dafür stehen die ersten beiden Zahlen der Folge:
$a_0=0$ und $a_1=1$
Das Paar braucht jetzt einen Monat, um erwachsen zu werden. Dann kann es selbst ein Kaninchenpaar zeugen, deshalb hat die Zahlenfolge im dritten Monat auch den Wert:
$a_2=1$
Im vierten Monat kommt dann deren erstes Kaninchenpaar auf die Welt. Also gibt es im vierten Monat zwei Kaninchenpaare:
$a_3=a_2 + a_1 = 1+1=2$
Im nächsten Monat bekommt das Anfangspaar wieder ein neues Pärchen und das von ihnen im Vormonat gezeugte Pärchen wird erwachsen. Deshalb rechnet man im fünften Monat:
$a_4=a_3 + a_2 = 2+1=3$
Im sechsten Monat sind dann zwei Kaninchenpaare zeugungsfähig, es kommen also zwei Pärchen hinzu.
$a_5=a_4 + a_3 = 3+2=5$
Diesen Gedankengang kann man jetzt beliebig oft wiederholen. Die Anzahl der Kaninchenpaare im Folgemonat wird dabei immer so groß sein wie das nächste Folgenglied in der Fibonacci-Folge.
Fibonacci-Folge – rekursive Formel
Wie bereits oben beschrieben ergeben immer zwei aufeinanderfolgende Glieder addiert das nächste Folgenglied in der Fibonacci-Folge. Dies kann man mit der folgenden Formel ausdrücken:
$a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2} \text{ für } n > 2$
In Worten: Das $n$-te Folgenglied ist die Summe seiner beiden Vorgänger. Die Darstellungsweise wird als rekursiv bezeichnet. Das bedeutet, dass sich auf vorherige Folgenglieder bezogen wird, um ein neues Folgenglied zu berechnen. Grundsätzlich gilt, dass sich Zahlenfolgen rekursiv darstellen lassen.
Ein Folgenglied ist also leicht berechenbar, wenn die beiden vorangegangenen Folgenglieder bekannt sind.
In der nachfolgenden Tabelle findest du einmal eine Übersicht über die ersten $15$ Folgenglieder der Fibonacci-Folge:
| Folgenglied | Berechnung | Wert |
|---|---|---|
| $a_{0}$ | $-$ | $0$ |
| $a_{1}$ | $-$ | $1$ |
| $a_{2}$ | $0+1=1$ | $1$ |
| $a_{3}$ | $1+1=2$ | $2$ |
| $a_{4}$ | $1+2=3$ | $3$ |
| $a_{5}$ | $2+3=5$ | $5$ |
| $a_{6}$ | $3+5=8$ | $8$ |
| $a_{7}$ | $5+8=13$ | $13$ |
| $a_{8}$ | $8+13=21$ | $21$ |
| $a_{9}$ | $13+21=34$ | $34$ |
| $a_{10}$ | $21+34=55$ | $55$ |
| $a_{11}$ | $34+55=89$ | $89$ |
| $a_{12}$ | $55+89=144$ | $144$ |
| $a_{13}$ | $89+144=233$ | $233$ |
| $a_{14}$ | $144+233=377$ | $377$ |
Fibonacci-Folge – explizite Formel (Formel von Moivre-Binet)
Die rekursive Formel der Fibonacci-Folge macht das zugrunde liegende Muster der Folge sehr gut deutlich. Allerdings stößt diese Darstellungsform an ihre Grenzen, wenn man mit ihr sehr hohe Folgenglieder bestimmen möchte. In dem Fall ist es sehr aufwendig, konkrete Werte zu berechnen.
Wenn man zum Beispiel $a_{100}$ bestimmen will, ist dies mit der rekursiven Darstellung nicht ohne Weiteres möglich, wenn die Glieder $a_{99}$ und $a_{98}$ nicht bekannt sind. Auch diese müssten erst berechnet werden.
Wegen dieser Problematik haben die Mathematiker Abraham de Moivre und Jacques Philippe Marie Binet unabhängig voneinander ein explizites Bildungsgesetz für die Glieder der Fibonacci-Folge entdeckt. Dieses ist in der Formel von Moivre-Binet festgehalten.
Diese explizite Darstellung für Fibonacci-Folgenglieder lautet wie folgt:
$a_{n} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \dfrac{1+ \sqrt{5}}{2} \right)^{n} - \left( \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right)$
Diese Formel sieht sehr kompliziert aus und es ist zunächst kaum zu glauben, dass sie tatsächlich für jedes $n\in\mathbb{N}$ eine Fibonacci-Zahl und somit eine natürliche Zahl ergibt. Zur Überprüfung berechnen wir die ersten $4$ Glieder der Fibonacci-Folge mithilfe der Formel:
$\begin{array}{rcl} a_{0} &=& \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \dfrac{1+ \sqrt{5}}{2} \right)^{0} - \left( \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} \right)^{0} \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot (1-1) \\ \\ &=& \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot 0 = 0 \end{array}$
$\begin{array}{rcl} a_{1} &=& \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \dfrac{1+ \sqrt{5}}{2} \right)^{1} - \left( \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} \right)^{1} \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \left( \dfrac{1+ \sqrt{5}}{2}- \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \left( \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\sqrt{5} - \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}\right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5} = 1 \end{array}$
$\begin{array}{rcl} a_{2} &=& \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \dfrac{1+ \sqrt{5}}{2} \right)^{2} - \left( \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} \right)^{2} \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{4 \sqrt{5}} \cdot (1+2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 -(1-2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} +(\sqrt{5})^2) ) \\ \\ &=& \dfrac{1}{4 \sqrt{5}} \cdot (1+2 \sqrt{5}+5-1+2 \sqrt{5}-5) \\ \\ &=& \dfrac{4 \sqrt{5}}{4 \sqrt{5}} = 1 \end{array}$
$\begin{array}{rcl} a_{3} &=& \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \dfrac{1+ \sqrt{5}}{2} \right)^{3} - \left( \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} \right)^{3} \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{8 \sqrt{5}} \cdot (6 \sqrt{5} + 2 (\sqrt{5})^3 ) \\ \\ &=& \dfrac{1}{8 \sqrt{5}} \cdot (6 \sqrt{5} + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} ) \\ \\ &=& \dfrac{1}{8 \sqrt{5}} \cdot (6 \sqrt{5} + 10 \cdot \sqrt{5} ) \\ \\ &=& \dfrac{16 \sqrt{5}}{8 \sqrt{5}} =2 \end{array}$
Explizite Darstellung – Übung
Jetzt bist du dran! Berechne nachfolgend mithilfe der Formel von Moivre-Binet die angegebenen Glieder der Fibonacci-Folge.
Die Fibonacci-Folge – Zusammenfassung
Die Fibonacci-Folge ist eine spezielle Folge in der Mathematik, deren einzelnen Glieder sich immer als Summe ihrer zwei vorherigen Glieder ergeben.
Man kann ein einzelnes Glied der Folge mit folgender Bildungsvorschrift bestimmen:
$a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2} \text{ für } n > 2$
Dies ist die rekursive Darstellung der Fibonacci-Folge.
Da diese Bildungsvorschrift an ihre Grenzen stößt, wenn man ein ganz bestimmtes Folgenglied berechnen will, ohne die Vorgänger zu kennnen, haben die Mathematiker Abraham de Moivre und Jacques Philippe Marie Binet eine Formel entwickelt, mit der dies möglich ist:
$a_{n} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \dfrac{1+ \sqrt{5}}{2} \right)^{n} - \left( \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right)$
Bei dieser Formel handelt es sich um die explizite Darstellung der Fibonacci-Folge.
Fibonacci-Folge Übung
-
Beschreibe, was rekursive und explizite Darstellungen von Folgen sind.
TippsSowohl die rekursive als auch die explizite Darstellung der Folgen führen zu denselben Folgegliedern.
- Ein Synonym für „rekursiv“ ist „zurückführend“.
- Eine explizite Darstellung ist eine direkte Darstellung.
LösungRekursive Darstellung
In einer rekursiven Darstellung einer Folge werden Folgeglieder mit Hilfe vorhergehender Folgeglieder beschrieben.
Hier siehst du ein Beispiel: $a_{n+1}=a_n+2$. Du musst dann in diesem Beispiel ein Folgeglied kennen und schon geht es los. Zum Beispiel sei $a_0=3$.
Dann ist $a_1=a_0+2=3+2=5$, $a_2=a_1+2=5+2=7$, ...
Der Nachteil dieser Darstellung liegt darin, dass du die ersten $400$ Folgeglieder berechnet haben musst, um das $401.$ Folgeglied zu berechnen.
Dies ist bei expliziten Darstellungen nicht der Fall.
Explizite Darstellung
In einer expliziten Darstellung wird ein Folgeglied direkt in Abhängigkeit des Folgeindizes $n$ angegeben.
Schau dir noch einmal die obige Formel sowie die ersten Folgenglieder an: $a_{n+1}=a_n+2$ mit $a_0=3$, also
- $a_0=3=3+0\cdot 2$,
- $a_1=5=3+1\cdot 2$,
- $a_2=7=3+2\cdot 2$,
- $a_3=9=3+3\cdot 2$.
-
Gib eine rekursive Darstellung der Fibonacci-Folge an.
TippsAddiere doch einmal $a_1$, $a_2$ und $a_3$.
Du kannst jede der Aussagen direkt überprüfen.
Übrigens: Das nächste Folgeglied in der Fibonacci-Folge ist $a_6=8$.
LösungDu kennst bereits einige Folgeglieder der Fibonacci-Folge: $a_0=0$; $a_1=1$; $a_2=1$; $a_3=2$; $a_4=3$; $a_5=5$.
Fällt dir etwas auf?
- $a_0+a_1=0+1=1=a_1$
- $a_1+a_2=1+1=2=a_3$
- $a_2+a_3=1+2=3=a_4$
- $a_3+a_4=2+3=5=a_5$
Damit kannst du auch schon $a_6=a_4+a_5=3+5=8$ berechnen.
Die rekursive Darstellung der Fibonacci-Folge lautet somit $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ mit $a_0=0$ und $a_1=1$.
-
Ermittle weitere Folgeglieder der Fibonacci-Folge.
TippsHier siehst du die ersten Folgenglieder: $a_0=0$, $a_1=1$, $a_2=1$, $a_3=2$, $a_4=3$, $a_5=5$ und $a_6=8$.
Du benötigst für die folgende Rechnung nur $a_5$ sowie $a_6$.
Beachte, dass die Folgeglieder immer größer werden.
Addiere immer die letzten beiden bekannten Folgeglieder.
LösungDu kennst die Rekursionsformel $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ sowie $a_0=0$ und $a_1=1$ für die Fibonacci-Folge.
Damit kannst du die Folgeglieder berechnen:
Verwende $a_5=5$ sowie $a_6=8$.
- $a_7=a_6+a_5=8+5=13$
- $a_8=a_7+a_6=13+8=21$
- $a_9=a_8+a_7=21+13=34$
- $a_{10}=a_9+a_8=34+21=55$
-
Leite eine explizite Darstellungsform der Folge her.
TippsZweierpotenzen haben die Form $2^k$. Dabei ist $k$ der Exponent.
Überprüfe die explizite Darstellung an einigen Folgegliedern.
LösungEs gibt leider kein allgemein gültiges „Rezept“, um eine rekursive Darstellung in eine explizite umzuformen.
Eine Möglichkeit ist, dass du dir einige Folgeglieder anschaust. Vielleicht erkennst du eine Regelmäßigkeit. Diese kannst du dann verwenden, um eine explizite Darstellung der Folge anzugeben.
Das schauen wir uns einmal an dem obigen Beispiel an: $a_{n+1}=2a_n$ mit $a_0=3$. Schreibe zunächst einige Folgeglieder auf:
- $a_0=3$,
- $a_1=2\cdot a_0=2\cdot 3=6$,
- $a_2=2\cdot a_1=2\cdot 6=12$,
- $a_3=2\cdot 12=24$ und
- $a_4=2\cdot 24=48$.
- $a_0=3=3\cdot 1=3\cdot 2^0$,
- $a_1=6=3\cdot 2=3\cdot 2^1$,
- $a_2=12=3\cdot 4=3\cdot 2^2$,
- $a_3=24=3\cdot 8=3\cdot 2^3$ und
- $a_4=48=3\cdot 16=3\cdot 2^4$.
-
Berechne die Folgeglieder der Fibonacci-Folge.
TippsDu verwendest für die Berechnung jedes Folgegliedes $a_n$ ab $n=2$ die beiden vorhergehenden Folgeglieder. Diese addierst du.
Zum Beispiel ist $a_7=a_6+a_5=8+5=13$.
LösungDie rekursiv definierte Folge $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ mit $a_0=0$ und $a_1=1$ ist bekannt als die Fibonacci-Folge.
Hier kannst du noch einmal ausführlich sehen, wie du diese Rekursion verwendest:
- $a_2=a_1+a_0=1+0=1$
- $a_3=a_2+a_1=1+1=2$
- $a_4=a_3+a_2=2+1=3$
- $a_5=a_4+a_3=3+2=5$
- $a_6=a_5+a_4=5+3=8$
-
Berechne einige Folgeglieder.
TippsDa es zu aufwändig wäre, alle Folgeglieder bis zu dem gesuchten zu berechnen, ist es sinnvoller, nach einer expliziten Darstellung zu suchen.
Es ist $a_1=1$; $a_2=4$; $a_3=7$.
Schreibe jedes Folgeglied in der Form „$...=...-2$“.
Zum Beispiel ist $a_{12}=34=36-2$.
LösungIn dieser Aufgabe ist es sinnvoll, eine explizite Darstellung zu suchen. Warum? Wenn du zum Beispiel das $10000.$ Folgeglied berechnen willst, musst du bei der rekursiven Darstellung auch das $9999.$ kennen und damit das $9998.$, usw. Das ist sehr viel Aufwand.
Schreibe zur Herleitung der expliziten Darstellung die ersten Folgeglieder auf:
- $a_0=-2$,
- $a_1=a_0+3=-2+3=1$,
- $a_2=a_1+3=1+3=4$,
- $a_3=7$.
- $a_0=-2=0-2=0\cdot 3-2$,
- $a_1=1=3-2=1\cdot 3-2$,
- $a_2=4=6-2=2\cdot 3-2$,
- $a_3=7=9-2=3\cdot 3-2$.
Damit kannst du für beliebige $n$ die Folgeglieder berechnen:
- $a_{111}=3\cdot 111-2=333-2=331$,
- $a_{500}=3\cdot 500-2=1500-2=1498$,
- $a_{1234}=3\cdot 1234-2=3702-2=3700$ und
- $a_{10000}=3\cdot 10000-2=30000-2=29998$.
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