Funktionsgraphen im Koordinatensystem

Funktionsgraphen im Koordinatensystem Übung

• Gib die Definition eines Funktionsgraphen an.

  Tipps

  In diesem Funktionsgraphen wird dem $x$-Wert ${4}$ eindeutig der $y$-Wert ${1}$ zugeordnet. Diese beiden Werte gehören zu dem Punkt $\text{P}(4\vert1)$ des Graphen.

  Wenn keinem $x$-Wert mehr als ein $y$-Wert zugeordnet ist, dann handelt es sich um einen Funktionsgraphen.

  Lösung

  Um einen Funktionsgraphen zu erkennen, ist das Entscheidende, dass an jeder Stelle der $x$-Achse genau ein $y$-Wert angenommen wird. Dies schließt nicht aus, dass bei mehreren $x$-Werten derselbe $y$-Wert angenommen wird oder ein Funktionswert keinem anderen zugeordnet ist.

  Wir erkennen einen Funktionsgraphen an der eindeutigen Zurordnung. Das bedeutet, dass jedem $\mathbf{x}$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet wird.

  Wenn wir einen Wert auf der $x$-Achse vertikal mit dem Funktionsgraphen verbinden und dann horizontal zur $\mathbf{y}$-Achse gehen, erhalten wir den zugeordneten $y$-Wert.

  In diesem Beispiel ist an der gegebenen Stelle der $x$-Wert $\mathbf{2}$ und der zugeordnete $y$-Wert $\mathbf{3}$. Diese beiden Werte gehören zu dem Punkt $\mathbf{P}{(2\vert3)}$ auf dem zugehörigen Graphen.

  Die Zuordung ist an dieser Stelle eindeutig. Das gilt auch für alle anderen Punkte des Funktionsgraphen.

• Gib an, ob es sich um einen Funktionsgraphen handelt.

  Tipps

  Es handelt sich nicht um einen Funktionsgraphen, wenn einem $x$-Wert mehr als ein $y$-Wert zugeordnet wird – wird derselbe $y$-Wert an zwei unterschiedlichen $x$-Werten angenommen, ist das hingegen kein Problem.

  Dieses Schaubild zeigt einen Funktionsgraphen. Dem $x$-Wert ${-3}$ wird der $y$-Wert ${4}$ und dem $x$-Wert ${3}$ wird der $y$-Wert ${4}$ zugeordnet.

  Lösung

  Erkennen eines Funktionsgraphen

  Wir erkennen einen Funktionsgraphen daran, dass jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet ist.
  In diesem Beispiel erkennen wir folgende Zuordnungen:

  • $x$-Wert ${2}$ und $y$-Wert ${3}$
  • $x$-Wert ${-2}$ und $y$-Wert von ${3}$

  Somit wird der $y$-Wert ${3}$ bei zwei $x$-Werten angenommen, wobei zum Beispiel der $y$-Wert ${-2}$ nie angenommen wird. Beides ist kein Problem.
  Entscheidend dafür, ob es sich um einen Funktionsgraphen handelt, ist, dass an jeder Stelle der $\mathbf{x}$-Achse genau ein Wert für $y$ angenommen wird.

  Bei diesem Graphen erkennen wir, dass jedem $x$-Wert eindeutig ein $y$-Wert zugeordnet ist: Das Schaubild zeigt einen Funktionsgraphen.

• Bestimme die Funktionsgraphen.

  Tipps

  Dieses Schaubild zeigt keinen Funktionsgraphen, da er an fast allen Werten an der $x$-Achse zwei zugeordnete $y$-Werte hat. Deshalb ist er nicht eindeutig zugeordnet.

  Im Allgemeinen gilt, dass bei einem Funktionsgraphen jedem $x$-Wert eindeutig ein $y$-Wert zugeordnet werden muss. Das schließt nicht aus, dass ein Funktionswert mehrfach oder gar nicht angenommen werden kann.

  Lösung

  Erkennen eines Funktionsgraphen

  Um einen Funktionsgraphen zu erkennen, muss man prüfen, ob jedem $x$-Wert eindeutig ein $y$-Wert zugeordnet wird. Das schließt nicht aus, dass ein Funktionswert mehrfach oder auch gar nicht angenommen wird.

  Wenn bei einem $x$-Wert mehrere $y$-Werte angenommen werden, stellt das Schaubild keinen Funktionsgraphen dar.

  Bild 1 zeigt eine Kreisspirale. Hier werden zum Beispiel bei $x = 0$ einem $x$-Wert gleich mehrere $y$-Werte zugeordnet. Somit handelt es sich um keinen Funktionsgraphen.

  Bild 2 ist eine Funktion $3$. Grades und jedem $x$-Wert kann genau ein $y$-Wert zugeordnet werden. Somit handelt es sich um einen Funktionsgraphen.

  Bild 3 ist eine vertikale Linie und dem $x$-Wert = $1,5$ können unendlich viele $y$-Werte zugeordnet werden. Somit handelt es sich um keinen Funktionsgraphen.

  Bild 4 stellt eine Gerade dar, die so durch das Koordinatensystem verläuft, dass jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet wird. Somit handelt es sich um den Funktionsgraphen einer linearen Funktion.

  Bild 5 stellt eine Schleife dar. Auch hier gibt es Stellen, an denen einem $x$-Wert mehrere $y$-Werte zugeordnet werden können. Somit handelt es sich um keinen Funktionsgraphen.

  Bild 6 zeigt eine abklingende Schwingung. Man kann den Trick mit der horizontalen Linie nehmen und den Graphen gedanklichen „abfahren“. Wir erkennen, dass jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet werden kann. Somit handelt es sich um einen Funktionsgraphen.

  Bild 7 stellt eine Parabel dar. Man nennt sie auch Funktion $2$. Grades und jedem $x$-Wert kann genau ein $y$-Wert zugeordnet werden. Das schließt aber nicht aus, dass zwei $x$-Werte denselben $y$-Wert haben, wie dieses Beispiel veranschaulicht. Es handelt sich um einen Funktionsgraphen.

• Vergleiche die beiden Schaubilder.

  Tipps

  Nimm gedanklich einen vertikalen Strich zur Hilfe und ziehe ihn von links nach rechts über den Graphen. So kannst du prüfen, ob an einer Stelle mehrere $y$-Werte angenommen werden.

  Wird immer nur ein $y$-Wert angenommen, zeigt das Schaubild eine eindeutige Zuordnung und damit einen Funktionsgraphen.

  Lösung

  Schaubild 1

  Zu dem ersten Schaubild gehören folgende Eigenschaften:

  • $x$-Wert genau einem $y$-Wert zugeordnet
  • Schaubild eindeutig zugeordnet
  • Funktionsgraph

  
  

  
  Schaubild 2

  Zu dem zweiten Schaubild gehören folgende Eigenschaften:

  • $x$-Werte mehreren $y$-Werten zugeordnet
  • Schaubild nicht eindeutig zugeordnet
  • kein Funktionsgraph

• Erkläre, ob es sich um einen Funktionsgraphen handelt oder nicht.

  Tipps

  Nimm gedanklich einen vertikalen Strich zur Hilfe und ziehe ihn von links nach rechts über den Graphen. So kannst du prüfen, ob an einer Stelle mehrere $y$-Werte angenommen werden.

  Wird immer nur ein $y$-Wert angenommen, zeigt das Schaubild eine eindeutige Zuordnung und damit ein Funktionsgraphen.

  Lösung

  Erkennen eines Funktionsgraphen

  Damit ein Schaubild einen Funktionsgraphen darstellt, muss jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet werden. Sobald ein $x$-Wert mehrere $y$-Werte annimmt, ist es kein Funktionsgraph.

  Lösung

  Dem $x$-Wert $x$ = $4$ werden die $y$-Werte $\mathbf{2}$ und $\mathbf{-2}$ zugeordnet.

  Damit ist das Schaubild nicht eindeutig zugeordnet.

  Dieses Schaubild zeigt also keinen Funktionsgraphen.

  Du kannst dir hier auch noch eine weitere Stelle anschauen, um das zu überprüfen. Nehmen wir zum Beispiel die Stelle mit dem $x$-Wert $x$ = $1$. Diesem werden die $y$-Werte $1$ und ${-1}$ zugeordnet.

• Entscheide, ob die Aussagen über dieses Schaubild richtig sind oder nicht.

  Tipps

  Prüfe, ob jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet ist und lese den dazugehörigen Wert ab.

  Eine eindeutige Zuordnung nennt man Funktionsgraph.

  Lösung

  Erkennen eines Funktionsgraphen

  Grundsätzlich gilt, dass eine Funktion eindeutig zugeordnet sein muss. Das heißt, jedem $x$-Wert wird genau ein $y$-Wert zugeordnet. Dabei kann es auch vorkommen, dass einem $y$-Wert mehrere $x$-Werte zugeordnet werden können oder dass ein Funktionswert gar nicht angenommen wird. Trotzdem handelt es sich um einen Funktionsgraphen.

  Den Grad einer Funktion erkennt man an dem Exponenten des $x$-Wertes. Dazu muss man hier wissen, dass es sich um eine $x^4$-Gleichung handelt.

  Für die Achsensymmetrie überprüft man, ob es zu jedem Punkt, der sich an der $y$-Achse spiegelt, einen Bildpunkt gibt. Wenn ja, ist das Schaubild achsensymmetrisch.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Dieses Schaubild ist eine eindeutige Zuordnung.
  • Jedem $x$-Wert kann genau ein $y$-Wert zugeordnet werden.
  • Dem $x$-Wert $0$ wird der $y$-Wert $1$ zugeordnet.
  • Das Schaubild ist achsensymetrisch.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Jedem $y$-Wert kann genau ein $x$-Wert zugeordnet werden.

  Korrekt ist, dass jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet wird.

  • Dem $x$-Wert $0$ wird der $y$-Wert $-1$ zugeordnet.

  Korrekt ist, dass dem $x$-Wert $0$ der $y$-Wert $1$ zugeordnet wird.